专题05【五年中考+一年模拟】几何压轴题-备战2023年江苏盐城中考数学真题模拟题分类汇编(原卷版+解析)

专题05几何压轴题1．（2022•盐城）【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在中，，四边形、和分别是以的三边为一边的正方形．延长和，交于点，连接并延长交于点，交于点，延长交于点．（1）证明：；（2）证明：正方形的面积等于四边形的面积；（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．【迁移拓展】（4）如图2，四边形和分别是以的两边为一边的平行四边形，探索在下方是否存在平行四边形，使得该平行四边形的面积等于平行四边形、的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．2．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中长为200厘米，长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．3．（2019•盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（Ⅰ）将矩形纸片沿折叠，使点落在边上点处，如图②；（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点再次折叠，使得点落在边上点处，如图③，两次折痕交于点；（Ⅲ）展开纸片，分别连接、、、，如图④．【探究】（1）证明：；（2）若，设为，为，求关于的关系式．4．（2018•盐城）【发现】如图①，已知等边，将直角三角板的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、．（1）若，，，则；（2）求证：．【思考】若将图①中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与边、的两个交点、都存在，连接，如图②所示，问：点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰中，，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中，使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接．设，则与的周长之比为（用含的表达式表示）．5．（2022•盐城一模）【问题背景】在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，、是的高，是的中点．点、、、是否在以点为圆心的同一个圆上？为什么？小军在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点，则点、、、四点也在同一个圆上．（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）【直接应用】当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．（2）如图3，的两条高、相交于点，连接并延长交于点．求证：为的边上的高．【拓展延伸】在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：（3）在（2）的条件下连接、、（如图，设，则的度数为．（用含的式子表示）6．（2022•建湖县一模）【问题再现】苏科版《数学》八年级下册第94页有这样一题：如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，，垂足为，那么．（填“”、“”或“”【迁移尝试】如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．求的度数；【拓展应用】如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．①求的度数；②连接交于点，直接写出的值为．7．（2022•亭湖区校级一模）小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了数学探究活动．如图1，在与中，，，，，．【探索发现】将两个三角形顶点与顶点重合，如图2，将绕点旋转，他发现与的数量关系一直不变，则线段与具有怎样的数量关系，请说明理由；【深入思考】将两个三角形的顶点与顶点重合，如图3所示将绕点旋转．①当、、三点共线时，连接、，线段、、之间的数量关系为；②如图4所示，连接、，若线段、交于点，试探究四边形能否为平行四边形？如果能，求出、之间的数量关系，如果不能，试说明理由．【拓展延伸】如图5，将绕点旋转，连接，取的中点，连接，则的取值范围为（用含、的不等式表示）．8．（2022•盐城二模）以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题．试题分析（Ⅰ）如图1，在中，，，是外一点，且．求的度数．小明：我发现试题中有三个等腰三角形，设，易知，又因为，得，即可算出的度数．小丽：我发现．则点、、到点的距离相等，所以点、、在以点为圆心、线段长为半径的圆上猜想证明（Ⅱ）如图1，在中，，，点、在同侧．猜想：若，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上．对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：以点为圆心，长为半径画圆．根据点与圆的位置关系，知道点可能在内，或点在上，或点在外．故只要证明点不在内，也不在外，就可以确定点一定在上．（Ⅲ）进一步猜想：如图2，在中，，，点、在同侧．若，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上．（Ⅳ）对（Ⅲ）中的猜想进行证明．问题1．完成（Ⅰ）中的求解过程；问题2．补全猜想证明中的两个猜想：（Ⅱ）；（Ⅲ）；问题3．证明上面（Ⅲ）中的猜想；问题4．如图3为某大型舞台实景投影侧面示意图，，点处为投影机，投影角，折线为影像接收区．若影像接收区最大时（即最大），投射效果最好，请直接写出影像接收区最大时的长．9．（2022•滨海县一模）在四边形中，，对角线平分．（1）推理证明：如图1，若，且，求证：；（2）问题探究：如图2，若，试探究、、之间的数量关系，（3）迁移应用：如图3，若，，，求线段的长度．