第16讲三角形的概念及性质（练习）2

第16讲三角形的概念及性质目录TOC\o"13"\n\h\z\u题型01三角形的稳定性题型02画三角形的高、中线、角平分线题型03等面积法求三角形的高题型04利用网格求三角形的面积题型05与垂心性质有关的计算题型06根据三角形的中线求长度题型07根据三角形的中线求面积题型08与重心性质有关的计算题型09应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围题型10应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子题型11三角形内角和定理的证明题型12应用三角形内角和定理求角度题型13三角形内角和与平行线的综合应用题型14三角形内角和与角平分线的综合应用题型15三角形折叠中的角度问题题型16应用三角形内角和定理解决三角板问题题型17应用三角形内角和定理探究角的数量关系题型18三角形内角和定理与新定义问题综合题型19应用三角形外角的性质求角度题型20三角形的外角性质与角平分线的综合题型21三角形的外角性质与平行线的综合题型22应用三角形的外角性质解决折叠问题题型23三角形内角和定理与外角和定理综合题型01三角形的稳定性1．（2020·山西·校联考模拟预测）下列图形中，没有利用三角形的稳定性的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：选项C中闸门上没有三角形，其余A、B、D选项中都含有三角形，由三角形的稳定性可知，选项C中没有利用三角形的稳定性，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．2．（2021·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案．【详解】∵三角形具有稳定性，∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为53=2（条），∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条，故选：B．【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．题型02画三角形的高、中线、角平分线3．（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．(1)在图①中作△ABC的中线BD．(2)在图②中作△ABC的高BE．(3)在图③中作△ABC的角平分线BF．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）找出对角线为AC的矩形，连接另一条对称线，两条对角线的交点就是D，连接BD即可；（2）找出与线段AC相等的线段BT，AC与BT交于点E，连接BE即可；（3）延长BC到H，使CH的长为小方格的正方形的边长，则AB=BH=5，连接AH交外围大正方形的边于点W，则W是线段AH的中点，连接BW即可．【详解】（1）如图①中，线段BD即为所求；（2）如图②中，线段BE即为所求；（3）如图③中，线段BF即为所求．【点睛】本题考查了用网格作图，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练运用这些知识是解题的关键．4．（2021·吉林·三模）图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法(1)在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；(2)在图②中，画出△ABC中AC边上的高BN，并直接写出△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)图见解析，3【分析】（1）连接DE，交AB与点M，由菱形的判定与性质可知M是AB的中点，根据三角形中线的定义即可得到结论；（2）连接PQ，交AO于点N，由菱形的判定与性质可知N是AO的中点，根据等边三角形的性质，即可知BN⊥AO，即可得出结论．【详解】（1）如图，线段CM即为所求；（2）如图，线段BN即为所求．如图可知△ABO为边长是3的等边三角形，N为AO的中点．∴BN=3∴S△ABC【点睛】本题考查了作图应用与设计，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．题型03等面积法求三角形的高5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6A．5 B．5.6 C．4.8 D．4.6【答案】C【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形的高．过点C作CD⊥AB于点D，根据三角形的面积公式求得CD即可．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，

∵S∴1∴CD=24故AB边上的高长为4.8．故选：C．6．（2022·陕西西安·校考三模）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，若每个小正方形的边长为1，则BC边上的高为．【答案】2【分析】设BC边上的高为h，先根据△ABC的面积等于其所在的正方形面积减去周围三个三角形的面积求出△ABC的面积，根据勾股定理求出BC的长，再根据三角形面积公式即可求出h．【详解】解：设BC边上的高为h，由题意得S△ABC∵BC=12+∴h=10故答案为：25【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，勾股定理与网格问题，正确求出△ABC的面积是解题的关键．7．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点在方格线的交点上．

(1)请在图中作出△ABC中AB边上的高．(2)求△ABC的面积．(3)点B到AC边所在直线的距离为165，求AC【答案】(1)见解析(2)8(3)AC=5【分析】（1）根据高线的定义结合网格特点作图即可；（2）利用三角形的面积公式计算即可；（3）根据三角形的面积公式列式计算即可．【详解】（1）解：如图，AB边上的高CD即为所作；

（2）如图，S△ABC（3）∵点B到AC边所在直线的距离为165∴S△ABC∴AC=5．【点睛】本题考查了三角形的高线，三角形的面积计算，熟练掌握网格特点是解题的关键．题型04利用网格求三角形的面积8．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．(1)请在图中画出平移后的△DEF；(2)分别连接AD，BE，则AD与BE的数量关系为，位置关系为．(3)求△DEF的面积．【答案】(1)见解析(2)AD=BE，AD∥BE(3)7【分析】（1）利用平移变换的性质作出B，C的对应点E，F即可；（2）根据平移变换的性质解决问题即可；（3）利用利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解．【详解】（1）解：∵点A平移到点D，∴△ABC先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到△DEF，如图，△DEF即为所求；（2）解：∵△ABC先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到△DEF，∴点A到点D与点B到点E的平移方向和平移距离相同，∴AD∥BE，AD=BE；故答案为：AD=BE，AD∥BE；（3）解：SΔ【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质，网格三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质．9．（2023·上海杨浦·统考一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：(1)S△ABC=___________；sin(2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP【答案】(1)4，4(2)作图见解析【分析】（1）由正方形面积减去三个小三角形面积即可求出S△ABC；过点A作AD⊥BC于点D．根据勾股定理可求出AB=BC=10．再根据三角形面积公式可求出（2）如图，取格点M和N，连接MN交AB于点P，连接AM、BN，则AM∥BN，即可证△AMP∽△BNP，得出APBP=AMBN=14．再根据△ACP【详解】（1）S=9-=4；如图，过点A作AD⊥BC于点D．由图可知AB=BC=1∵S△ABC∴1∴AD=4∴sin∠ABC=故答案为：4，45（2）如图，点P即为所作．【点睛】本题考查利用网格求三角形的面积，求角的正弦值，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．题型05与垂心性质有关的计算10．（2020下·江西赣州·九年级校考阶段练习）如图，已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则∠BACA．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】利用直径所对的圆周角的性质和垂心的性质判断出AH∥CD，CH∥AD，进而判断出【详解】解：如图，设△ABC的外接圆的半径为R连接BO，并延长BO交圆O于点D，连接OC，AD，CD，CH，∵点O是△ABC∴BD是⊙O∴∠BCD∴CD⊥∵H是△ABC∴AH⊥∴AH∥CD同理：CH∥∴四边形AHCD是平行四边形，∴CD=∵点O是△ABC∴OC=∴OC=∴△OCD∴∠BDC∴∠BAC故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的外心和垂心，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出CD=11．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，H、O分别为△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若△ABC外接圆的半径为2，则AH=（

