专题17解直角三角形(精讲精练)(原卷版+解析)

第17讲解直角三角形（精讲）锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）解直角三角形30°，45°，60°角的三角函数值使用参考数据由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题TOC\o"1-3"\h\u第17讲解直角三角形（精讲） 1考点1：锐角三角函数的计算 2考点2：解直角三角形 9考点3：解直角三角形的应用 25课堂总结：思维导图 53分层训练：课堂知识巩固 55考点1：锐角三角函数的计算①锐角三角函数：正弦:sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c)余弦:cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)＝eq\f(b,c)正切:tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq\f(a,b).②特殊角的三角函数值｛三角函数的定义★｝已知中，，，，那么下列各式中正确的是A． B． C． D．｛三角函数的定义★｝在中，，，则的正弦值为A． B． C．2 D．｛三角函数的计算★｝计算：．｛三角函数的定义★｝如图，在中，，，，则．｛三角函数的定义★｝在中，，，，则．｛三角函数的计算★｝计算：．｛三角函数的计算★｝在中，，则一定是：．（2021•泸州）在锐角中，，，所对的边分别为，，，有以下结论：（其中为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为A． B． C． D．（2020•桂林）如图，在中，，，，则的值是．考点2：解直角三角形①解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．②解直角三角形的常用关系：(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=eq\f(a,c)，cosA＝sinB=eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).｛解直角三角形★｝如图，在中，，，点为的中点，于点，则的值等于A． B． C． D．｛解直角三角形★｝如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为A．3 B． C． D．｛解直角三角形★｝如图，在四边形中，，，，，则的值为A．2 B． C． D．｛解直角三角形★｝（2021•内江）已知，在中，，，，则的面积为．｛解直角三角形★｝如图，中，，，点、点分别在、上，连接、，，，，则．｛解直角三角形★｝如图，的顶点，，都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的值为．｛解直角三角形★｝如图，在平面直角坐标系中，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标是．｛解直角三角形★｝在中，，，，，则的长为．｛解直角三角形★｝在中，是的高线，若，，，则长为．（2021•黑龙江）如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为A．1 B．2 C． D．（2021•宜宾）如图，在中，点是角平分线、的交点，若，，则的值是A． B．2 C． D．（2021•广东）如图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点，，则的直径为A． B． C．1 D．2（2021•宜昌）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为A． B． C． D．考点3：解直角三角形的应用仰角、俯角、坡度、坡角和方向角：(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）｛解直角三角形的应用★｝如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方0.2米的点处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板的长度至少是A．米 B．米 C．米 D．米｛解直角三角形的应用★｝我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算．下面计算圆内接正十二边形的周长正确的是A． B． C． D．｛解直角三角形的应用★★｝如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若坡面的长度为米，则斜坡的长度为米．｛解直角三角形的应用★★★｝在学习解直角三角形以后，某数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上的影长为6米，落在斜坡上的影长为4米，，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡的坡角为，旗杆的高度约为米．（参考数据：，，，，精确到0.01米）｛解直角三角形的应用★｝（2021•阜新）如图，甲楼高，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是，看乙楼底的俯角是，则乙楼高度约为（结果精确到，．｛解直角三角形的应用★｝如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测倾器测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度为米（保留根号）｛解直角三角形的应用★｝如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离约是海里．（结果保留整数，｛解直角三角形的应用★｝如图，在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿北偏东的方向以4海里小时的速度出发，同时乙货船从港沿西北方向出发，2小时后相遇在点处，则乙货船每小时航行海里．（精确到，参考数据｛解直角三角形的应用★★★｝小李想测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段表示，小李站在点测得，小李从点走4米到达了斜坡的底端点，并测得，从点上斜坡走了8米到达点，测得，，，在同一水平线上，、、、、在同一平面内，则大树的高度约为米．