10．（2022•盐城一模）如图，已知矩形中，是边上一点，将沿折叠得到，连接．（1）初步探究如图1，当，落在直线上时．①求证：；②填空：；（2）深入思考如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，与交于点．求的值（用含的式子表示），并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长．11．（2022•建湖县二模）问题情境小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出了一个图形：如图1，点是线段上一点，分别以、为底边在线段的同侧作等腰三角形、等腰三角形，、相交于点．当、、在同一直线上时，他发现：．请帮他解释其中的道理；问题探究如图2，在上述情境下中的条件下，过点作交于点，若，，求的长．类比应用如图3，是某村的一个三角形鱼塘，点、分别在边、上，、的交点为鱼塘的钓鱼台，测量知道，，，且．直接写出的长为．12．（2022•亭湖区校级二模）【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．设窗子的边框、分别为，，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为．【初步探究】（1）若，，（即点到的距离为．①与之间的距离为，求此时的面积；②与之间的距离为，试将通风口的面积表示成关于的函数；③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？【拓展提升】（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．①需要满足的条件是，通风口的最大面积是（用含、、的代数式表示）②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）13．（2022•射阳县一模）如图1，已知为等边三角形，点，分别在边、上，，连接，点，，分别为，，的中点．（1）观察猜想在图1中，线段与的数量关系是，的度数是；（2）探究证明若为直角三角形，，，点分别在边，上，，把绕点在平面内自由旋转，如图2，连接，点，，分别为，，的中点．判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸若中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点，把绕点在平面内自由旋转，如图3．①是三角形．②若面积为，直接利用①中的结论，求的取值范围．14．（2022•东台市模拟）小明在学习矩形知识后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，连结．【探究1】如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．【探究2】如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．【探究3】在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图，发现线段，，存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．15．（2022•亭湖区校级模拟）问题：纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”定义：如图1，点把线段分成两部分，如果，那么点为线段的“白银分割点”如图2，矩形中，，那么矩形叫做白银矩形．应用：（1）如图3，矩形是白银矩形，，将矩形沿着对折，求证：矩形也是白银矩形．（2）如图4，矩形中，，，为上一点，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，延长交的延长线于点，说明点为线段的”白银分制点”．（3）已知线段（如图，作线段的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）16．（2022•亭湖区校级模拟）（1）如图1，在矩形中，，，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离．（2）如图2，有一座古井，按规定，要以井为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区．根据实际情况，要求顶点是定点，点到井的距离为米，，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（井的占地面积忽略不计）（3）为了保护古井（井的占地面积忽略不计），拟以古井为中心划定边长为30米的正方形景区，在该正方形区域内选择若干个安装点，安装一种电讯信号转发装置，其发射直径为31米．现要求：在该正方形区域每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个景区．问：①能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？②至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30米的正方形区域示意图，供解题时选用）17．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．（2）如图2，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取中点，连接并延长交于点，延长交于点．若为的中点，，，求邻余线的长．18．（2022•滨海县模拟）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，点落在点处，连接．（1）如图1，当点恰好落在上，则折痕的长为；（2）如图2，若点恰好落在上．①求证：；②求的值；（3）如图3，若将图1中的四边形剪下，在上取中点，将沿折叠得到，点、分别是边、上的动点（均不与顶点重合），将△沿折叠，点的对应点恰好落在上，当△的一个内角与相等时，请直接写出的长度．19．（2022•射阳县校级一模）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．