第16章二次根式全章复习与测试

第16章二次根式全章复习与测试【知识梳理】一．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．二．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．三．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．四．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．五．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．六．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．七．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．八．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．九．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．十．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．【考点剖析】一．二次根式有意义的条件（共2小题）1．（2022秋•宝山区期末）如果y＝，则x+y的值为（）A． B．1 C． D．0【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵3﹣2x≥0，2x﹣3≥0，则x≥，x≤，解得：x＝，故y＝0，则x+y＝+0＝．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．2．（2021秋•浦东新区校级月考）如果式子有意义，那么x的取值范围是﹣2＜x≤1．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解得﹣2＜x≤1．故答案为：﹣2＜x≤1．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．二．二次根式的性质与化简（共4小题）3．（2022秋•青浦区校级期末）化简：＝4x．【分析】应用二次根式的性质与化简的方法进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝4x．故答案为：4x．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质与化简的方法进行求解是解决本题的关键．4．（2022秋•杨浦区期末）当mn＜0时，化简＝﹣mn．【分析】直接利用已知结合二次根式有意义的条件，得出m，n的符号，进而化简得出答案．【解答】解：∵mn＜0，m3n2＞0，∴m＞0，n＜0，∴＝﹣mn．故答案为：﹣mn．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．5．（2022春•庐阳区校级期中）将a根号外的因式移到根号内，得（）A． B．﹣ C．﹣ D．【分析】直接利用二次根式的性质得出a的符号，进而变形得出答案．【解答】解：a＝﹣＝﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．6．（2022秋•宝山区期中）下列各式中，与化简（m＞0）所得结果相同的是（）A．n B．n C．﹣n D．﹣n【分析】根据题意确定出m与n异号，原式利用二次根式性质化简即可得到结果．【解答】解：原式＝＝•，∵﹣mn≥0，m＞0，∴n≤0，∴原式＝﹣n．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质与化简：＝|a|，＝•（a≥0，b≥0）．三．同类二次根式（共1小题）7．（2022秋•杨浦区期末）下列二次根式中，与属同类二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】各式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的即为同类二次根式．【解答】解：A、原式＝3，不符合题意；B、原式＝3|a|，不符合题意；C、原式＝3|b|，不符合题意；D、原式＝3|b|，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．四．最简二次根式（共1小题）8．（2022秋•徐汇区期末）下列根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C选项符合最简二次根式的要求．【解答】解：因为：A、＝；B、＝2；D、＝|b|；所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选：C．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．五．二次根式的乘除法（共6小题）9．（2022秋•宝山区期中）＝3．【分析】根据•＝（a≥0，b≥0）计算，再化简即可得出答案．【解答】解：原式＝＝＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握•＝（a≥0，b≥0）是解题的关键．10．（2021秋•宝山区校级月考）计算：÷＝3．【分析】直接利用二次根式的除法运算计算得出答案．【解答】解：÷＝＝＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确掌握二次根式的除法运算法则是解题关键．11．（2022秋•奉贤区期中）成立的条件是x＞3．【分析】本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围．【解答】解：由题意得：，解得：x＞3．故填x＞3．【点评】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．12．（2017秋•普陀区期中）计算：•＝4y．【分析】根据二次根式的乘法法则计算．【解答】解：•＝＝4y．【点评】主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则＝（a≥0，b≥0）．13．（2022秋•闵行区校级期中）计算：2x÷3•【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝×＝×＝．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．14．（2022秋•徐汇区校级期中）计算：3÷（•）．【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝．【点评】本题考查二次根式的乘除运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．六．分母有理化（共2小题）15．（2022秋•闵行区期中）的一个有理化因式是（）A． B．+ C．﹣ D．【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．【解答】解：A.，那么是的一个有理化因式，故A符合题意．B．根据二次根式的乘法法则，不是的一个有理化因式，故B不符合题意．C．根据二次根式的乘法法则，不是的一个有理化因式，故C不符合题意．D．根据二次根式的乘法法则，，得不是的一个有理化因式，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．16．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：＝﹣2．【分析】分子和分母都乘﹣2，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．【解答】解：＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．七．二次根式的加减法（共1小题）17．（2021秋•奉贤区校级期末）计算：．