A．23 B．22 C．4 D【答案】B【分析】连接BO并延长交⊙O于点D，连接HC，CD，DA，由圆周角定理的推论，可得DC⊥BC，DA⊥AB，由三角形的垂心的定义得AH⊥BC，CH⊥AB，从而得四边形AHCD是平行四边形，结合∠BAC=45°，△ABC外接圆的半径为2，即可求解．【详解】连接BO并延长交⊙O于点D，连接HC，CD，DA．∵点O是△ABC的外心，∴BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC，DA⊥AB，又∵点H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∴AH∥DC，CH∥DA，∴四边形AHCD是平行四边形，∴AH=DC，∵∠BAC=45°，△ABC外接圆的半径为2，∴∠BDC=∠BAC=45°，BD=4，∴AH=DC=BD÷2=4÷2=22故选B．

【点睛】本题主要考查三角形外心与垂心的定义，圆周角定理及其推论，平行四边形的判定和性质定理，掌握三角形外心与垂心的定义，添加合适的辅助线，构造平行四边形和等腰直角三角形，是解题的关键．题型06根据三角形的中线求长度12．（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】D【分析】利用三角形的周长公式先求解AD+CD=12,再证明BD=CD,再利用周长公式进行计算即可．【详解】解：∵AC＝8，△ACD的周长为20，∴AD+CD=20-8=12,∵点D是BC边上的中点，∴BD=CD,∵AB＝10，∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=10+AD+CD=10+12=22．故选：D.【点睛】本题考查的是三角形的周长的计算，三角形的边的中点的应用，掌握“三角形的周长公式及中点的含义”是解本题的关键．13．（2023·安徽·校联考一模）已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE=CD，∠BAD=∠ACE．则CEAC的值为（

A．23 B．22 C．5-1【答案】B【分析】根据已知得出△ADB∽△CEA，则∠B=∠CAE，进而证明△BAC∽△ADC，得出AC=2【详解】解：∵△ABC中，AD是中线，∴BD=CD，∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE，BD=CE，∴∠ADB=∠CEA，又∵∠BAD=∠ACE，∴△ADB∽△CEA，∴∠B=∠CAE，∵∠BCA=∠ACD，∴△BAC∽△ADC，∴BCAC∴AC即AC=2∴CEAC故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．14．（2020·浙江·模拟预测）在△ABC中，AB边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8，则△ABC的面积为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC为直角三角形，再根据勾股定理求得2AC·BC=28，最后根据ΔABC=1【详解】解：如图，在△ABC中，AB边上的中线，∵CD=3，AB=6，∴CD=3，AB=6，∴CD=AD=DB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC又∵AC+BC=8，∴AC∴2AC⋅BC=64-(AC又∵ΔABC=∴SΔABC故选B.【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AD是△ABC的中线，若AB=6，AC=5，则△ABD与△ACD的周长之差为．【答案】1【分析】利用三角形的中线的定义可知BD=CD，所以两个三角形的周长差即为AB-AC．【详解】解：∵C△ABD=AB+BD+AD，∴C△ABD又∵AD是△ABC中线，∴BD=CD，∵AB=6，AC=5，∴C△ABD故答案为：1．【点睛】本题考查三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段．16．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，ΔABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE＝CD＝1，∠BAD＝∠ACE，则AC的长为【答案】2【分析】先根据中线的定义和已知求得BC的长，然后利用等边对等角证得∠CDE=∠CED，进而得到∠AEC=∠BDA，证得ΔABD∽ΔCAE，由此再证得Δ【详解】解：∵ΔABC中，AD是中线，CD＝1，∴BC=2CD=2，∵CE＝CD，∴∠CDE=∠CED，∵∠AEC+∠CED=180°，∠BDA+∠CDE=180°，∴∠AEC=∠BDA，又∵∠BAD＝∠ACE，∴ΔABD∽∴∠CAE=∠B，又∵∠ACB=∠DCA，∴ΔABC∽∴ACCD即AC∵BC=2，CD＝1，∴AC∴AC=2故答案为：2【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，能发现ΔABC∽题型07根据三角形的中线求面积17．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以点B，C为圆心，大于12BC长为半径画弧，交于E，F两点，连接EF，交BC于点D，连接AD．AD=13，