请用这一结论解答下列问题．（1）如图1，入射光线经过平面镜与反射后的反射光线是，若，则的度数为．（2）如图2是一种利用平面镜反射，放大微小变化的装置．手柄上的点处安装一平面镜，与屏幕的交点为，从点发出的光束经平面镜反射后，在上形成一个光点．已知当，时，，，．①求的长．②将手柄在原有位置绕点按逆时针方向旋转一定角度得到（如图，点的对应点为，与的交点为，从点发出的光束经平面镜反射后，在上的光点为．若，则的长为多少？20．（2022•射阳县校级三模）【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．【知识方法】（1）如图1，，，交于点，则与的关系是；【类比迁移】（2）四边形是矩形，，，点是边上的一个动点．①如图2，过点作，，连接、．判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为；【拓展应用】（3）四边形是矩形，，，点是边上的一个动点（与点、不重合），连接，将绕点顺时针旋转到，交于点，将绕点顺时针旋转到，连接、．求四边形面积的最小值．21．（2022•射阳县校级二模）（1）①如图1，中，点在上，请用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得点到、两点的距离相等（保留作图痕迹）；②在所作的图中，若，平分，，、所对的边记为、，试说明；（如需画草图，请使用备用图）（2）如图2，中，，平分，点到、两点的距离相等，若，，求的周长．22．（2022•亭湖区校级三模）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．【问题提出】（1）如图①，点是四边形内部一点，且满足，，，请说明四边形是美好四边形；【问题探究】（2）如图②，，请利用尺规作图，在平面内作出点使得四边形是美好四边形，且满足．保留作图痕迹，不写画法；（3）在（2）的条件下，若图②中满足：，，，求四边形的面积；【问题解决】（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在、、、四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，且使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．23．（2022•亭湖区校级一模）如图，已知和均为等腰三角形，，，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当时，点、、在同一直线上，连接，则线段、之间的数量关系是，；（2）拓展探究：如图②，当时，点、、不在同一直线上，连接，求出线段、之间的数量关系及、所在直线相交所成的锐角的大小（都用含的式子表示），并说明理由；（3）解决问题：如图③，，，，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．24．（2022•射阳县校级二模）【了解概念】在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．【理解运用】（1）邻等四边形中，，，则的度数为．（2）如图，凸四边形中，为边的中点，，判断四边形是否为邻等四边形；并证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，为邻等四边形的邻等边，且边与轴重合，已知，，，，，若在边上使的点有且仅有1个，请直接写出的值．25．（2022•亭湖区校级三模）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为，其内切圆的半径长为；（2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得；（结果用含的式子表示）②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，（3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为；（结果保留②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由.26．（2022•射阳县校级三模）如图，在矩形中，，、分别为、边上的动点，连接，沿将四边形翻折至四边形，点落在上，交于点，连接交于点．（1）写出与之间的位置关系是：；（2）求证：；（3）连接，若，，求的长．专题05几何压轴题1．（2022•盐城）【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在中，，四边形、和分别是以的三边为一边的正方形．延长和，交于点，连接并延长交于点，交于点，延长交于点．（1）证明：；（2）证明：正方形的面积等于四边形的面积；（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．【迁移拓展】（4）如图2，四边形和分别是以的两边为一边的平行四边形，探索在下方是否存在平行四边形，使得该平行四边形的面积等于平行四边形、的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1，连接，四边形，和是正方形，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，；（2）证明一：，，，，，由（1）知：，，四边形是矩形，，，正方形的面积等于四边形的面积；证明二：四边形是矩形，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，正方形的面积，的面积，正方形的面积等于四边形的面积；（3）证明：由正方形可得，又，四边形是平行四边形，由（2）知，四边形是平行四边形，由（1）知：，的面积的面积正方形，延长交于，同理有的面积的面积正方形，正方形的面积正方形的面积的面积的面积正方形，；（4）解：作图不唯一，如图2即为所求作的．说明：如图2，延长和交于点，以为圆心为半径画弧交于点，在的延长线上取，作，作射线交于，交于，由图可知：射线把分成和，根据同底等高可得：，，的面积相等，同理，，的面积相等是直线与的交点），所以平行四边形的面积等于平行四边形、的面积之和．2．