专题2.12一元一次方程的应用大题专练（培优强化30题）题-2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍

20222023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.12一元一次方程的应用大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2022·江苏·七年级单元测试）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？【答案】18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球【分析】设分配x个工人生产塑料棒，则分配（34﹣x）个工人生产金属球，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出分配生产塑料棒的工人数，再将其代入（34﹣x）中即可求出分配生产金属球的工人数．【详解】解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配34−x个工人生产金属球，依题意得：100x12解得：x＝18，∴34﹣x＝34﹣18＝16．答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（2022·江苏南通·七年级期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，设有x名工人生产螺母，剩下的工人生产螺钉．(1)每天可生产螺母个、螺钉个；（用含x的代数式表示）(2)若1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉与螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？【答案】(1)2000x，1200（22x）(2)应安排12名工人生产螺母，安排10名工人生产螺钉．【分析】（1）设分配x名工人生产螺母，则（22x）人生产螺钉，根据题意列式即可得；（2）由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可．(1)解：设分配x名工人生产螺母，则（22x）人生产螺钉，∴每天可生产螺母2000x个，每天可生产螺钉1200（22x）个，故答案为：2000x，1200（22x）；(2)解：依题意得：2000x=2×1200（22x），解得：x=12，则22x=10，答：应安排12名工人生产螺母，安排10名工人生产螺钉．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系．3．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？【答案】(1)工厂每天能配套组成64套GH型电子产品；(2)至少应招聘40名新工人．【分析】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，根据“生产的装置总数=每人每天生产的数量×人数”结合每台GH型产品由8个G型装置和4个H型装置配套组成，即可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入8x4（2）设补充a名新工人加工G型装置，设x名工人加工G型装置，（80x）名工人加工H型装置，进而利用每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品得出等式表示出x的值，进而利用不等式解法得出答案．(1)解：设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，根据题意得：8x4解得：x=32，∴8x4答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成64套GH型电子产品．(2)解：设招聘a名新工人加工G型装置仍设x名工人加工G型装置，（80x）名工人加工H型装置，根据题意，8x+4a4整理可得，x=320−3a另外，注意到4(80−x)3≥1200于是320−3a10解得：a≥40，答：至少应招聘40名新工人．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系及不等关系，正确列出一元一次方程及不等式是解题的关键．4．（2022·江苏扬州·七年级期末）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每人每小时生产疫苗500剂，但受某些因素影响，某车间有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，该车间其余工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天能完成预定任务．(1)求该车间当前参加生产的工人有多少人；(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该车间共780万剂的生产任务，问该车间还需要多少天才能完成任务．【答案】(1)当前参加生产的工人有40人(2)车间还需要28天才能完成任务【分析】（1）设当前参加生产的工人有x人，根据完成的工作总量不变，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论；（2）设还需要生产y天才能完成任务，根据工作总量＝工作效率×工作时间×工作人数，即可得出关于y的方程求解．（1）解：设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：500×10x＝500×8（x+10），解得：x＝40．