（结果精确到0.1米，参考数据：，｛解直角三角形的应用★★｝如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，的坡度为；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为米．｛解直角三角形的应用★★★｝自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．则斜坡的长为米．（结果保留根号）｛解直角三角形的应用★★★｝如图1，这是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货箱的立体示意图，图2是它的平面示意图．已知汽车货箱高度，货箱底面距地面的高度，坡面与地面的夹角，木箱的长为，高为，宽小于汽车货箱的宽度．已知，木箱底部顶点与坡面底部点重合，则木箱底部悬空部分的长为，木箱上部顶点到汽车货箱顶部的距离为．｛解直角三角形的应用★｝某市为了加快网格信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点测得发射塔顶端点的仰角是，向前走60米到达点测得点的仰角是，测得发射塔底部点的仰角是，则米；信号发射塔的高度为米．（结果精确到0.1米，｛解直角三角形的应用★｝如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为．｛解直角三角形的应用★｝（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆．求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：，，，｛解直角三角形的应用★｝周末，甲乙两人相约去附近的山顶处写生．甲从小山的正东方向处出发，乙从小山正西方向的处出发．已知处的海拔高度为18米，处的海拔高度比处高30米，且、两地的水平距离为1048米．山坡的坡角为，山坡的坡度．问：（1）小山的海拔高度是多少米？（2）甲乙两人到达山顶所走的路程相差多少米？（参考数据：，，（2021•呼和浩特）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面及的值都正确的是A．， B．， C．， D．，（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，时，点到的距离为．（结果保留小数点后一位，参考数据：，课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2022秋•宛城区校级期末）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是A．2 B． C． D．2．（2022秋•大名县校级期末）在中，，，，那么的值是A． B． C． D．3．（2023•小店区校级一模）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度．如图所示，无人机在地面上方130米的处测得山顶的仰角为，测得山脚的俯角为．已知的坡度为，点，，，在同一平面内，则此山的垂直高度约为（参考数据：，，，A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米4．（2022秋•密云区期末）为锐角，若，则的度数为A． B． C． D．5．（2022秋•宣州区期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，如果射线与轴正半轴的夹角为，那么的正弦值是A． B． C． D．6．（2022秋•桃江县期末）如图，在中，，于，下列式子正确的是A． B． C． D．7．（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是A． B． C． D．8．（2022•从化区一模）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，在格点上，则正切值是A． B． C．2 D．9．（2022秋•南关区校级期末）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为．10．（2022秋•德惠市期末）在中，，，，那么的长为．11．（2022秋•驻马店期末）在中，若，则的度数是．12．（2022秋•广饶县校级期末）一等腰三角形的两边长分别为和，则其底角的余弦值为．1．（2022秋•邹城市校级期末）如图，在中，，，，且为锐角，的值是A． B． C． D．2．（2022秋•丛台区校级期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则等于A． B． C． D．3．（2022秋•邹城市校级期末）如图．某同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处9米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为、、、在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行．他在处又测得宣传牌顶部的仰角为，则宣传牌的高度为米（结果保留根号）．4．（2022秋•桐柏县期末）如图，在中，，是的中点，连接，过点作的垂线，交延长线于点．已知，．则的值为．5．（2023•未央区校级三模）开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚处，测得铁塔顶端的仰角为，沿山坡向上走到达处，测得铁塔顶端的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算铁塔的高度（结果精确到，参考数据：．6．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面处测得飞船底部处的仰角，顶部处的仰角为，求此时观测点到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，1．（2021秋•武昌区校级期末）如图，中，，，为边上一点，，，为边上一动点，当最大时的长为A．2 B．3 C． D．2．（2021•成都自主招生）一个三角形的边长分别为，，，另一个三角形的边长分别为，，，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于A． B． C． D．3．（2021•唐河县一模）如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是和，如果斑马线的宽度是米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离是多少？4．