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中长为200厘米，长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．【答案】见解析【详解】（1）如图①，过点作于点，点是边长为30厘米的正方形雕刻模具的中心，，同理：与之间的距离为，与之间的距离为，与之间的距离为，，，，答：图案的周长为；（2）连接、、，过点作于点，如图②点是边长为的等边三角形模具的中心，，，，，，，当向上平移至点与点重合时，由题意可得，△绕点顺时针旋转，使得与边重合，绕点顺时针旋转到，，同理可得其余三个角均为弧长为的圆弧，，答：雕刻所得图案的周长为．3．（2019•盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（Ⅰ）将矩形纸片沿折叠，使点落在边上点处，如图②；（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点再次折叠，使得点落在边上点处，如图③，两次折痕交于点；（Ⅲ）展开纸片，分别连接、、、，如图④．【探究】（1）证明：；（2）若，设为，为，求关于的关系式．【答案】见解析【详解】（1）证明：由折叠可知，，，，，在中，，；（2）过点作于点．由（1），，，则，，，，，在中，由勾股定理得，即，关于的关系式：．4．（2018•盐城）【发现】如图①，已知等边，将直角三角板的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、．（1）若，，，则4；（2）求证：．【思考】若将图①中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与边、的两个交点、都存在，连接，如图②所示，问：点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰中，，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中，使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接．设，则与的周长之比为（用含的表达式表示）．【答案】见解析【详解】（1）解：是等边三角形，，．，，则，是等边三角形，，又，．，则，是等边三角形，．故答案是：4；（2）证明：如图①，，，，，．又，；【思考】存在，如图②，过作，，，垂足分别是、、，平分且平分．．又，，，，即点是的中点，；【探索】如图③，连接，作，，，垂足分别是、、．则，，是的中点，，，，，，，则，由（2）题可猜想应用（可通过半角旋转证明），则，设，则，．．故答案是：．5．（2022•盐城一模）【问题背景】在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，、是的高，是的中点．点、、、是否在以点为圆心的同一个圆上？为什么？小军在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点，则点、、、四点也在同一个圆上．（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）【直接应用】当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．（2）如图3，的两条高、相交于点，连接并延长交于点．求证：为的边上的高．【拓展延伸】在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：（3）在（2）的条件下连接、、（如图，设，则的度数为．（用含的式子表示）【答案】见解析【详解】（1）选择教材原题，点、、、是否在以点为圆心的同一个圆上．如图，连接、，、是的高，是的中点，，点、、、是否在以点为圆心的同一个圆上．（2）如图，连接，由点、、、四点共圆得，由点、、、四点共圆得，，，，，，为的边上的高．（3）如图，，点、、、在以点为圆心的同一个圆上，，由（1）证得点、、、在同一个圆上，，，同理可证：，，点是的内心．．6．（2022•建湖县一模）【问题再现】苏科版《数学》八年级下册第94页有这样一题：如图1，在正方形中，，，分别是，，上的点，，垂足为，那么．（填“”、“”或“”【迁移尝试】如图2，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点．求的度数；【拓展应用】如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，．①求的度数；②连接交于点，直接写出的值为．【答案】见解析【详解】【问题再现】，，将线段向左平移至处，交于，，，，四边形为正方形，，，，，，，，故答案为：；【迁移尝试】将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图2所示：，设正方形网格的边长为单位1，则由勾股定理可得：，，，，是直角三角形，，且，；【拓展应用】①平移线段至处，连接，如图3所示：则，四边形是平行四边形，，四边形与四边形都是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，；②如备用图所示：为正方形的对角线，，，，，，，故答案为．7．（2022•亭湖区校级一模）小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了数学探究活动．如图1，在与中，，，，，．【探索发现】将两个三角形顶点与顶点重合，如图2，将绕点旋转，他发现与的数量关系一直不变，则线段与具有怎样的数量关系，请说明理由；【深入思考】将两个三角形的顶点与顶点重合，如图3所示将绕点旋转．①当、、三点共线时，连接、，线段、、之间的数量关系为；②如图4所示，连接、，若线段、交于点，试探究四边形能否为平行四边形？如果能，求出、之间的数量关系，如果不能，试说明理由．【拓展延伸】如图5，将绕点旋转，连接，取的中点，连接，则的取值范围为（用含、的不等式表示）．【答案】见解析【详解】【探究发现】，，理由如下：如图1，，，，在和中，，，；【深入思考】①，理由如下：如图2，在上截取，可得是等腰直角三角形，，由【探究发现】得：，；故答案为：；②四边形可以为平行四边形，此时，，，，，；【拓展延伸】如图3，延长至，是，连接，，在中，，，，点在以为圆心，的圆上运动，当点在的延长线上时，最大，最大值为：，当点在射线上时，最小，最小值为，，，故答案为：．8．