故当前参加生产的工人有40人；（2）780万＝7800000，设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：4×500×10×40+（40+10）×10×500y＝7800000，解得：y＝28．故该车间还需要28天才能完成任务．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系正确列方程计算是解题关键．5．（2022·江苏扬州·二模）为迎接科技活动节，甲、乙两个社团承接制作彩旗的任务．已知甲社团比乙社团每小时少制作12面彩旗，甲社团制作120面彩旗所用的时间与乙社团制作150面彩旗所用的时间相等．(1)甲、乙两个社团每小时各制作多少面彩旗？(2)现在需要制作一批彩旗，已知甲社团单独完成比乙社团单独完成多用1个小时，那么甲、乙两个社团同时合作，______________小时可完成．（直接写答案）【答案】(1)48，60；(2)20【解析】(1)解：设乙社团每小时做x面彩旗，则甲社团每小时做(x12)面彩旗，依题意有120x解得：x=60，经检验：x=60是原方程的解，x12=6012=48．答：甲社团每小时做48面彩旗，乙社团每小时做60面彩旗．(2)解：设这批彩旗共有y面，则y48解得y=240，∴甲、乙两个社团同时合作，完成这批彩旗共需要的时间为：24048+60故答案为：209【点睛】本题考查了分式方程一元一次方程的应用，正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程是列方程解应用题的关键．6．（2022·江苏·七年级单元测试）某校为承办县初中学校内涵建设，需制作一块活动展板，请来师徒两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天．(1)两个人合作需要多少天完成？(2)现由徒弟先做1天，师徒两人再合作完成这项工作，问：徒弟共做了几天？【答案】(1)两个人合作需要125(2)3天【分析】（1）设两个人合作需要x天完成，根据师傅完成的工作量+徒弟完成的工作量＝总工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出两个人合作完成这项工作所需时间；（2）设徒弟共做了y天，则师傅做了（y﹣1）天，根据师傅完成的工作量+徒弟完成的工作量＝总工作量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可求出徒弟共做的时间．【详解】（1）解：设两个人合作需要x天完成，依题意得：x4解得：x=12答：两个人合作需要125（2）设徒弟共做了y天，则师傅做了（y﹣1）天，依题意得：y−14解得：y＝3．答：徒弟共做了3天．【点睛】本题考查列一元一次方程解应用题，掌握列一元一次方程解应用题的方法与步骤是解题关键．7．（2020·江苏·滨海县第一初级中学七年级阶段练习）某市要对水利工程进行改造，甲队单独做这项工程需要10天完成，乙队单独需要做这项工程需要15天完成．(1)甲的工作效率是__________，乙的工作效率是__________．(2)如果两队同时施工2天，然后由乙队单独施工，还需几天完成？【答案】(1)110，(2)还需要做10天完成【分析】（1）根据工作效率=工作量÷工作时间求解即可；（2）设还需x天完成，根据甲工程队2天完成的工作量+乙工程队（x+2）天完成的工作量=1列出方程，再解方程即可．(1)解：甲的工作效率是：1÷10=110乙的工作效率是：1÷15=115故答案为：110，1(2)解：设还需要做x天完成，由题意得110解得：x＝10．答：还需要做10天完成．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解8．（2022·江苏·七年级专题练习）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？【答案】甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．【分析】若设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500x）元．根据公式：总利润=总售价总进价，列出方程即可解决问题．【详解】解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500x）元，根据题意得：90%•（1+50%）x+90%•（1+40%）（500x）500=157，解得：x=300，500x=200．答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意此类题中的售价的算法：售价=定价×打折数．9．（2021·江苏苏州·七年级阶段练习）超市先后两次共进货板栗1000kg，进货价依次为10元/kg和8元/kg，第二次比第一次多付款800元．（利润＝销售总收入﹣进货总成本）(1)该超市这两次购进的板栗分别是多少kg？(2)超市对这1000kg板栗以14元/kg的标价销售了700kg后，把剩下的板栗全部打折售出，合计获得利润不少于4570元，问超市对剩下的板栗至多打几折销售？【答案】(1)400kg，600kg(2)八五折【分析】（1）设第一次进货板栗xkg，第二次进货板栗（1000x）kg，根据第二次比第一次多付款800元列方程求解即可；（2）设超市对剩下的板栗打y折销售，根据：利润=销售总收入进货总成本，列不等式求解即可．（1）设第一次进货板栗xkg，则第二次进货板栗（1000x）kg，由题意可得：8（1000x）10x=800，解得：x=400．答：第一次进货400kg，第二次进货600kg．（2）设超市对剩下的板栗打y折销售，由题意可得：14×700+14×y10×30010×400整理，得9800+420y40004800≥4570所以420y≥3570解得：y≥8.5．答：超市对剩下的板栗至多打八五折销售．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．