第2章特殊三角形（综合能力拔高卷）

【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（浙教版）【单元测试】第2章特殊三角形（综合能力拔高卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10有个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．2020年11月，腾讯推出新的微信表情，下列表情图标是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可以完全重合．2．如图，，，，则（

）A．50° B．45° C．30° D．25°【答案】D【分析】先根据题意证明，再由全等三角形的性质得到，继而得到，再根据三角形外角的性质得到，即可求得答案．【详解】在和中故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，外角的性质，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．3．如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，∵BD是AC边上的高，∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，∵CE=CD，∴CE=AC=3，∴BE=BC+CE=6+3=9．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．4．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．5．如图所示，平分平分，且，设，则的周长为（

）A．30 B．33 C．36 D．39【答案】A【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO=MB，NO=NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴MO=MB，NO=NC，∵AB=18，AC=12，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=18+12=30．故选：A．【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是基础知识要熟练掌握．6．下列各命题的逆命题成立的是（

）A．如果两个数相等，那么它们的平方相等 B．同旁内角互补，两直线平行C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形是锐角三角形【答案】B【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A、逆命题为如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立，不符合题意；B、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题；C、逆命题为对应角相等的两三角形全等，不成立，不符合题意；D、逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意．故选B．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．7．如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若，，则AC的长为（

）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】B【分析】先求出∠A，由题意知，，，可求出的值．【详解】解：在中，，，∴∠A=30°，∵DE是AB的垂直平分线，∴，∴，∴∠CBD=∠ABC∠ABD=30°，在中，，CD=1cm，∴，∴，又∵，∴cm，故选：B．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质．解题的关键在于灵活运用垂直平分线与角的直角三角形的性质．8．如图，在中，，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若的面积为，的面积为，则（

）A．4 B．9 C．18 D．36【答案】C【分析】由勾股定理求出，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出进行计算即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝6，∴，∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形，∴BE＝BC，AF＝AC，∴，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．9．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为（

）．A．32 B．34 C．22 D．16【答案】A【分析】连接，根据是的垂直平分线，可得，根据是的平分线，，，可得，然后证明，可得．证明，可得，进而可以解决问题．【详解】解：如图，连接，是的垂直平分线，，是的平分线，，，，在和中，，，．在和中，，，，，，的周长，故选：A．【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练使用各性质定理．10．如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（