（2022•盐城二模）以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题．试题分析（Ⅰ）如图1，在中，，，是外一点，且．求的度数．小明：我发现试题中有三个等腰三角形，设，易知，又因为，得，即可算出的度数．小丽：我发现．则点、、到点的距离相等，所以点、、在以点为圆心、线段长为半径的圆上猜想证明（Ⅱ）如图1，在中，，，点、在同侧．猜想：若45，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上．对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：以点为圆心，长为半径画圆．根据点与圆的位置关系，知道点可能在内，或点在上，或点在外．故只要证明点不在内，也不在外，就可以确定点一定在上．（Ⅲ）进一步猜想：如图2，在中，，，点、在同侧．若，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上．（Ⅳ）对（Ⅲ）中的猜想进行证明．问题1．完成（Ⅰ）中的求解过程；问题2．补全猜想证明中的两个猜想：（Ⅱ）；（Ⅲ）；问题3．证明上面（Ⅲ）中的猜想；问题4．如图3为某大型舞台实景投影侧面示意图，，点处为投影机，投影角，折线为影像接收区．若影像接收区最大时（即最大），投射效果最好，请直接写出影像接收区最大时的长．【答案】见解析【详解】问题1：解：小明：如图1，设，，，，，，，，小丽：如图2，，点、、在以为圆心，长为半径的圆上，，，；问题2：由问题1可知：在中，，，点、在同侧，若，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上，同理，由问题1可知：在中，，，点、在同侧，若，则点在以点为圆心、线段长为半径的圆上，故答案为：（Ⅱ），（Ⅲ）；问题证明：若点在外，如图3，点在上，，，，点在外不成立，若点在内，如图4，点在上又，点在内不成立综上所述：点在上；问题，当时成立，设，如图5，过点作交于点，过点作交于点，连接，以为圆心，以为半径作，，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，，由问题3可知，点在上，，，，，，在中，，，解得：或58（不符合题意，舍去），影像接收区最大时的长为10，故答案为：10．9．（2022•滨海县一模）在四边形中，，对角线平分．（1）推理证明：如图1，若，且，求证：；（2）问题探究：如图2，若，试探究、、之间的数量关系，（3）迁移应用：如图3，若，，，求线段的长度．【答案】见解析【详解】（1）证明：平分，．，，又，，，，，，．（2）解：，理由如下：在图2中，过点作于点，过点作的延长线于点．平分，，．，，．在与中，，，，．由（1）可知：，．（3）解：在图3中，过点作于点，过点作的延长线于点由（2）知：，，．，平分，，，均为等腰直角三角形，，．又，，．10．（2022•盐城一模）如图，已知矩形中，是边上一点，将沿折叠得到，连接．（1）初步探究如图1，当，落在直线上时．①求证：；②填空：1；（2）深入思考如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，与交于点．求的值（用含的式子表示），并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长．【答案】见解析【详解】（1）①证明：如图1，，，四边形是矩形，四边形是正方形，，，由折叠可知，，，折叠时落在直线上，，，，在和中，，，；②解：由①知：，，故答案为：1；（2）解：，理由如下：如图2，延长交于点，由折叠可知垂直平分，，，，四边形是矩形，，，，，又，，，；（3）解：如图3，延长交于点，连接，是的中点，，由折叠可知，，，，，又，，，即，由（2）知，，，，，，，，在和中，，，，设，则，由折叠得：垂直平分，，，，，在中，，，，四边形是矩形，，，，，即，又，，，又，四边形是平行四边形，，又，，即，，，即．11．（2022•建湖县二模）问题情境小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出了一个图形：如图1，点是线段上一点，分别以、为底边在线段的同侧作等腰三角形、等腰三角形，、相交于点．当、、在同一直线上时，他发现：．请帮他解释其中的道理；问题探究如图2，在上述情境下中的条件下，过点作交于点，若，，求的长．类比应用如图3，是某村的一个三角形鱼塘，点、分别在边、上，、的交点为鱼塘的钓鱼台，测量知道，，，且．直接写出的长为．【答案】见解析【详解】（1），，，，，，；（2）由（1）可知，，，，，，，，，在和中，，，；（3）过点作于点，，，，在中，，，设，则，，，在中，，，解得，，，过点作交于，，，，，由问题探究可知，，故答案为：．12．（2022•亭湖区校级二模）【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．设窗子的边框、分别为，，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为．【初步探究】（1）若，，（即点到的距离为．①与之间的距离为，求此时的面积；②与之间的距离为，试将通风口的面积表示成关于的函数；③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？【拓展提升】（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．①需要满足的条件是，通风口的最大面积是（用含、、的代数式表示）②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【详解】（1）①当时，，当时，；与之间的距离为时的面积为；②如图1，过作，垂足为，分别与、相交于点、，当时，四边形是矩形，，，，，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，由题意可知，，，，，，，又、分别是、的对应高，，即，化简，得：．；综上可知，当时，；当时，；③当时，，因此，当时，最大，最大值是3．当时，，因此，当时，最大，最大值是3．综上所述，当时，最大，最大值是3．因此，金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是．