（2020•江阴市模拟）如图，将含角的直角三角板绕其直角顶点顺时针旋转角，得到△，与交于点，过点作交于点，连接．易知，在旋转过程中，为直角三角形．设，，的面积为．（1）当时，求的值．（2）求与的函数关系式，并写出的取值范围；（3）以点为圆心，为半径作，当时，判断与的位置关系，并求相应的值．第17讲解直角三角形（精讲）锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）解直角三角形30°，45°，60°角的三角函数值使用参考数据由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题TOC\o"1-3"\h\u第17讲解直角三角形（精讲） 1考点1：锐角三角函数的计算 2考点2：解直角三角形 9考点3：解直角三角形的应用 25课堂总结：思维导图 53分层训练：课堂知识巩固 55考点1：锐角三角函数的计算①锐角三角函数：正弦:sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c)余弦:cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)＝eq\f(b,c)正切:tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq\f(a,b).②特殊角的三角函数值｛三角函数的定义★｝已知中，，，，那么下列各式中正确的是A． B． C． D．【分析】由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义分别求出、、、即可．【解答】解：中，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．｛三角函数的定义★｝在中，，，则的正弦值为A． B． C．2 D．【分析】先通过勾股定理求出斜边长度，再根据三角函数求解．【解答】解：设为，则，由勾股定理得，．故选：．【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是注意正弦值为锐角的对边与斜边的比．｛三角函数的计算★｝计算：．【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题考查的特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．｛三角函数的定义★｝如图，在中，，，，则10．【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可．【解答】解：在中，，，，，，故答案为：10．【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提．｛三角函数的定义★｝在中，，，，则．【分析】利用勾股定理求出，再根据，求解即可．【解答】解：如图，在中，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．｛三角函数的计算★｝计算：2．【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式，故答案为：2．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确计算的前提．｛三角函数的计算★｝在中，，则一定是：等腰直角三角形．【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角和角，进而确定三角形的形状．【解答】解：因为，所以，且，即，，所以，，所以是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提．（2021•泸州）在锐角中，，，所对的边分别为，，，有以下结论：（其中为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为A． B． C． D．【分析】已知，所以求出的度数即可使用题中的结论，得到关于的方程，再求圆的面积即可．【解答】解：，，，，，，故选：．【点评】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的内角和定理，实数的运算，解题的关键是：求出的度数，使用题中的结论，得到关于的方程．（2020•桂林）如图，在中，，，，则的值是．【分析】根据余弦的定义解答即可．【解答】解：在中，，故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．考点2：解直角三角形①解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．②解直角三角形的常用关系：(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=eq\f(a,c)，cosA＝sinB=eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).｛解直角三角形★｝如图，在中，，，点为的中点，于点，则的值等于A． B． C． D．【分析】连接，由中，，，为中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得，再利用勾股定理，求得的长，那么在直角中根据三角函数的定义求出，然后根据同角的余角相等得出，于是．【解答】解：连接，中，，，为中点，，，，．，，，，，，故选：．【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．｛解直角三角形★｝如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为A．3 B． C． D．【分析】连接格点，构造直角三角形，先计算，再算的正弦．【解答】解：连接格点、．在中，，，．．故选：．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．｛解直角三角形★｝如图，在四边形中，，，，，则的值为A．2 B． C． D．【分析】延长、，两线交于，解直角三角形求出，求出，根据勾股定理求出，求出，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【解答】解：延长、，两线交于，在中，，，，，，，在中，，，，由勾股定理得：，，，，，，，解得：，故选：．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性质和判定等知识点，能正确作出辅助线（构造出直角三角形）是解此题的关键．｛解直角三角形★｝（2021•内江）已知，在中，，，，则的面积为2或14．