A．2 B．3 C．13 D．13【答案】B【分析】由题意可得ED为BC的垂直平分线，故可得S△ABD=S△ACD，利用勾股定理求得【详解】解：由题意可得ED为BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴AD是Rt△ABC∴S根据勾股定理，可得AC=A∴S故选：B．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，中线的性质，熟知垂直平分线的画法，得到ED为BC的垂直平分线是解题的关键．18．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,AC边上中线BE交AD于点O，则△BCE的面积为（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的性质求得BD=3，根据勾股定理求得AD=4，进而根据三角形面积公式求得S△ABC，根据三角形中线的性质可得△BCE的面积为12【详解】解：∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，∴BD=DC=3，Rt△ABD中，AD=∴S∵BE是AC边上的中线，∴△BCE的面积=12S△ABC故选：A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线的性质，求得S△ABC19．（2023·陕西榆林·校考二模）如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC=4，则BE的长为（）A．5 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】首先利用中线的性质可以求出△ABC的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴S△ABD∵△ABD的面积为5，∴S△ABC∵BE为△ABC的高线，AC=4，∴S△ABC∴BE=5．故选：A．【点睛】题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性．20．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知△ABC的面积为10cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则A．6cm2 B．5cm2 C．【答案】B【分析】取AB的中点Q，连接PQ，CQ，根据直角三角形斜边中线的性质及平行线的判定得PQ∥BC，进而得到S△PBC【详解】解：取AB的中点Q，连接PQ，CQ，∵AP⊥BP，∴PQ=BQ，∴∠ABP=∠QPB，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP=∠CBP，∴∠QPB=∠CBP，∴PQ∥∴S△PBC∵AQ=BQ=12AB，△ABC∴S△BCQ∴S△PBC故选：B．【点睛】考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，等底同高证明两三角形面积相等，掌握△PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的关键．题型08与重心性质有关的计算21．（2023·陕西西安·统考三模）在△ABC中，点O为△ABC的重心，连接AO并延长交BC边于点D，若有AD=12BC，则△ABCA．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用重心的性质可以得到AD为△ABC的中线，然后利用已知条件和等腰三角形的性质即可判断．【详解】解：如图，∵点O为△ABC的重心，

∴AD为△ABC的中线，∵AD=1∴AD=BD=CD，∴∠BAD=ABD，∠DAC=∠DCA，而∠BAD+∠ABD+∠DAC+∠DCA=180°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠BAC=90°，∴△ABC为直角三角形．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的重心的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，比较简单．22．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（

A．△ABC的重心处 B．AD的中点处 C．A点处 D．D点处【答案】A【分析】连接PB，BE，首先证明PC+PE=PB+PE，由PB+PE≥BE，推出当B，P，E共线时，PC+PE的值最小，此时【详解】解：如图，连接PB，BE．

∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PC+PE=PB+PE，∵PB+PE≥BE，∴当B，P，E共线时，PC+PE的值最小，此时∵AD也是中线，∴点P是△ABC的重心，故选：A．【点睛】本题考查三角形的重心，等腰三角形的性质，轴对称线段和最短问题，关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决问题．23．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AC=3.4，则EF的长度为（

）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.4【答案】A【分析】根据点G为△ABC的重心，可知点E为AB的中点，点F为BC的中点，即可求解．【详解】解：∵点G为△ABC的重心，∴点E为AB的中点，点F为BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF=1∵AC=3.4，∴EF=1.7，故选：A．【点睛】本题考查了三角形重心的概念，知道重心是中线的交点是解题的关键．24．（2023·上海松江·统考二模）如图，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是（

）A．12 B．13 C．14【答案】B【分析】连接DE，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得DE∥BC,DE=12BC，S△ABD=12S△ABC，S△BDE=12【详解】解：如图，连接DE，∵点G是△ABC的重心，∴点D，E分别为AC,AB的中点，∴DE∥BC,DE=12BC，S∴△ADE∽∴DGBG∴DGBD∴S△DEG=1∴S△DEG∴S△DEG∴S四边形即四边形AEGD与△ABC面积的比值是13故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．题型09应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围25．（2023·福建福州·校考二模）已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的长可能是（

）A．2 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．【详解】解：根据三角形的三边关系，得故第三边的长度5-3<x<5+3，即2<x<8，∴这个三角形的第三边长可以是6．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．26．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，AB=3，AD=2，BC=1，CD=5，则线段BD的长度可能是（

）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】C【分析】由三角形ABD可得1<BD<5，由三角形BCD可得4<BD<6，从而可得答案．【详解】解：由三角形ABD可得1<BD<5，由三角形BCD可得4<BD<6，∴4<BD<5，∴A，B，D不符合题意，C符合题意；故选C【点睛】本题考查的是三角形的三边关系是应用，熟记三角形的三边关系是解本题的关键．27．（2023·浙江杭州·校考二模）如图，在Rt△ABC中BC⊥AC，CD⊥AB，AB=5，CD=3，则AC的长的取值范围是（

A．AC<5 B．AC>3 C．3≤AC≤5 D．3<AC<5【答案】D【分析】根据直角三角形的斜边大于直角边逐步分析即可．【详解】解：在Rt△ABC∵BC⊥AC，∴AC<AB，即AC<5，∵CD⊥AB，∴AC>CD，即AC>3，∴3<AC<5，故选D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握直角三角形的斜边大于直角边．28．（2023·河北沧州·统考三模）有四根长度分别为2，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长（