（2）①如图2，已知在中有内接矩形，其中、在、边上，、在边上，易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半，即：底高，在图3中，延长、交直线于、，则为的中位线时，矩形的面积最大，所以要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需与边平行的中位线在上方即可，即，此时的最大，面积为的面积的一半．作于交于，，，，即，，通风口的面积矩形面积的最大值面积的一半．故答案为：；．②如图4，过点作的垂线交于点，作的垂直平分线交、于点、，线段即为所求．13．（2022•射阳县一模）如图1，已知为等边三角形，点，分别在边、上，，连接，点，，分别为，，的中点．（1）观察猜想在图1中，线段与的数量关系是，的度数是；（2）探究证明若为直角三角形，，，点分别在边，上，，把绕点在平面内自由旋转，如图2，连接，点，，分别为，，的中点．判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸若中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点，把绕点在平面内自由旋转，如图3．①是三角形．②若面积为，直接利用①中的结论，求的取值范围．【答案】见解析【详解】（1），，理由如下：是等边三角形，，，，点，，分别为，，的中点，，，，，，，，故答案为：；；（2）是等腰直角三角形，理由如下：连接，，，，，，，，是的中位线，，，同理，，，，，，是等腰直角三角形；（3）①连接，，由（2）同理可得，是等边三角形，故答案为：等边三角形；②，当最大时，最大；当最小时，最小，，，最大为18，最小为8，最大值为9，最小值为4，最大值为，的最小值为，．14．（2022•东台市模拟）小明在学习矩形知识后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，连结．【探究1】如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．【探究2】如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．【探究3】在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图，发现线段，，存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．【答案】见解析【详解】（1）如图1，设，矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，在一条线上，，，，，，又点在的延长线上，△，，，解得，（不合题意，舍去），；（2），理由如下：如图2，连接，，，，，，△，，，，，，；（3）关系式为，理由如下：如图3，连接，，，，△，，，，，，，在和中，，，，，，．15．（2022•亭湖区校级模拟）问题：纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”定义：如图1，点把线段分成两部分，如果，那么点为线段的“白银分割点”如图2，矩形中，，那么矩形叫做白银矩形．应用：（1）如图3，矩形是白银矩形，，将矩形沿着对折，求证：矩形也是白银矩形．（2）如图4，矩形中，，，为上一点，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，延长交的延长线于点，说明点为线段的”白银分制点”．（3）已知线段（如图，作线段的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【详解】（1）证明：矩形是白银矩形，，设，则，将矩形沿着对折，，，，四边形是矩形，，矩形也是白银矩形；（2）证明：如图：四边形是矩形，，矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，的等腰直角三角形，，，是线段的”白银分制点”；（3）如图：过作，在上取，连接，作的角平分线交于，点即为线段的“白银分割点”．16．（2022•亭湖区校级模拟）（1）如图1，在矩形中，，，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离．（2）如图2，有一座古井，按规定，要以井为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区．根据实际情况，要求顶点是定点，点到井的距离为米，，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（井的占地面积忽略不计）（3）为了保护古井（井的占地面积忽略不计），拟以古井为中心划定边长为30米的正方形景区，在该正方形区域内选择若干个安装点，安装一种电讯信号转发装置，其发射直径为31米．现要求：在该正方形区域每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个景区．问：①能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？②至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30米的正方形区域示意图，供解题时选用）【答案】见解析【详解】（1）如图，，，取的中点，则．以点为圆心，长为半径作，一定于相交于，两点，连接，，，点不能在矩形外；的顶点或位置时，的面积最大，作，垂足为，则四边形是矩形，在中，，，，由对称性得．（2）为平行四边形的对称中心，，，，如图，连接，作的外接圆，则点在上，取的中点，，，，是等边三角形，连接并延长，使得，连接，，则四边形是平行四边形，，，，，，，四边形是菱形，，，，的面积最大，即平行四边形的面积最大，最大值为平方米；（3）①如图，正方形的边长为30米，信号装置发射直径为31米．个圆心在正方形边的中点直径为31米的圆符合题意，②如图，以中点为圆心，15.5米为半径作，则点，在内部，设交，于点，，取的中点，连接，，取，的中点，，以，为圆心，15.5米为半径，作，，则三个圆完全覆盖景区，即能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求（答案不唯一）理由如下：，，在内，，，，，，同理，点在内部，点在内部，三个圆完全覆盖景区，能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求（答案不唯一）．