）A． B．6 C． D．9【答案】B【分析】连接，，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，再判定，然后由全等三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，连接，，设交于点，，为的中点，，点在线段的垂直平分线上，为等边三角形，，点在线段的垂直平分线上，为线段的垂直平分线，，，点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足，，，，，则在和中，，．，∵，，，∴，，∴，解得：，∴故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．二、填空题（本大题共8有小题，每题3分，共24分）11．如图，在三角形中，点，在边，上，将三角形沿折叠，使点落在点处，将线段沿着方向向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则四边形的周长为______．【答案】18【分析】根据平移和翻折的性质可以得到AC=DF，AD=FC，BF=FD，然后根据四边形ADFC的周长=AD+DF+FC+AC进行等量代换即可求解.【详解】解：由平移的性质得：AC=DF，AD=FC由翻折的性质得：BF=FD∵四边形ADFC的周长=AD+DF+FC+AC∴四边形ADFC的周长=2（FC+FD）=2（FC+BF）=2BC=18cm故答案为：18.【点睛】本题主要考查了平移的性质和翻折的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.12．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝__．【答案】40°【分析】延长CB交l1于点D，得出∠1＝∠3＝80°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和可求∠2．【详解】解：如图，延长CB交l1于点D，∵AB＝BC，∠C＝30°，∴∠C＝∠4＝30°，∵l1∥l2，∠1＝80°，∴∠1＝∠3＝80°，∵∠C+∠3+∠2+∠4＝180°，即30°+80°+∠2+30°＝180°，∴∠2＝40°.故答案为：40°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和，解题关键是熟记相关性质，准确进行推理与计算．13．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝5，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是___．【答案】5【分析】根据等边三角形的性质，可知B与C关于AD对称，过C作CF⊥AB交AD于点E，交AB于点F，则EB+EF的最小值为CF的长，求出CF的长即可求解．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，D是BC边中点，∴AD⊥BC，∴B与C关于AD对称，过C作CF⊥AB交AD于点E，交AB于点F，则BE+EF=CE+EF=CF，则EB+EF的最小值为CF的长，∵AD=5，∴CF=5，故答案为5．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握利用轴对称求最短距离的方法，此题确定EB+EF的最小值为CF的长是解题的关键．14．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，连接AD，过点B作BE⊥AD于E，AE＝4，则△AEC的面积为___．【答案】8【分析】过C作CF⊥AD交AD的延长线于F，根据全等三角形的性质得到AE=CF，然后由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过C作CF⊥AD交AD的延长线于F，∵∠BAC=90°，且BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠FAC，∴∠ABE=∠FAC；在△ABE与△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE=CF=4，∴△AEC的面积为×4×4=8，故答案为：8．【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定及性质，解题的关键是深入观察图形结构特点，准确找出图形中隐含的相等或全等关系．15．已知命题：等边三角形是等腰三角形．该命题的逆命题为______命题．（填“真”或“假”）【答案】假【分析】根据等腰三角形的定义及互逆命题的关系进行判断即可．【详解】解：命题：等边三角形是等腰三角形的逆命题为“等腰三角形是等边三角形”，该命题是假命题．故答案为：假．【点睛】本题考查互逆命题及等腰三角形的判定，解题关键是正确写出原命题的逆命题．16．如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则________．【答案】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出，即可得出答案．【详解】证明：如图，连接CE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE,∠EDB=90°，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=30°，Rt△EDB中，∵F是BE的中点，∴DF=BE，Rt△ACE中,∵∠AEC=30°，∴AC=AE，∴AC=DF=4．故答案为：．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及30°所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本性质得出线段关系是解题的关键．17．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和；②作直线交于点．已知，，，则的长为______．【答案】【分析】如图，连接BD，利用含角的直角三角形的性质，可求出再利用勾股定理求出又由垂直平分线的性质可知设在中，利用勾股定理构建方程即可求出．【详解】解：如图所示：连接BD，∵，，，由作图可知，点D在线段AB的垂直平分线上，设在中，故答案为：【点睛】本题主要考查了作图—复杂作图，线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，学会利用参数构建方程是解此题的关键．18．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD平分∠BAC；②∠ADC＝∠ADB；③点D在线段AB的垂直平分线上；④S△ACD＝S△ABC．其中正确的个数有____个．【答案】4【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，则可对①进行判断；通过计算出∠ADC=60°，∠ADB=120°，则可对②进行判断；利用∠BAD=∠B得到DA=DB，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理可对③进行判断；过点D作DE⊥AB于E，证Rt△ACD≌Rt△AED≌Rt△BED，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．【详解】解：由作图方法可知AD是∠BAC的角平分线，故①正确；∴∠BAD=∠CAD，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠ADC=60°，∠ADB=180°∠ADC=180°60°=120°，∠ADC＝∠ADB；故②正确；∵∠B=∠BAD=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确；过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，∴CD=ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC=90°∠B=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°=∠B，∴AD=BD，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴Rt△AED≌Rt△BED（HL），∴Rt△ACD≌Rt△AED≌Rt△BED，∴S△ACD=S△ADE=S△BED=S△ABC，故④正确，正确答案为：①②③④，共有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段的垂直平分线的判定和含30度的直角三角形三边的关系．三、解答题（本大题共6有小题，共66分；第19小题8分，第2021每小题10分，第2223每小题12分，第24小题14分）19．如图，与关于直线l对称，对应线段和所在的直线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴l有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l有什么关系？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？【答案】对应线段和所在的直线相交，对应线段和所在的直线相交，交点都在对称轴l上；对应线段和所在的直线不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l平行．规律：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线的位置关系：平行或者相交，交点一定在对称轴上．【分析】利用轴对称图形的性质可知：对应线段所在的直线相交于对称轴上一点，如果不相交，对应线段所在直线与对称轴l平行，由此得出答案即可．【详解】对应线段和所在的直线相交，对应线段和所在的直线相交，交点都在对称轴l上；对应线段和所在的直线不相交，这组对应线段所在直线与对称轴l平行．规律：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线的位置关系：平行或者相交，交点一定在对称轴上．【点睛】此题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．20．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若，求的度数．【答案】（1）AB的长为15cm；（2）的度数为．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，可得△CMN的周长等于线段；（2）根据三角形内角和定理，列式求出，再求出，根据等边对等角可得，，即可求解．【详解】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC∴，∵△CMN的周长为15cm∴∴∴AB的长为（2）由（1）得，∴，在中，∴根据对顶角的性质可得：，在中，在中，∴∴在中，∴∴【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用．21．如图，在等边中，点E在上，点D在的延长线上．(1)如图1，，求证：；(2)如图2，若E为上异于A、C的任一点，，（1）中结论是否仍然成立？为什么？【答案】(1)证明见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形的三线合一性质由得到BE平分，则可求出，再由得到，利用外角的性质求出，最后利用等角对等边即可证明；（2）过点E作EF//BD交AB于点F，如图（见详解），根据平行得到同位角相等继而得到是等边三角形，利用边角边证明，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，，∴BE平分，．∵，∴，，∴，∴；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵是等边三角形，过点E作EF//BD交AB于点F，如图所示，则，，∴是等边三角形．∵，∴，∴，即．∵是的外角，是的外角，∴，在和中，，∴．∴．【点睛】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定以及外角的性质等，解题的关键是要熟练掌握相关的性质和判定定理，并能够在图中作出适当的辅助线解决问题．22．一辆装满快递的物流卡车，其外形为高2.5米，宽1.6米的箱式货车，要开进厂门形状如图所示的工厂，问这辆车能否通过该工厂的厂门（厂门上方为半圆形拱门）？【答案】这辆车能通过该工厂的厂门【分析】利用勾股定理求出的长，从而可得的长，由此即可得．【详解】解：由图可知，米，米，米，，则在中，由勾股定理得：（米），所以（米）米，答：这辆车能通过该工厂的厂门．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．23．如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边△ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．(1)求证：∠FEA=∠FBA；(2)求∠EFC的度数；(3)点N在线段FC上且FN=FE，连接EN，证明：FE+FA=2FD．【答案】(1)见解析(2)∠EFC=60°(3)见解析【分析】（1）由等边三角形的性质及线段的垂直平分线的性质证明；（2）利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案；（3）利用（2）的结论，证明△EFN是等边三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再证明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半得到FC=2FD，结论得证．【详解】（1）∵AD为边BC的垂直平分线，∴AB=AC，∵△ACE为等边三角形，