）A．最小值是8 B．最小值是9 C．最大值是13 D．最大值是14【答案】D【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：2、4、x，4、5、x，2、4、5，2、5、x都能组成三角形，∴4-2<x<4+2，5-4<x<5+4，5-2<x<5+2，即2<x<6，1<x<9，3<x<7，∴3<x<6，∵x为正整数，∴x取4或5，要组成的三角形的周长最小，即x=4时，三边为2，4，4，其最小周长为2+4+4=10，要组成的三角形周长最大，即x=5时，三边为4，5，5，其最大周长为4+5+5=14故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，利用分类讨论的思想，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解答本题的关键．题型10应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子29．（2023·山东德州·统考二模）已知a，b，c是三角形的三条边，则c-a-b+c+b-a的化简结果为（A．0 B．2a+2b C．2b D．2a+2b-2c【答案】C【分析】根据三角形三边的关系得到c-a-b<0，【详解】解：∵a，b，c是三角形的三条边，∴a+b>c，∴c-a-b<0，∴c-a-b=-=a+b-c+c+b-a=2b，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值和合并同类项，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．30．（2023·河北沧州·统考模拟预测）若△ABC三条边长为a，b，c化简：a-b-c-a+c-b【答案】2b-2a/-2a+2b【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到a-b-c<0，c+a-b>0，再根据绝对值性质化简即可求解．【详解】解：根据三角形的三边关系得：a-b-c<0，c+a-b>0，∴a-b-c=-=-a+b+c-a-c+b=2b-2a．故答案为：2b-2a．【点睛】本题考查了绝对值的化简和三角形三条边的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，是解答本题的关键．31．（2022上·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a-b-c|+|b-c+a|+|c-a-b|=．【答案】a+3b-c【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简．【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长，∴a+b>c，b+c>a，a+b>c，∴a-b-c<0，b-c+a>0，c-a-b<0，∴a-b-c+故答案为：a+3b-c．【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，掌握三角形三边关系是解题的关键．三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．题型11三角形内角和定理的证明32．（2023·河北衡水·校联考二模）定理：三角形的内角和是180°．已知：∠CED、∠C、求证：∠C+∠D+∠CED＝有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（）​证明：如图，过点E作直线AB，使得AB∥∴∠2＝∠D（∴∠1+∠@＝∴∠C+∠D+∠CED＝A．①② B．②③ C．②④ D．①③【答案】C【分析】将证明过程补充完整，由此可得出结论①不正确，结论②正确，结合得到的结论适用于任何三角形，可得出结论④正确．【详解】证明：如图，过点E作直线AB，使得AB∥CD，∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意；∴∠1+∠BEC=180°，∴∠C+∠D+∠CED=180°．故②符合题意；上述证明得到的结论，适用于任何三角形．故③不符合题意；④符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，将证明三角形的内角和是180°的过程补充完整是解题的关键．33．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（

）定理：三角形的内角和为180°．已知：△ABC．

求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．证明：延长BC到点D，过点C作CE∥@，∴∠A=◎（两直线平行，内错角相等），∠B=___▲______（_____※______）．∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．A．@代表AB B．◎代表∠ACD C．▲代表∠ECD D．※代表两直线平行，同位角相等【答案】B【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可．【详解】证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB，∴∠A=ACE（两直线平行，内错角相等），∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）．∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．∴四个选项中只有B选项结论错误，符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．34．（2023·河南郑州·统考二模）下面是小颖同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于180°这一命题，请你帮她补充完整．【答案】见解析【分析】先根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图，然后根据证明AE∥BC，得到∠EAC=∠C，由平角的定义可得∠BAC+∠EAC+∠DAE=180°，则∠BAC+∠C+∠B=180°．【详解】证明：如图，∵∠DAE=∠B，∴AE∥BC，∴∠EAC=∠C，∵∠BAC+∠EAC+∠DAE=180°，∴∠BAC+∠C+∠B=180°，即三角形三个内角的和等于180°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，尺规作图—作与已知角相等的角，灵活运用所学知识是解题的关键．题型12应用三角形内角和定理求角度35．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，BC=5，则A．5cos55° B．5cos55° C．【答案】A【分析】根据三角形内角和定理可得，∠C=90°，再根据三角函数的定义，求解即可．【详解】解：由题意可得：∠C=180°-∠A-∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，如下图：

由三角函数的定义可得，sinA=cos可得AB=A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意，故选：A【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．36．（2023·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，数据如图所示，若∠1比∠B小2°，则∠2比∠C（

）

A．大2° B．小2° C．大4° D．小4°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=∠A+∠1+∠2，得到∠B+∠C=∠1+∠2，∠B-∠1=∠2-∠C结合已知判断即可．【详解】根据三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=∠A+∠1+∠2，∴∠B+∠C=∠1+∠2，∴∠B-∠1=∠2-∠C，∵∠1比∠B小2°，∴∠2-∠C=2°，故选A．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．37．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=CD，∠BAC=40°，则∠D的度数为．

【答案】35°/35度【分析】先根据等腰三角形的性质，得出∠ACB=∠B=70°，∠D=∠CAD，根据三角形的外角得出∠D+∠CAD=∠ACB，求出∠D的度数即可．【详解】解：∵AB=AC，AC=CD，∴∠ACB=∠B=180°-∠BAC2=70°∵∠ACB为△ACD的外角，∴∠D+∠CAD=∠ACB，∴∠ACB=∠B=2∠D=70°，∴∠D=35°．故答案为：35°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边对等角．38．（2022·福建福州·校考模拟预测）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则AC:AB=．【答案】32/【分析】先由在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3得出∠A、∠B和∠C的度数，再分别利用勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半得出答案．【详解】解：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴∠C=3∠A，∠B=2∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+2∠A+3∠A=180°，∴∠A=30°，∴∠B=60°，∠C=90°．∴BC=1∴AC=A∴AC:AB=3故答案为：32【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．题型13三角形内角和与平行线的综合应用39．（2023·湖北黄冈·三模）如图为两直线l、m与△ABC相交的情形，其中l、m分别与