【分析】过点作边的高，中，，，得，在中，，得，①是钝角三角形时，②是锐角三角形时，分别求出的长，即可求解．【解答】解：过点作边的高，中，，，，在中，，，①是钝角三角形时，，；②是锐角三角形时，，，故答案为：2或14．【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．｛解直角三角形★｝如图，中，，，点、点分别在、上，连接、，，，，则．【分析】如图，过点作于点，于点，过点作于点．证明，，都是等腰直角三角形，利用参数构建方程求解即可．【解答】解：如图，过点作于点，于点，过点作于点．，，，，，，，，可以假设，，，，，，，，，，，，，【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．｛解直角三角形★｝如图，的顶点，，都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的值为3．【分析】利用等面积法求出，再利用勾股定理求出即可．【解答】解：由题意得：，，，的面积，，，在中，，，故答案为：3．【点评】本题考查了解直角三角形，利用等面积法来计算是解题的关键．｛解直角三角形★｝如图，在平面直角坐标系中，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标是．【分析】构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数求出，即可确定点的坐标．【解答】解：过点作轴，垂足为，由于，设，则，，，，，点，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．｛解直角三角形★｝在中，，，，，则的长为9．【分析】过点作于点，根据，，设，，再利用勾股定理求得，，再次利用勾股定理求出的长，即可解决问题．【解答】解：如图，过点作于点，在中，，设，，由勾股定理得，，，，，，，故答案为：9．【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．｛解直角三角形★｝在中，是的高线，若，，，则长为5或3．【分析】分两种情况进行讨论：高在内部；高在外部．【解答】解：如图，分两种情况：当高在内部时，在中，，在中，，，；当高在外部时，易知，．故答案为：5或3．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．（2021•黑龙江）如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为A．1 B．2 C． D．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出，再根据，设参数表示、即可求出答案．【解答】解：过点作，交的延长线于点，，，，，，，在中，由于，设，则，又，，，，故选：．【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．（2021•宜宾）如图，在中，点是角平分线、的交点，若，，则的值是A． B．2 C． D．【分析】放在中利用三角函数定义即可求．【解答】解：如图：作于，，平分．．．根据勾股定理得：．平分．，，．设，则，在中，根据勾股定理得：．．．在中，．法二：在求出后．．．．．故选：．【点评】本题考查勾股定理，角平分线性质及锐角三角函数的定义，构造直角三角形求线段的长是求解本题的关键．（2021•广东）如图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点，，则的直径为A． B． C．1 D．2【分析】如图，过点作于．证明，推出，推出，可得结论．【解答】解：如图，过点作于．是直径，，，平分，，，，，，，，，解法二：由此处开始，可以在中用勾股定理得，再由垂径定理可得得解．故选：．【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．（2021•宜昌）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为A． B． C． D．【分析】由图可知，可把放在中，利用勾股定理可求出斜边的长，再利用余弦的定义可得．【解答】解：法一、如图，在中，，，，．故选：．法二、在中，，，，．故选：．【点评】本题主要考查勾股定理，锐角三角函数的定义等内容，题目比较简单，找到角所在的直角三角形是解题关键．考点3：解直角三角形的应用仰角、俯角、坡度、坡角和方向角：(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）｛解直角三角形的应用★｝如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方0.2米的点处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板的长度至少是A．米 B．米 C．米 D．米【分析】由已知条件易求的长，在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，角的正切值窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．【解答】解：米，米，米，光线与地面成角，．又，．故选：．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系是解题关键．｛解直角三角形的应用★｝我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算．下面计算圆内接正十二边形的周长正确的是A． B． C． D．【分析】求出正多边形的中心角，利用三角形周长公式求解即可．【解答】解：十二边形是正十二边形，．于，又，，正边形的周长，圆内接正十二边形的周长，故选：．【点评】本题考查解直角三角形的应用，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．｛解直角三角形的应用★★｝如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若坡面的长度为米，则斜坡的长度为米．【分析】过点作于，过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出，根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：过点作于，过点作于，则四边形为矩形，，坡的坡比，，（米，斜坡的坡比，，由勾股定理得：（米，故答案为：米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．