题目难度不大，解决（1）注意单位需统一，解决（2）需掌握利润、进货成本、销售收入间关系．10．（2022·江苏南京·七年级期末）小明去买纸杯蛋糕，售货员阿姨说：“一个纸杯蛋糕12元，如果你明天来多买一个，可以参加打九折活动，总费用比今天便宜24元．”问：小明今天计划买多少个纸杯蛋糕？若设小明今天计划买x个纸杯蛋糕，请你根据题意把表格补充完整，并列方程解答．单价数量总价今天12x明天【答案】12x、12×0.9、x+1、12×0.9（x+1）（表格填法不唯一），29个【分析】小明今天买蛋糕的单价是12元，数量为x个，则总价为12x元．明天比今天多买一个，可参与打九折活动，所以明天的单价是（12×0.9）元，数量为（x+1）个，总价为12×0.9（x+1），完成表格即可．然后根据题意列方程求出x的值即可．【详解】解：表格填写如下;单价数量总价今天12x12x明天12×0.9x+112×0.9(x+1)根据题意列方程得12×0.9（x+1）=12x24，解得x=29．答：小明计划今天买29个纸杯蛋糕．【点睛】本题主要考查了列代数式和列一元一次方程解应用题，找等量关系列出正确的方程是解题的关键．11．（2022·江苏·七年级单元测试）进入五月份，樱桃开始上市，某水果商从批发市场用12000元购进了大樱桃和小樱桃各300千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．(1)求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？(2)若大樱桃售价为每千克40元，要想樱桃全部销完后，该水果商获得的利润为3600元，则小樱桃的售价应为每千克多少元？【答案】(1)30元，10元(2)12元【分析】（1）设小樱桃的进价是每千克x元，则大樱桃的进价是每千克（x+20）元，列出方程，解方程即可；（2）设小樱桃的售价为每千克m元，列出方程，解方程即可．（1）解：（设小樱桃的进价是每千克x元，则大樱桃的进价是每千克（x+20）元，根据题意得：300x+300（x+20）=12000，解得x=10，所以x+20=10+20=30.答：大樱桃的进价是每千克30元，小樱桃的进价是每千克10元；（2）设小樱桃的售价为每千克m元，根据题意得300×40+300m12000=3600，解得m=12．答：小樱桃的售价为每千克12元．【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键是．12．（2021·江苏·东海县驼峰中学七年级阶段练习）某水果店以5元/千克的价格购进一批橙子，很快售罄，该店又再次购进，第二次进货价格比第一次每千克便宜了2元，两次一共购进600千克，且第二次进货的花费是第一次进货花费的1.2倍．(1)该水果店两次分别购进了多少千克的橙子？(2)售卖中，第一批橙子在其进价的基础上加价a%进行定价，第二批橙子因为进价便宜，因此以第一批橙子的定价再打八折进行销售．销售时，在第一批橙子中有5%的橙子变质不能出售，在第二批橙子中有10%【答案】(1)第一次购进橙子200千克，第二次购进橙子400千克．(2)a的值为80．【分析】(1)设第一次购进橙子x千克，则第二次购进（600x）千克，根据题意列方程求出x，则可知道第一次的数量，进而求出第二次的数量．(2)根据题意把第一批橙子的总售价表示出来为5(1+a%)·200(15%)，第二批橙子的总售价表示出来为5(1+a%)·80%·400(110%)，根据该水果店售完两批橙子能获利2102元，列方程求出a的值即可．【详解】（1）设第一次购进橙子x千克，则第二次购进（600x）千克，根据题意列方程得(53)(600x)=1.2×5x解得x=200600x=400答：第一次购进橙子200千克，第二次购进橙子400千克．（2）根据题意得第一批橙子的总售价为5(1+a%)·200(15%)，第二批橙子的总售价为5(1+a%)·80%·400(110%)，则[5(1+a%)·200(15%)5×200][5(1+a%)·80%·400(110%)3×400]=2102化简得2390（1+a%）=43021+a%=1.8a%=80%a=80a的值为80【点睛】本题主要考查列一元一次方程解决利润问题．要明确总利润=第一批的利润+第二批的利润，每一批的利润=每一批的总售价每一批的总进价，正确的列出方程是解题的关键．13．（2022·江苏·连云港市新海初级中学七年级期末）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入−进货成本）(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在2的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元(2)超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元(3)在2的条件下超市不能实现利润1400元的目标【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇30−a台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合2的条件，可知不能实现目标．（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：3x+5y=18004x+10y=3100解得：x=250y=210答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇30−a台．依题意得：200a+17030−a解得：a≤10．答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）依题意有：250−200a+解得：a=20，∵a≤10，∴在2的条件下超市不能实现利润1400元的目标．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解14．