A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】A【分析】由两直线平行同旁内角互补可得出∠A、∠C的度数，再根据三角形内角和可得出【详解】解：∵l、m分别与∴∠C+120°=180°，∴∠C=60°，∴∠B=180°-∠A-∠C=55°，故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，由两直线平行同旁内角互补可得出∠A、40．（2023·河南安阳·统考二模）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B=60°，∠ACB=30°，则∠ACE的度数为（

）A．40° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC=45°，最后利用平行线的性质可得∠ACE=∠DAC．【详解】解：∵∠B=60°，∠ACB=30°，∴∠BAC=180°-60°-30°=90°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC=45°，∵AD∥∴∠ACE=∠DAC=45°故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．41．（2021·宁夏银川·统考一模）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=102°，则∠BAC的大小是（

）A．24° B．26° C．28° D．30°【答案】B【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=102°，AD=BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB=2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=102°，AD=BC，∵AD=AE=BE，∴BC=AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，∵∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，∴∠ACB=2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB=3∠CAB=180°∠ABC=180°102°，∴∠BAC=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，正确的识别图形找到角与角之间的关系是解题的关键．题型14三角形内角和与角平分线的综合应用42．（2022·江苏无锡·校考一模）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=．【答案】40°/40度【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A＝180°−（∠ABC＋∠ACB），＝180°−2（∠DBC＋∠BCD）∵∠BDC＝180°−（∠DBC＋∠BCD），∴∠A＝180°−2（180°−∠BDC）∴∠BDC＝90°＋12∠A∴∠A＝2（110°−90°）＝40°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．43．（2020·浙江绍兴·模拟预测）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．(1)如图1，若∠B=40°，∠C=60°，请说明(2)如图2（∠B<∠C），试说明∠DAE、【答案】(1)∠DAE=10°(2)∠DAE=1【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC=80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、【详解】（1）解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=1∵AE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∵∠C=60°，∴∠CAE=90°-60°=30°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°；（2）解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=1∵AE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-∠C，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE===1即∠DAE=1【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的定义，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．44．（2022·浙江温州·统考一模）如图，△ABC的角平分线BD,CE交于点F，AB=AC．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)当∠A=40°时，求∠BFC的度数．【答案】(1)见解析(2)110°【分析】（1）根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据角平分线的定义可得∠ABD=12∠ABC,∠ACE=12∠ACB，即可得∠ABD=∠ACE，由公共角（2）根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠ABC=∠ACB=70，根据角平分线的定义求得∠ABD=12∠ABC,∠ACE=12【详解】（1）证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD,CE是∠ABC,∠ACB的角平分线，∴∠ABD=∴∠ABD=∠ACE又∠A=∠A∴△ABD≌△ACE（2）∵AB=AC,∠A=40°∴∠ABC=∠ACB=70∵BD,CE是∠ABC,∠ACB的角平分线，∴∠ABD=∴∠FBC+∠FCB=∴∠BFC=180°-【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．题型15三角形折叠中的角度问题45．（2023·河南商丘·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，点D为AB的中点，点P为AC上一个动点，将△APD沿DP折叠得到△QPD，点A的对应点为点Q，当PQ⊥AB时，∠ADP的度数为

【答案】125°/125度【分析】根据折叠的性质得出∠Q=∠A=20°，∠ADP=∠QDP，然后根据三角形内角和定理得出∠BDQ=70°，进而求得∠BDP=∠ADP-70°，再根据平角的定义即可求解．【详解】解：设BD,PQ交于点E，如图所示，

∵将△APD沿DP折叠得到△QPD，点A的对应点为点Q，∴∠Q=∠A=20°，∠ADP=∠QDP，∴PQ⊥AB，∴∠DEQ=90°，∴∠BDQ=180°-∠Q-∠DEQ=180°-20°-90°=70°，∴∠BDP=∠QDP-∠BDQ=∠ADP-70°，∵∠ADP+∠BDP=180°，∴∠ADP+∠ADP-70°=180°，∴∠ADP=125°．故答案为：125°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．46．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，∠1=56°，∠ABC=70°，则∠2的度数为．

【答案】42°/42度【分析】根据平行四边形的性质，求出∠EBA，∠A的度数，再结合折叠的性质求出∠ABD，从而利用三角形的内角和求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥BA，∴∠1=∠EBA=56°，∠A=180°-∠ABC=110°，由折叠的性质，∠ABD=∠EBD=1∴∠2=180°-∠A-∠ABD=180°-110°-28°=42°，故答案为：42°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．47．（2023·浙江湖州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，D为AC边上一点，沿BD将三角形进行折叠，使点A落在点E处，记BE与AC边的交点为F，若DE⊥AC，则CF的长为【答案】25【分析】由DE⊥AC，∠C=90°和折叠的性质，易知∠CBF=∠A，根据正切函数可求解．【详解】解：∵DE⊥AC∴∠EDF=∠C=90°，∵∠EFD=∠CFB，∴∠CBF=∠E．由折叠的性质可知，∠E=∠A，∴∠CBF=∠A，∴tan∴CF=BC×故答案为：25【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练运用三角函数解直角三角形．48．（2022·江西赣州·统考二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A'处，若A'P∥AC，则【答案】60°/60度【分析】根据△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，推出∠BAC=60°，根据折叠性质得到∠PA'D=∠PAD=【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠BAC=由折叠知，∠PA'D=∵A'P∥AC，∴∠A'DC=∠PA'D=60°，∴∠A'DA=120°，∴∠PDA'=1故答案为：60°．【点睛】本题主要考查了直角三角形，折叠，平行线，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，折叠图形全等的性质，两直线平行内错角相等的性质．题型16应用三角形内角和定理解决三角板问题49．（2023·河南南阳·统考二模）将一块含30°角的三角板和一把对边平行的直尺按如图所示的方式放置，若∠1=70°，则∠2的度数为（