｛解直角三角形的应用★★★｝在学习解直角三角形以后，某数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上的影长为6米，落在斜坡上的影长为4米，，同一时刻，光线与旗杆的夹角为，斜坡的坡角为，旗杆的高度约为10.61米．（参考数据：，，，，精确到0.01米）【分析】过点作于点，延长交于点，过点作于点，过点作于点，根据正切的定义求出，根据余弦的定义求出，根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案．【解答】解：过点作于点，延长交于点，过点作于点，过点作于点，，，，四边形为矩形，，，，在中，，，，，，，在中，，，，（米，故答案为：10.61．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．｛解直角三角形的应用★｝（2021•阜新）如图，甲楼高，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是，看乙楼底的俯角是，则乙楼高度约为57（结果精确到，．【分析】在中，根据，，米，求出、的长度，然后在中求出的长度，继而可求出的高度．【解答】解：如图，过作于，则，在中，，，米，（米，（米，在中，，，米，乙楼（米．答：乙楼的高约为57米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是根据所给的仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．｛解直角三角形的应用★｝如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测倾器测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度为米（保留根号）【分析】先证，设米，表示出、，再在△中，由，求出，进而求出即可．【解答】解：由题意得：，，是等腰直角三角形，，设米，则米，在△中，，，解得，，（米，故答案为：米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．｛解直角三角形的应用★｝如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离约是82海里．（结果保留整数，【分析】根据海里，，可以先求得的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据，，即可得到，然后即可计算出的长．【解答】解：设与交于点，如右图所示，由已知可得，海里，，海里，（海里），，，，海里，（海里），故答案为：82．【点评】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，解答本题的关键是明确题意，求出和的长．｛解直角三角形的应用★｝如图，在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿北偏东的方向以4海里小时的速度出发，同时乙货船从港沿西北方向出发，2小时后相遇在点处，则乙货船每小时航行2.8海里．（精确到，参考数据【分析】作于点，首先在直角三角形中求得，然后在直角三角形中求得的长，最后除以时间即可得到乙货轮航行的速度．【解答】解：作于点，甲货船从港沿北偏东的方向以4海里小时的速度出发，，（海里），（海里）．乙货船从港沿西北方向出发，，（海里），乙货船每小时航行（海里小时），故答案为2.8．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从纷杂的实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．｛解直角三角形的应用★★★｝小李想测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段表示，小李站在点测得，小李从点走4米到达了斜坡的底端点，并测得，从点上斜坡走了8米到达点，测得，，，在同一水平线上，、、、、在同一平面内，则大树的高度约为24.4米．（结果精确到0.1米，参考数据：，【分析】过作于，于，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：过作于，于，则四边形为矩形，，，，，米，（米，（米，米，，，，，，，，，，即，解得：（米，故答案为：24.4．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．｛解直角三角形的应用★★｝如图，小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，的坡度为；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为米．【分析】过点作于，交的延长线于，根据坡度的概念分别求出、，根据题意求出，进而求出．【解答】解：过点作于，交的延长线于，则四边形为矩形，，，在中，的坡度为，设米，则米，由勾股定理得：，解得：，（舍去），米，米，米，由题意得：米，米，故答案为：．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．｛解直角三角形的应用★★★｝自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．则斜坡的长为米．（结果保留根号）【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得的长，进而得到的长，再根据锐角三角函数可以得到的长，然后由勾股定理即可求得的长即可．【解答】解：，米，坡度为，，，米，（米，，斜坡的坡度为，，即，解得：（米，（米，故答案为：米．【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，求出的长是解答本题的关键．｛解直角三角形的应用★★★｝如图1，这是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货箱的立体示意图，图2是它的平面示意图．已知汽车货箱高度，货箱底面距地面的高度，坡面与地面的夹角，木箱的长为，高为，宽小于汽车货箱的宽度．已知，木箱底部顶点与坡面底部点重合，则木箱底部悬空部分的长为1，木箱上部顶点到汽车货箱顶部的距离为．【分析】解直角，根据正弦函数的定义求出，根据求出的长；作于点，作于点，证明，，根据相似三角形对应边成比例求出，由，那么木箱上部顶点到汽车货箱顶部的距离为．【解答】解：，，，，，，即木箱底部悬空部分的长为．作于点，作于点，则，，，，，，，即，解得，，，，即木箱上部顶点到汽车货箱顶部的距离为．故答案为：1，0.12．