（2023·江苏·七年级专题练习）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下：(1)降价前每件衬衫的利润率为多少？(2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【答案】(1)50%(2)每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标【分析】（1）根据利润公式计算即可求解（2）每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的40%的预期目标，根据销售收入–进货成本=利润，即可的出关于x的一元一次方程，解之即可．（1）（120﹣80）÷80×100%＝40÷80×100%＝50%．故降价前每件衬衫的利润率为50%；（2）设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，根据题意得：120×400+（120﹣x）×（500﹣400）﹣80×500＝80×500×45%，解得：x＝20．解得：x＝20．∴每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程时解题关键．15．（2022·江苏泰州·七年级期末）某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价）甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？【答案】(1)甲50件，乙115件(2)9折【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品(2x+15)件，根据“第一次以4450元购进甲、乙两种商品”列方程求解即可；（2）设第二次甲商品是按原价打m折销售，根据“乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样”列方程求解即可．【详解】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品(2x+15)件，由题意得：20x+30(2x+15)=4450解得x=502x+15=2×50+15=115所以，第一次购进甲种商品50件，则购进乙种商品115件．（2）设第二次甲商品是按原价打m折销售，根据题意得：50×2×(25×解得m=9答：第二次甲商品是按原价打9折销售．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找准等量关系是解题的关键．16．（2022·江苏泰州·七年级期末）某服装连锁品牌线下门店对某一服装进行降价销售，______________，求出该服装的进价．（从下面3个信息中选择一个，补充完整题目，并完成解答：①按进价提高50%标价，再以8折出售，获利28元；②标价210元，以8折出售，售价比进价高20%；③标价210元，让利42元销售，利润率为20%）解：你的选择是______________（填序号）【答案】①或②或③【分析】设该服装的进价为x元，选择①或②或③，利用利润=售价一成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出该服装的进价．【详解】解：设该服装的进价为x元．选择①，有0.8×（1+50%）xx=28，解得：x=140；选择②，有210×0.8x=20%x，解得：x=140；选择③，有21042x=20%x，解得：x=140．答：该服装的进价为140元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．17．（2022·江苏南京·七年级期末）某单位计划“双12期间”购进一批手写板，网上某店铺的标价为900元/台，优惠活动如下：销售量单价不超过10台的部分每台立减140元超过10台但不超过20台的部分每台立减220元超过20台的部分每台立减300元(1)①若该单位购买了16台这种手写板，花了元；②若该单位购买了x（x＞20）这种手写板，花了元；（用含x的代数式表示）(2)若该单位购买的这种手写板均价为696元，求他们购买的数量．【答案】(1)①11680；②600x+2400(2)他们购买了25台写字板【分析】（1）①结合题意，根据有理数乘法和加减运算性质计算，即可得到答案；②结合题意，根据有理数运算和代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合题意，分三种情况，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．(1)①根据题意，该单位购买了16台这种手写板，花了：10×900−140故答案为：11680；②该单位购买了x（x＞20）这种手写板，花了：10×900−140故答案为：600x+2400；(2)设该单位购买了x台手写板当0＜x≤10时，均价760元，不合题意；当10＜x≤20时，该单位花了：10×900−140∴680x＋800＝696x∴x＝50，∵x＝50和10＜x≤20矛盾，不符合题意，故舍去；当x＞20时，600x+2400=696x∴x＝25∴该单位购买了25台写字板．【点睛】本题考查了有理数运算、代数式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、一元一次方程的性质，从而完成求解．18．（2022·江苏·七年级期中）春节将至，安州区两大商场均推出优惠活动：①商场一：全场购物每满100元返30元现金（不足100元不返）；②商场二：所有的商品均按8折销售．某同学在两家商场发现：他看中的运动服的单价相同，书包的单价也相同，这两件商品的单价之和为470元，且运动服的单价是书包的单价的8倍少25元．(1)根据以上信息，求运动服和书包的单价．(2)该同学要购买这两件商品，请你帮他设计出最佳的购买方案，并求出他所要付的费用．