）

A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】C【分析】根据平行线的性质，对顶角相等以及三角形内角和的性质，求解即可．【详解】解：由题意可得：∠3=∠1=70°，∠E=30°，∴∠4=180°-∠3-∠E=80°，∴∠5=∠4=80°，∵AB∥∴∠2=∠5=80°．

故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质，对顶角相等以及三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．50．（2023·广东汕头·汕头市金禧中学校考一模）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1=35°，则∠2的度数为（）A．55° B．45° C．35° D．30°【答案】A【分析】延长AE与CD的延长线交于点F，根据平行线的性质可得∠F=∠1=35°【详解】解：延长AE与CD的延长线交于点F，依题意可知：AB∥CD∴∠F=∠1∵∠1=35°∴∠F=35°∴∠2=180°-故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和为180°．51．（2023·北京通州·统考一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（

）A．75° B．60° C．105° D．120°【答案】A【分析】根据一幅三角板各个角的度数，结合三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：由题意，得：∠ABC=45°,∠BCA=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠BCA=75°；故选A．【点睛】本题考查了角的和差运算．熟记一幅三角板中各个角的度数是解题的关键．52．（2023·湖北恩施·统考二模）将一副直角三角板按如图所示位置摆放(∠D=∠ECF=90°)，点C在直角边BD上，点F在直角边AD上，若∠AFE=160°，则∠BCE=．

【答案】155°/155度【分析】先根据∠AFE与∠DFE互补，求出∠DFE，根据∠DFE+∠CFD=∠CFE=45°求出∠CFD，再根据三角形的内角和定理求得∠FCD，进而求得∠DCE，从而根据∠DCE与∠BCE互补，求出∠BCE．【详解】解：∵∠AFE=160°，∴∠DFE=180°-∠AFE=180°-160°=20°，∵∠CFE=45°，∴∠CFD=∠CFE-∠DFE=45°-20°=25°，∵∠D=90°，∴∠FCD=180°-∠CFD-∠D=180°-25°-90°=65°，∵∠FCE=90°，∴∠DCE=∠FCE-∠FCD=90°-65°=25°，∴∠BCE=180°-∠DCE=180°-25°=155°．故答案为：155°．【点睛】本题考查角的和与差，三角形的内角和定理，利用角的关系进行转化求解是解题的关键．题型17应用三角形内角和定理探究角的数量关系53．（2021·广东清远·校考一模）如图，点D是锐角∠AOB内一点，DE⊥OA于点E，点F是线段OE的一个动点，点G是射线OB的一个动点，连接DF、FG、GD，当△DFG的周长最小时，∠FDG与∠AOB的数量关系式是．【答案】∠FDG+2∠AOB=180°【分析】作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，即可得出∠BOD=∠BOD′，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠ODF′，由∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°．【详解】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，∴2∠AOB+∠GDF=180°，故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．54．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）（1）问题解决：如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，若∠A=62°，求∠BOC的度数；（写出求解过程）（2）拓展与探究①如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是______；（请直接写出你的结论）②如图2，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是______；（请直接写出你的结论）③如图3，BO、CO分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是______．（请直接写出你的结论）【答案】（1）121°；（2）①90°+12∠A，理由见解析；②∠BOC=90°-1【分析】（1）求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出答案即可；（2）①求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出答案即可；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；③根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系．【详解】解（1）∵∠A=62°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=118°，∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=121°；（2）①∠BOC=90°+1∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=90°+1故答案为：∠BOC=90°+1②∠BOC=90°-1∵∠DBC=∠A+∠ACB，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，∵BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=90°-故答案为：∠BOC=90°-1③∠BOC=1∵BO、CO分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，，∴∠OBC=1又∵∠ACE是△ABC的一外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠OCE=1∵∠OCE是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=1故答案为：∠BOC=1【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．55．（2018·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．(1)如图①，当点D在线段BC上，如果α=60°，β=120°；如图②，当点D在线段BC上，如果α=90°，β=90°；如图③，当点D在线段BC上，如果α，β之间有什么样的关系？请直接写出．(2)如图④，当点D在射线BC上，（1）中结论是否成立？请说明理由；(3)如图⑤，当点D在射线CB上，且在线段BC外，（1）中结论是否成立？若不成立，请直接写出你认为正确的结论．【答案】(1)α+β=180°；(2)（1）中结论是成立；理由见详解；(3)（1）中结论是不成立，成立的是：∠BAC+∠CBE=180°【分析】（1）先判断出△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出△ABE≌△ACD，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】（1）解：α+β=180°．理由如下：如图③．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，即：α+β=180°；（2）（1）中结论是成立，理由如下：如图④，连接CE．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，即：α+β=180°；（3）（1）中结论是不成立，成立的是：∠BAC+∠CBE=180°．理由如下：如图⑤，连接BE．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD．在△ABE和△ACD中，AB=∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD．在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACD=180°，∴∠BAC+∠ABC+∠ABE=∠BAC+∠CBE=180°，即：∠BAC+∠CBE=180°．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和公式，解（1）（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是找出∠BAC+∠CBE=180°，是一道很好的中考常考题．题型18三角形内角和定理与新定义问题综合56．（2021·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD,BC=CD，则AC⊥BD；③若∠BCD=2∠A，则BC=CD；④存在凹四边形ABCD，有AB=CD,AD=BC．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根据凹四边形的定义及相关知识，逐项加以甄别即可．【详解】解：①如图1，连接AC并延长到点E．∵∠BCE=∠BAC+∠B∠DCE=∠DAC+∠D∴∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D即∠BCD=∠BAD+∠B+∠D所以结论①正确；②如图2，连接BD，作直线AC．∵AB=AD∴点A在线段BD的垂直平分线上．∵CB=CD∴点C在线段BD的垂直平分线上．∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上．∴直线AC是线段BD的垂直平分线．∴AC⊥BD所以结论②正确；③如图③，由①可知，∠BCD=∠A+∠B+∠D当∠BCD=2∠A时，有2∠A=∠A+∠B+∠D∴∠A=∠B+∠D因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误；④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC．当AB=CD，∵AC=CA∴ΔABC≅ΔCDA∴∠1=∠4∴AB∥CD，BC∥DA．∴四边形ABCD是平行四边形．∵平行四边形是凸四边形，这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾．∴不存在凹四边形ABCD，使得AB=CD所以结论④错误．故选：A【点睛】本题考查了对新定义的理解、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的判定、反证法等知识点，综合运用上述的知识点，对每个结论加以推理证明是解题的关键．57．（2023·广东阳江·统考三模）定义：△ABC中，∠A+2∠B=90°，则称△ABC为倍余三角形．