【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，相似三角形、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，作出辅助线构造直角三角形，利用数形结合的思想解答．｛解直角三角形的应用★｝某市为了加快网格信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点测得发射塔顶端点的仰角是，向前走60米到达点测得点的仰角是，测得发射塔底部点的仰角是，则约81米；信号发射塔的高度为米．（结果精确到0.1米，【分析】设米，在和中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在中利用三角函数求得的长，即可求出的长度．【解答】解：设为米，在中，，,,,在中，,,,，，则，解得：，，(米,在中，,,，（米．答：约为81米，信号发射塔的高度约是94.6米．故答案为约81,约94.6．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角的问题，正确求得的长度是关键．｛解直角三角形的应用★｝如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为．【分析】过作于，过作，证出，由题意得，，解直角三角形求出、的长，即可得到答案．【解答】解：如图，过作于，过作，则，，，，，由题意得，，，在中，，是等腰直角三角形，，，在中，，，，，，两港之间的距离为，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．｛解直角三角形的应用★｝（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆．求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：，，，【分析】方法一：过点作于，过点作交延长线于，证四边形是矩形，利用特殊角三角函数求即可；方法二：过点作交延长线于，过点作延长线于，证四边形是矩形，利用特殊角三角函数求即可．【解答】解：方法一：如图1，过点作于，过点作交延长线于，在中，，，，，，，，，，在中，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，答：支撑杆上的点到水平地面的距离大约是．方法二：如图2，过点作交延长线于，过点作延长线于，在中，，，，，，同方法一得，，在中，，，，，，，，，，，，答：支撑杆上的点到水平地面的距离大约是．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．｛解直角三角形的应用★｝周末，甲乙两人相约去附近的山顶处写生．甲从小山的正东方向处出发，乙从小山正西方向的处出发．已知处的海拔高度为18米，处的海拔高度比处高30米，且、两地的水平距离为1048米．山坡的坡角为，山坡的坡度．问：（1）小山的海拔高度是多少米？（2）甲乙两人到达山顶所走的路程相差多少米？（参考数据：，，【分析】（1）过作于，于，过作于，交于，则米，米，由锐角三角函数定义得，再由坡度的定义得，则，解得：（米，即可求解；（2）由勾股定理得（米，再由锐角三角函数定义得（米，则（米．【解答】解：（1）如图，过作于，于，过作于，交于，则米，米，由题意得：米，，在中，，，山坡的坡度，，，解得：（米，（米，答：小山的海拔高度约为298米；（2）在中，米，（米，（米，在中，（米，，（米，（米，答：甲乙两人到达山顶所走的路程相差约为130米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（2021•呼和浩特）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面及的值都正确的是A．， B．， C．， D．，【分析】根据外接圆的性质可知，圆心到各个顶点的距离相等，过圆心向边作垂线，解直角三角形，再根据圆周长公式可求得．【解答】解：如图，连接，交于点，过点作于点，则，且，设正八边形的边长为，则，解得，在中，，，由，则，．故选：．【点评】本题主要考查正多边形的外接圆的性质，解直角三角形等内容，熟练掌握三角函数的定义及正多边形外接圆的性质是解题关键．（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，时，点到的距离为6.3．（结果保留小数点后一位，参考数据：，【分析】通过作垂线构造直角三角形，在中，求出，在中，求出，即可求出，从而解决问题．【解答】解：如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，过点作，垂足为，在中，，，，，在中，，，又，，，即点到的距离约为，故答案为：6.3．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2022秋•宛城区校级期末）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是A．2 B． C． D．【分析】根据勾股定理可以得到、、的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到的形状，从而可以求得图中的正切值．【解答】解：由图可得，，，，，是直角三角形，，，故选：．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是判断出的形状，利用数形结合的思想解答．2．（2022秋•大名县校级期末）在中，，，，那么的值是A． B． C． D．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：，．故选：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义是解决问题的关键．3．（2023•小店区校级一模）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度．如图所示，无人机在地面上方130米的处测得山顶的仰角为，测得山脚的俯角为．已知的坡度为，点，，，在同一平面内，则此山的垂直高度约为（参考数据：，，，A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米【分析】如图，过点作于，过点作于，设米，则米．构建方程求解即可．【解答】解：如图，过点作于，过点作于，设米，则米．，（米，米，在中，（米，，，解得，（米，故选：．【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4．（2022秋•密云区期末）为锐角，若，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：为锐角，，．