【答案】(1)运动服的单价为415元，书包的单价为55元(2)到第一商场买运动服，到第二商场买书包，共计费用为339元【分析】(1)利用运动服的单价是书包的单价的8倍少25元，可设书包单价为x元，则运动服的单价为(8x−25)元，然后根据价格和列方程，再解方程求出x和8x−25即可；(2)商场二商品八折销售，则470元的价格实际费用为470×0.8；商场一全场购物每满100元返30元现金(不足100元不返)；则470元的价格要返4个30元，实际费用为470−120；再计算出去第一商场买运动服，去第二商场买书包的总费用；然后比较大小即可．【详解】（1）解：设书包单价为x元，则运动服的单价为(8x−25)元，根据题意得：x+8x25=470，解得x=55，则8x25=415，答：运动服的单价为415元，书包的单价为55元；（2）解：到商场二买这两件商品的费用为470×0.8=376(元)，到商场一买这两件商品的费用为47030×4=350(元)，到第一商场买运动服的费用为41530×4=295(元)，到第二商场买书包的费用为55×0.8=44(元)，共计费用为：295+44=339(元)，∵376>350>339，∴最佳购买方案为：到第一商场买运动服，到第二商场买书包，共计费用为339元．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，理解题意，利用价格之间的关系，得出数量关系是解决问题的关键．19．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期中）“双11”天猫商城推出各种优惠活动进行促销．今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条，店铺在活动期间分别给予以下优惠：A店铺：“双11”当天购买可以享受8折优惠；B店铺：商品每满1000元可使用店铺优惠券80元．同时每满500元可使用商城双11购物津贴券50元，同时“双11”当天购买还可立减100元．(例如：购买2条被子需支付1000×2−80×2−50×4−100=1540元)．(1)若张阿姨想在“双11”当天购买4条被子，她选择哪家店铺购买?请说明理由；(2)若张阿姨在“双11”当天购买a条被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺购买的费用；(3)张阿姨在双11当天购买几条被子，两家店铺的费用相同?【答案】(1)她选择B店铺购买，理由见解析(2)A店铺：800a元，B店铺：820a−100元(3)张阿姨在双11”当天购买5条被子，两家店铺的费用相同【分析】（1）分别计算出去两个店铺购买被子的费用即可得到答案；（2）根据两个店铺的优惠方案列出对应的代数式即可；（3）令（2）中所求的2个代数式相等得到关于a的方程，解方程即可．【详解】（1）解：由题意得，去A店铺需付款：4×1000×0.8=3200元，去B店铺需付款：4×1000−80×4−8×50−100=3180元，∵3200>3180，∴她选择B店铺购买；（2）解：由题意得，去A店铺需付款：1000a×0.8=800a元，去B店铺需付款：1000a−80a−2a×50−100=820a−100（3）解：由题意得800a=820a−100，解得a=5，答：张阿姨在双11当天购买5条被子，两家店铺的费用相同．【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．20．（2023·江苏·七年级专题练习）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购买超过50元后，超过50元的部分按95%收费．设累计购物x元．(1)若x＝80，顾客到______商场购物花费少．（填“甲”或“乙”）(2)当x＞100时．①顾客到甲商场购物，花费______元，到乙商场购物，花费______元．（用含x的式子表示）②顾客到哪家商场购物花费少？【答案】(1)乙(2)①（0.9x＋10），（0.95x＋2.5）；②当100<x＜150时，到乙商场购物花费少；当x＝150时，到甲、乙商场购物花费一样；当x>150时，到甲商场购物花费少【分析】(1)分别计算出累计购物80元时，分别在甲、乙两商场的花费，即可得出在哪家商场购物花费更少；(2)①根据甲、乙的优惠政策进行解答即可；②根据①中表示出在甲乙两商场的花费列出的不等式，分情况讨论，求出最合适的消费方案即可．(1)解：当累计购物80元时，到甲商场购物不优惠，花费80元，到乙商场购物优惠，花费为50+80−50故顾客到乙商场购物花费少，故答案为：乙；(2)解：①顾客到甲商场购物，花费100+x−100到乙商场购物，花费50+x−50故答案为：（0.9x＋10），（0.95x＋2.5）；②令0.9x＋10>0.95x＋2.5解得x<150，令0.9x＋10＝0.95x＋2.5解得x＝150，令0.9x＋10<0.95x＋2.5解得x>150，故当100<x＜150时，到乙商场购物花费少；当x＝150时，到甲、乙两商场购物花费一样；当x>150时，到甲商场购物花费少．【点睛】本题考查了列代数式，一元一次不等式及方程的应用，要读懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．21．（2022·江苏·七年级专题练习）某次篮球联赛部分积分如下：队名比赛场次胜场负场积分A1410434B147728C1441022据表格提供的信息解答下列问题：（1）胜一场、负一场各积多少分？（2）某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由．【答案】（1）胜一场积3分，负一场积1分；（2）不能，见解析【分析】（1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据A、B两队的得分情况列方程组，求解；（2）设胜场数是a，则负场数是14−a，由“胜场总积分等于负场总积分”，列出方程求解并判断．