(1)下列说法正确的是．①倍余三角形一定是钝角三角形；②等腰三角形不可能是倍余三角形．(2)如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上(不与B，C重合)，满足AB=AD，求证：△ACD为倍余三角形；(3)在（2）的条件下，①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数；②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求ADBC【答案】(1)①(2)见解析(3)①36°或22.5°；②66或【分析】（1）由倍余三角形的定义及等腰三角形的性质可得出答案；（2）由圆周角定理的推论得出∠B+∠C=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABD=∠ADB，根据三角形外角的性质可得出答案；（3）①若∠AOD为钝角，设∠OAD=x，则∠DAC=x，∠C=2x，得出∠ADO=3x，即5x=90°，求出∠C=36°；若∠ADC为钝角，设∠OAD=x，则∠OAC=∠C=x，∠AOD=2x，即4x=90°，求出x=22．5°，则可得出答案；②如图3，作AF⊥BC，不妨设DF=1，CD=x，根据等面积法列出分式方程，解方程求出x的值则可得出答案．【详解】（1）解：①∵△ABC为倍余三角形，∴∠A+2∠B=90°，∴∠A+∠B=90°-∠B<90°，∴∠C>90°，∴倍余三角形一定是钝角三角形，故①正确，②等腰三角形可能是倍余三角形．如∠A=∠B=30°，△ABC是倍余三角形．故②错误，故答案为①；（2）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠DAC+2∠C=∠DAC+∠C+∠C=∠ADB+∠C=∠B+∠C=90°，∴△ACD为倍余三角形；（3）①如图1，

∵∠AOD为钝角，∴∠OAD+2∠ADO=∠B+∠AOB>90°，和不可能为90°，当2∠OAD+∠ADO=90°时，即2∠OAD+∠B=90°，又∵∠B+∠C=90°，∴∠OAC=∠C=2∠OAD，设∠OAD=x，则∠DAC=x，∠C=2x，∴∠ADO=3x，即5x=90°，∴x=18°，即∠C=36°，如图2，∵∠ADC为钝角，

∴∠OAD+2∠AOD=∠B+∠AOB>90°，和不可能为90°，当2∠OAD+∠AOD=90°时，即∠OAD+∠B=90°，∵∠OAD+∠B=90°，∴∠OAD=∠C=∠OAC，设∠OAD=x，则∠OAC=∠C=x，∠AOD=2x，即4x=90°，∴x=22.5°，即∠C=22.5°，综合以上可得∠C为36°或22.5°；②如图3，作AF⊥BC，不妨设DF=1，CD=x，若△ABC的面积为△ADE面积的7.5倍，

∵S△ABC∴xx+2解得x1=4，当x=4时，BC=6，AD=6，∴ADBC当x=12时，BC=2.5，AD=∴ADBC综合以上得出ADBC的值为66或【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，新定义倍余三角形的理解与运用，熟练掌握与三角形有关的性质定理是解题的关键．58．（2022·江苏扬州·统考二模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的“好角”，若∠A=α，则∠E=______；（用含α的代数式表示）(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，点D是优弧ACB的中点，直径BF⊥弦AC，BF、CD的延长线于点G，延长BC到点E．求证：∠BGC是△ABC中∠BAC的“好角”．(3)如图3，△ABC内接于⊙O，∠BGC是△ABC中∠A的“好角”，BG过圆心O交⊙O于点F，⊙O的直径为8，∠A=45°，求FG．【答案】(1)12(2)见解析(3)FG＝42【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角定理，可知∠A=∠ACD∠ABC，∠E=∠ECD∠EBC=12∠ACD12∠ABC，由此可知∠E=1（2）根据圆内接四边形的性质可知∠DCB＋∠BAD＝180°，可知∠BAD＝∠DCE，根据圆周角的定理可知∠ACD＝∠DCE，进而证得∠ABF＝∠CBF，根据“好角”的定义即可得出结论；（3）连接CF，根据“好角”的定义可知∠G＝12∠A，即∠G＝12∠BFC，由外角定理可知∠G＝∠GCF，可知FG＝CF，利用三角函数求得【详解】（1）解：由题意得，∠ABE=∠CBE=12∠ABC，∠ACE=∠ECD=∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠A=∠ACD∠ABC，∠E=∠ECD∠EBC=12∠ACD∴∠E=12∠A=1（2）如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°，又∵∠DCB＋∠DCE＝180°，∴∠BAD＝∠DCE，∵点D是优弧ACB的中点，∴AD=∴∠ACD＝∠BAD，∴∠ACD＝∠DCE，∴CG是△ABC的外角平分线，∵直径BF⊥弦AC，∴AF=∴∠ABF＝∠CBF，∴BG是∠ABC的平分线，∴∠BGC是△ABC中∠BAC的“好角”；（3）如图3，连接CF，∵∠A＝45°