故选：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．5．（2022秋•宣州区期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，如果射线与轴正半轴的夹角为，那么的正弦值是A． B． C． D．【分析】画出图形，根据直角三角形的解法解答即可．【解答】解：过点作轴，在中，，的正弦值，故选：．【点评】此题考查解直角三角形的问题，关键是画出图形，利用勾股定理解答．6．（2022秋•桃江县期末）如图，在中，，于，下列式子正确的是A． B． C． D．【分析】利用同角的余角相等可得，再根据正弦定义可得答案．【解答】解：，，，，，，故选：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦：锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．7．（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是A． B． C． D．【分析】设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数列出关于的方程，进行计算即可解答．【解答】解：设米，米，米，在中，，（米，在中，，，，经检验：是原方程的根，米，这棵树的高度是米，故选：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．8．（2022•从化区一模）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，在格点上，则正切值是A． B． C．2 D．【分析】取格点，，连接，可得，再由勾股定理求得线段、的长，然后由锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：取格点，，连接，如图，，，由勾股定理得：，，，故选：．【点评】本题主要考查了解直角三角形．利用网格的特点巧妙构造直角三角形是解题的关键．二．填空题（共4小题）9．（2022秋•南关区校级期末）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为．【分析】根据坡比的定义可得，即可得，再结合勾股定理可得答案．【解答】解：迎水坡的坡比为，，，，由勾股定理得，．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题、勾股定理，熟练掌握坡比的定义以及勾股定理是解答本题的关键．10．（2022秋•德惠市期末）在中，，，，那么的长为8．【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：，，，故答案为：8．【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．11．（2022秋•驻马店期末）在中，若，则的度数是．【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出，，根据三角形的内角和定理计算，得到答案．【解答】解：，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、的四个三角函数值是解题的关键．12．（2022秋•广饶县校级期末）一等腰三角形的两边长分别为和，则其底角的余弦值为或．【分析】可分为腰长和底边长两种情况，求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即可．【解答】解：①为腰长时，作于．，；②为底边时，同理可得，，故答案为或．【点评】考查锐角三角函数的知识；掌握一个角的余弦值的求法是解决本题的关键；分情况探讨是解决本题的易错点．1．（2022秋•邹城市校级期末）如图，在中，，，，且为锐角，的值是A． B． C． D．【分析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：过点作，垂足为，，在中，，，，在中，，，，故选：．【点评】本题考查解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2022秋•丛台区校级期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则等于A． B． C． D．【分析】利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：，，，，是直角三角形，，在中，，，，故选：．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．二．填空题（共2小题）3．（2022秋•邹城市校级期末）如图．某同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部处9米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得教学楼窗户处的仰角为、、、在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行．他在处又测得宣传牌顶部的仰角为，则宣传牌的高度为米（结果保留根号）．【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而再根据已知可求出的长，然后利用线段的和差关系可求出的长，从而求出的长，最后在和中，分别利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：过点作，垂足为，由题意得：，，在中，，米，（米，（米，斜坡的坡度，，（米，米，米，在中，，米，在中，，（米，米，宣传牌的高度为米，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2022秋•桐柏县期末）如图，在中，，是的中点，连接，过点作的垂线，交延长线于点．已知，．则的值为．【分析】过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而利用勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再利用面积法求出，从而在在中，利用勾股定理求出，进而利用锐角三角函数的定义求出的值，最后利用等角的余角相等可得，即可解答．【解答】解：过点作，垂足为，在中，，，，，是的中点，，的面积，，，，在中，，，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的