【详解】解：（1）设胜一场积x分，负一场积y分依题意得10x+4y=347x+7y=28解得x=3答：胜一场积3分，负一场积1分．（2）不能设胜场数是a，则负场数是14−a．若胜场总积分等于负场总积分，依题意可得3a=14−a，解得a=7∵a必须为整数，∴胜场总积分不能等于负场总积分．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，找出数量关系是关键．22．（2021·江苏南京·七年级期末）2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”．2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以3−0或者3−1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3−2取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如表所示．（1）中国队11场胜场中只有一场以3−2取胜，请将中国队的总积分填在表格中，（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表格，求巴西队胜场的场数．名次球队场次胜场负场总积分1中国11110________2美国11101283俄罗斯1183234巴西1121【答案】（1）32；（2）7【分析】(1)根据比赛中以30或者31取胜的球队积3分，在比赛中以32取胜的球队积2分，结合表格和已知条件即可得出；(2)设巴西队积3分取胜的场数为x场，则积2分取胜的场数为(x5)场，根据巴西队的总积分为21分，列出方程解方程即可得出答案．【详解】（1）解：比赛中以30或者31取胜的球队积3分，在比赛中以32取胜的球队积2分，中国队11场胜场中只有一场以32取胜，中国队的总积分=10×3+1×2=32，故答案为：32；（2）设巴西队积3分取胜的场数为x场，则积2分取胜的场数为(x5)场，依题意可列方程3x+2(x5)+1=213x+2x10+1=215x=30x=6，则积2分取胜的场数为x5=1，所以取胜的场数为6+1=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元次方程是解题的关键．23．（2022·江苏江苏·七年级期中）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足a+9+(1)a=；b=；(2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．①几秒时，点P与点Q距离2个单位长度?②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒nn>3个单位长度．记点P与点R之间的距离为PR，点A与点Q之间的距离为AQ，点O与点R之间的距离为OR．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，7PR−4OR3+AQ【答案】(1)−9；5(2)①8秒或6秒；②存在，当n=6时，式子的定值为35【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案；（2）①用含t的代数式表示P，Q表示的数，再根据“两点距离2个单位长度”列出方程，可得答案；②用含t的代数式表示出PR、OR、AQ，代入7PR−4OR3+AQ化简变形，再令t的系数为0，即可得出n值和【详解】（1）解：∵a+9+∴a+9=0，b−5∴a+9=0，b−5=0，∴a=−9，b=5；（2）解：①P表示的数是：−9+3t，Q表示的数是：5+t，由题意得：−9+3t−5+t=2，即∴2t−14=2或2t−14=−2，解得t=8或t=6，即8秒或6秒时，点P与点Q距离2个单位长度；②存在n的值，使得在运动过程中，7PR−4OR3∵P表示的数是：−9+3t，Q表示的数是：5+t，R表示的数是：nt，∴PR=nt−−9+3t=nt−3t+9，OR=nt，∴7PR−4OR3+AQ∴当n−6=0时，7PR−4OR3即当n=6时，7PR−4OR3【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，列代数式，数轴上两点间的距离，整式加减的应用，一元一次方程的应用等，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示出PR、OR、AQ．24．（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校七年级期中）阅读理解：M、N、P为数轴上三点，若点P到M的距离是点P到N的距离的kk>0倍，即满足PM=k⋅PN时，则称点P关于M、N的“相对关系值”为k．例如，当点M、N、P表示的数分别为0、2、3时，PM=3PN，则称点P关于M、N的“相对关系值”为3；PN=12MN，则称点N关于P、M的“相对关系值”为12．如图，点A、B、C(1)原点O关于A、B的“相对关系值”为a，原点O关于B、A的“相对关系值”为b，则a=______；b=______．(2)点E为数轴上一动点，点E所表示的数为x，若x满足x+3+x−2=5，且点E关于C、D的“相对关系值”为k(3)点F从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，设运动时间为tt>0秒，当经过t秒时，C、D、F三点中恰有一个点关于另外两点的“相对关系值”为2，求t【答案】(1)12(2)1(3)t的值为2秒或20秒或4秒或14秒或32秒【分析】（1）先求出OA、OB的值，然后根据“相对关系值”的定义可得答案；（2）根据两点间的距离求出x的取值范围，然后根据“相对关系值”的定义求解即可；（3）分6种情况列方程求解即可．