∴AC=AE，∴AB=AE，

∴∠FEA=∠FBA；（2）解：∵AD为边BC的垂直平分线

∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，FB=FC，∠FBC=∠FCB，∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，

即∠ABE=∠ACF，∵∠ABE=∠AEF，

∴∠AEF=∠ACF，∵∠FME=∠CMA，

∴∠EFC=∠CAE，∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°，

∴∠EFC=60°．（3）解：FE+FA＝2FD，证明：由（2）得∠EFM=∠CAM=60°，∵FN=FE，

∴△EFN是等边三角形，

∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，∵△ACE为等边三角形，

∴∠AEC=60°，EA=EC，∴∠FEN=∠AEC，∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，

即∠AEF=∠CEN，在△EFA和∠ENC中，EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC，∴△EFA≌△ENC（SAS），

∴FA=NC，∴FE+FA=FN+NC=FC，∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，

∴∠FCB=×60°=30°，∵AD⊥BC，

∴∠FDC=90°，∴FC=2FD，

∴FE+FA=2FD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．24．已知△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB．AC所在的直线相交于点M和N，连接MN．（1）如图1，当点M、点N在边AB、AC上且DM=DN时，探究：BM、MN、NC之间的关系，并直接写出你的结论；（2）如图2，当点M、点N在边AB、AC上，但DM≠DN时，（1）中的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，写出你的猜想；若不成立，请直接写出新的结论．【答案】（1）BM＋CN=MN；（2）成立；证明见解析；（3）MN=CNBM．【分析】（1）首先证明Rt△BDM≌