，

∴∠BFC＝45°．∵BG过圆心O

，∴∠BCF＝90°．∵∠BGC是△ABC中∠A的“好角”

，

∴∠G＝12∠A，∵∠A＝∠BFC；∴∠G＝12∠∴∠G＝∠GCF，∴FG＝CF，∵cos∠BFC＝CFBF∴CF＝cos45°×BF＝22×8＝42∴FG＝42．【点睛】本题考查的是圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理、三角形外角性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．59．（2021·河南信阳·统考一模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠【答案】(1)∠E=1(2)见解析【分析】（1）根据遥望角的定义得到∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12（2）延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．【详解】（1）解：∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=1∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD=12（∠ACD﹣∠ABC）=1∵∠A＝α，∴∠E=12（2）延长BC到点T，如图所示：∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD=∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【点睛】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理、三角形外角性质、熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．60．（2020·江西南昌·模拟预测）定义：有一组邻角相等，对角线相等，且对边不相等的凸四边形叫做“等邻对角四边形”，如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB,AC=DB,AB>CD，四边形ABCD即为“等邻对角四边形”．概念理解（1）①如图2，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AC,AB上，CD=2，当BE的长为_______时，四边形EBCD为“等邻对角四边形”．②如图3，在△ABC中，点E，D在AC上，点F在AB上，BF=CE，四边形FBCD为“等邻对角四边形”，若∠BDC=110°，则∠BFC的度数为___________．性质探究（2）根据图1及其条件，探究∠BAC与∠CDB的数量关系．问题解决（3）如图4，在“等邻对角四边形”ABCD中，AB>CD,∠ABC=∠DCB,AB=3,AD=1,AD与BC的延长线相交于点E．若DE=8，求CD的长，并指出∠BDC的度数是否可以等于90°，不必说明理由．【答案】（1）①4；②70°；（2）∠BAC+∠CDB=180°；（3）83，∠BDC不能等于【分析】（1）①当BE=4时，四边形EBCD为“等邻对角四边形”，理由：由等边三角形的性质和全等三角形的判定可证得△ADB≌△BEC(SAS)，则有BD=CE，即∠ABC=∠ACB，BD=CE，BE﹥CD，满足“等邻对角四边形”的条件；②根据四边形FBCD为“等邻对角四边形”满足的条件可证得△BFC≌△CEB(SAS)，则有CF=BE，∠BFC=∠BEC，进而可知BD=BE，由等边对等角得∠BEC=∠BDE即∠BFC=∠BDE，再利用平角定义即可解答；（2）延长CD使CE=AB，易证得△ABC≌△ECB(SAS)，仿照②中方法可推出∠BAC+∠BDC=180°；（3）根据已知和相似三角形的判定可证得△ABD∽△AEB，进而可证得△BDE∽△DCE，则有BDBE=CDDE，BDBE【详解】（1）①当BE=4时，四边形EBCD为“等邻对角四边形”，理由：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A，AC=BC=6∵CD=2∴AD=4，即BE=AD∴△ADB≌△BEC(SAS)∴BD=CE，即满足∠EBC=∠DCB，BD=CE，BE﹥CD∴当BE=4时，四边形EBCD为“等邻对角四边形”，故答案为：4；②∵四边形FBCD为“等邻对角四边形”∴∠FBC=∠DCB，BD=CF∵BF=CE，BC=BC∴△BFC≌△CEB(SAS)∴CF=BE，∠BFC=∠BEC∴BD=BE∴∠BEC=∠BDE即∠BFC=∠BDE，∵∠BDC=110°，∴∠BDE=180°∠BDC=180°110°=70°，∴∠BFC=∠70°，故答案为：70°；（2）∵AB﹥CD，∴延长CD使CE=AB，如图，∵∠ABC=∠DCB，BC=BC∴△ABC≌△ECB(SAS)∴AC=BE，∠BAC=∠E，∵AC=BD，∴BE=BD，∴∠E=∠BDE，∴∠BAC=∠BDE=180°∠BDC，∴∠BAC+∠BDC=180°；（3）在图4中连接AC，如图，∵AB=3，AD=1，DE=8，∴ADAB∴ADAB=AB∴△ABD∽△AEB，∴∠ABD=∠E∵∠ABC=∠DCB∴∠ABD+∠DBE=∠E+∠CDE∴∠DBE=∠CDE，又∠E=∠E，∴△BDE∽△DCE，∴BD又∵△ABD∽△AEB，∴BD∴CDDE=1∴CD=83∠BDC不可能为90°，理由：若∠BDC=90°，由②结论可知，∠BAC=∠BDC=90°，∵AC=BD，BC=BC，∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），∴AB=CD，这与AB﹥CD相矛盾，故∠BDC不可能为90°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的等边对等角性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，难度适中，解答的关键是熟练掌握三角形的有关知识，借助做辅助线，利用类比法、反证法等解题方法推理、计算．题型19应用三角形外角的性质求角度61．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点A落在矩形纸片的一边上，若∠1=70°，则∠2的度数为（

）

A．155° B．145° C．120° D．105°【答案】A【分析】利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：如图，

由题意得∠3=∠1=70°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠4=∠3-∠B=70°-45°=25°，∴∠2=180°-∠4=180°-25°=155°，故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握其基础知识是解题的关键．62．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在平