【详解】（1）解：∵点A、B在数轴上，它们所表示的数分别为1、2，∴OA=1,OB=2，∴OA=12OB∴a=1故答案为：12（2）解：∵x+3+∴−3≤x≤2，∴4≤EC≤9，当EC=4时，ED=8，此时EC=1当EC=9时，ED=3，此时EC=3ED．∴12故答案为：12（3）解：当CD=2CF时，6−−6解得t=2；当CF=2CD时，26−解得t=20；当FD=2FC时，F与B重合，不合题意；当FC=2FD时，6−2−t=22−t解得t=4或t=20；当DC=2DF时，6−−6=22−t解得t=2或t=14；当DF=2DC时，−6−解得t=32；综上可知，t的值为2秒或20秒秒4秒或14秒或32秒．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．25．（2022·江苏·锡中匡村实验学校七年级期中）已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且(a−1)2(1)求a，b的值；(2)点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值；(3)小蜗牛甲以1个单位长/秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3秒后位于点A的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？【答案】(1)a=1(2)−6或5(3)点D表示的有理数是−7，小蜗牛甲共用去4秒【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性即可求出a和b的值；（2）根据数轴上两点间的距离公式可求出AB=3说明点C不可能在点A和点B中间．即可故分类讨论：①当点C在点B的左边时和②当点C在点A的右边时，分别列出关于c的等式，再求解即可；（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，由题意可知食物所在点代表的数为−8，结合题意可列出关于t的方程，解出t，从而可求出结果．【详解】（1）∵(a−1)2∴a−1=0，解得：a=1，（2）∵AB=1−(−2)=3，∴点C不可能在点A和点B中间．故分类讨论：①当点C在点B的左边时，1−c+(−2−c)=11，解得：c=−6；②当点C在点A的右边时，c−1+c−(−2)=11，解得：c=5．综上可知，c的值为−6或5；（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，由题意可知食物所在点代表的数为−2−6=−8，如图．∴相遇时小蜗牛甲爬行t+1×3=(t+3)个单位长度，小蜗牛乙爬行2t个单位长度，根据题意得：t+3+2t=−2−(−8)解得：t=4，∴小蜗牛乙爬行2×4=8个单位长度，小蜗牛甲共用去4+3=7秒．∴点D表示的有理数是1−8=−7．【点睛】本题考查非负数的性质，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．26．（2022·江苏·七年级专题练习）某粮库原有大米132吨，一周内该粮库大米的进出情况如表：（运进大米记作“+”，运出大米记作“﹣”）．某粮库大米一周进出情况表（单位：吨）星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日﹣32+26﹣23﹣16m+42﹣21(1)若经过这一周，该粮库存有大米88吨，求m的值，并说明星期五该粮库是运进还是运出大米，运进或运出大米多少吨？(2)若大米进出库的装卸费用为每吨25元，求这一周该粮库需要支付的装卸总费用．【答案】(1)m＝﹣20，星期五该粮仓是运出大米，运出大米20吨(2)这一周该粮仓需要支付的装卸总费用为4500元【分析】（1）根据原有大米+进出的大米=粮库存大米，列方程求解即可；（2）根据单位费用乘总量，可得答案．(1)解：13232+262316+m+4221=88，解得m=20．答：星期五该粮仓是运出大米，运出大米20吨；(2)解：|32|+26+|23|+|16|+|20|+42+|21|=180，180×25=4500（元）．答：这一周该粮仓需要支付的装卸总费用为4500元．【点睛】本题考查了正数和负数的应用，有理数的运算，一元一次方程的应用，利用单位费用乘总量是解题关键．27．（2022·江苏盐城·七年级期末）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？【分析】（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程_____________（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程_____________请你从上述两种方法中任选一种继续解决问题．【答案】13x−4=1【分析】用代数式表示绳长或井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．【详解】解：（方法一）设绳长x尺，两次测量井深不变，可列方程13（方法二）设井深x尺，两次测量绳长不变，可列方程3x+4由3x+4=4x+13x+4答：绳长和井深分别为36尺，8尺．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，不变的是井深（绳长），用代数式表示绳长（井深）是此题的关键．28．（2022·江苏·七年级专题练习）某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，那么(1)如果某户居民在某月用水x立方米，且x≤20，则所交水费为；(2)如果某户居民在某月用水x立方米，且x＞20，则所交水费为元；(3)如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，设这户居民这个月共用了x立方米的水，请写出x的范围，并列出方程．【答案】(1)1.2x(2