17．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．（2）如图2，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取中点，连接并延长交于点，延长交于点．若为的中点，，，求邻余线的长．【答案】见解析【详解】（1），是的角平分线，，，，与互余，四边形是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形为所求；（3），是的角平分线，，，，，，点是的中点，，，，，，，，，，，．18．（2022•滨海县模拟）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，点落在点处，连接．（1）如图1，当点恰好落在上，则折痕的长为；（2）如图2，若点恰好落在上．①求证：；②求的值；（3）如图3，若将图1中的四边形剪下，在上取中点，将沿折叠得到，点、分别是边、上的动点（均不与顶点重合），将△沿折叠，点的对应点恰好落在上，当△的一个内角与相等时，请直接写出的长度．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，将矩形沿折叠，点恰好落在上，，，，是等腰直角三角形，，故答案为：；（2）①证明：如图2，四边形是矩形，，，，由折叠得：，，，，；②解：矩形中，，，，，由勾股定理得：，矩形沿折叠，点恰好落在上点处，，，，，，设，则，在△中，由勾股定理列方程得：，解得：，即，，；（3）解：由（1）可知是等腰直角三角形，，，，，当时，如图3，连接交于点，将△沿折叠，点的对应点恰好落在上，点与点关于直线对称，垂直平分，，，，；当时，如图4，过点作于点，连接、，将△沿折叠，点的对应点恰好落在上，点与点关于直线对称，垂直平分，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，、、在同一条直线上，，，，设，则，，，解得：，，，垂直平分，，设，则，在中，，，解得：，；综上所述，的长度为3或．19．（2022•射阳县校级一模）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．请用这一结论解答下列问题．（1）如图1，入射光线经过平面镜与反射后的反射光线是，若，则的度数为．（2）如图2是一种利用平面镜反射，放大微小变化的装置．手柄上的点处安装一平面镜，与屏幕的交点为，从点发出的光束经平面镜反射后，在上形成一个光点．已知当，时，，，．①求的长．②将手柄在原有位置绕点按逆时针方向旋转一定角度得到（如图，点的对应点为，与的交点为，从点发出的光束经平面镜反射后，在上的光点为．若，则的长为多少？【答案】见解析【详解】（1）（2）①如图，由题意可得，，，，，，，，，，．答：的长为48．②如图，过点作于点，过点作于点在中可求，在中可求，，得可设，，则得由△得即，解得．20．（2022•射阳县校级三模）【阅读感悟】数学解题的一个重要原则是对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．【知识方法】（1）如图1，，，交于点，则与的关系是，；【类比迁移】（2）四边形是矩形，，，点是边上的一个动点．①如图2，过点作，，连接、．判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为；【拓展应用】（3）四边形是矩形，，，点是边上的一个动点（与点、不重合），连接，将绕点顺时针旋转到，交于点，将绕点顺时针旋转到，连接、．求四边形面积的最小值．【答案】见解析【详解】（1）如图1，延长交于，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）①，，理由如下：如图2，延长，交于点，，，，，，，，，，，，，，，；②设，，正方形的面积，面积，当时，面积的最小值为，故答案为．（3）如图，由折叠的性质可得：，，，，，，，，，，四边形面积，，，又，，，，当时，有最大值，即的最小值为，四边形面积．21．（2022•射阳县校级二模）（1）①如图1，中，点在上，请用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得点到、两点的距离相等（保留作图痕迹）；②在所作的图中，若，平分，，、所对的边记为、，试说明；（如需画草图，请使用备用图）（2）如图2，中，，平分，点到、两点的距离相等，若，，求的周长．【答案】见解析【详解】（1）①解：如图1中，点即为所求．②证明：如图3中，连接，过点作交于点．，，，平分，，是等边三角形，，，，，，；（2）解：如图2中，设，，平分，，，，，，，，，，，，（负值已经舍去），的周长为.22．（2022•亭湖区校级三模）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．【问题提出】（1）如图①，点是四边形内部一点，且满足，，，请说明四边形是美好四边形；【问题探究】（2）如图②，，请利用尺规作图，在平面内作出点使得四边形是美好四边形，且满足．保留作图痕迹，不写画法；（3）在（2）的条件下，若图②中满足：，，，求四边形的面积；【问题解决】（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在、、、四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，且使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）连接，，如图：，，即，在和中，，，，四边形是美好四边形；（2）如图：四边形即为所求；（3）连接，过作于，如图：，，，，四边形是美好四边形，，，，，在中，，，，；（4）存在这样的点，满足，且使得四边形的面积最大，理由如下：当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图，过点作于，过点作于，则，，，，，当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图：当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，如图，当过圆心，最长，四边形中，时，其面积最大，的半径为，点到该湖泊的最近距离为，，，，故四边形的面积最大为．23．（2022•亭湖区校级一模）如图，