【分析】先去括号化简二次根式，再合并二次根式．【解答】解：＝＝（﹣2﹣+3）＝0．【点评】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题关键．八．二次根式的混合运算（共7小题）18．（2022秋•虹口区校级期中）分母有理化：＝．【分析】先求的值，把化为，则可计算得到＝，所以原式＝，然后分母有理化即可．【解答】解：∵＝＝+＝+＝，∴原式＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则．利用倒数法和异分母的分数的加法得逆运算是解决问题的关键．19．（2022秋•青浦区校级期末）计算：．【分析】根据二次根式的乘法、分母有理数和零指数幂可以解答本题．【解答】解：＝﹣﹣2（2+）+1＝2﹣﹣4﹣2+1＝﹣．【点评】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．计算：．【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．【解答】解：＝＝＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．21．（2022秋•普陀区校级期中）计算：4×﹣（+）2+．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝2﹣（3+2+2）+＝2﹣5﹣2﹣（2+）＝2﹣5﹣2﹣2﹣＝﹣7﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．22．（2022秋•静安区校级期中）（1）计算：；（2）计算：．【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，再分母有理化，然后合并即可；（2）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+1﹣2（+1）﹣（3﹣1）＝3﹣2+1﹣2﹣2﹣2＝﹣4；（2）原式＝12a••＝12a••＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．23．（2022秋•青浦区校级期中）计算：×﹣+．【分析】先化简各二次根式，再进一步计算即可．【解答】解：原式＝×2﹣|﹣2|+2﹣＝2﹣2++2﹣＝2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．24．（2022秋•奉贤区校级期中）计算：．【分析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝3﹣﹣＝＝3﹣﹣2+2＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．九．二次根式的化简求值（共3小题）25．（2022秋•青浦区校级期中）先化简再求值：，其中x＝，y＝．【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．【解答】解：原式＝•（）2＝（﹣）•（）＝x﹣y，当x＝＝＝3﹣2，y＝＝3+2时，原式＝（3﹣2）﹣（3+2）＝﹣4．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．26．（2022秋•静安区校级期中）已知，求的值．【分析】先把分子分母因式分解，则约分得到原式＝+x﹣1，接着分母有理化得到x＝2﹣，利用倒数的定义得到＝+2，然后把它们代入计算即可．【解答】解：原式＝+＝+x﹣1，∵x＝＝2﹣，∴＝+2，∴原式＝+2+2﹣﹣1＝3．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：正确进行分式的加减运算是解决问题的关键．27．（2022秋•宝山区期中）已知a＝，求﹣的值．【分析】先利用分母有理化可得a＝2﹣，然后再代入到化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＜0，∴﹣＝﹣＝a+1﹣＝a+1+＝2﹣+1+（2+）＝2﹣+1+2+＝5【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．一十．二次根式的应用（共4小题）28．（2022秋•嘉定区期中）关于x的不等式的解集是x＜﹣2﹣．【分析】根据解一元一次不等式的步骤与方法和二次根式的性质解答便可．【解答】解：2x﹣x＞1，（2﹣）x＞1，x＜，x＜﹣2﹣．故答案为：x＜﹣2﹣．【点评】本题考查了解一元一次不等式，有理化分母，关键是熟记解不等式的步骤与方法，特别注意系数化成1时，不等式两边除以负数，不等号的方向要改变．29．（2022秋•嘉定区月考）不等式的解集是x＜1．【分析】移项；合并同类项；化系数为1解答即可．【解答】解：，（1﹣2）x＞1﹣2，x＜1．故答案为：x＜1．【点评】此题考查二次根式的应用，关键是根据解一元一次不等式的解法解答．30．（2022秋•普陀区校级期中）解不等式：（x﹣）＞x+．【分析】将所求不等式变形为（﹣）x＜﹣3，再由＞，根据不等式的基本性质求解即可．【解答】解：（x﹣）＞x+，x﹣2＞x+，（﹣）x＜﹣3，∵＞，∴x＜＝﹣3×（）＝﹣9﹣3，∴x＜﹣9﹣3．【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法，无理数大小的比较是解题的关键．31．（2022秋•嘉定区校级月考）解不等式：≤．【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案．【解答】解：≤，﹣2≤x﹣3，（﹣）x≤﹣1，x≥，x≥+．【点评】本题考查一元一次不等式，解题的关键是熟练运用一元一次不等式的解法，本题属于基础题型．【过关检测】一、单选题1．是怎样的实数时，在实数范围内有意义？（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式2x1>0，再解不等式即可；【详解】根据题意,2x−1>0,解得：；故选B.【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握运算法则.2．把根号外的因式移入根号内，其结果是（）A． B．﹣ C． D．﹣【答案】B【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a10,再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内,注意:当时,,时,,即可得出答案.【详解】解：∵根式有意义,∴,解得：,∴a10,∴=﹣,故选B.【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用,难度较大,熟悉根式的性质是解题关键.3．下列二次根式中，能与合并的是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】将各式化为最简二次根式后即可判断．【详解】A.原式=2，故不能合并，B.原式=2，故能合并，C.原式=，故不能合并，D.原式=3，故不能合并，故选B．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质.4．与互为倒数，则（

）A．a﹦b－1 B．a＋b﹦1 C．a﹦b＋1 D．a＋b﹦－1【答案】C【分析】由倒数的定义，两数的积等于1，列方程求解．【详解】解：由题意得，∴ab=1，即a=b+1故选C【点睛】此题主要考查了倒数的定义，即互为倒数的两个数的积为1．5．若与是同类二次根式，则a、b的值为（）A．a=2，b=2 B．a=2，b=0C．a=1，b=1 D．a=0，b=2或a=1，b=1【答案】D【分析】根据同类二次根式的意义，列方程组解答【详解】∵与是同类二次根式，∴，或，解得，或．故选D．6．估计的大小应（）A．在2～3之间 B．在3～4之间 C．在4～5之间 D．在5～6之间【答案】C【分析】先根据二次根式的乘法法则可知＝，再由16＜24＜25，利用算术平方根的性质可得4＜＜5，可得结果．【详解】解：∵＝，16＜24＜25，∴4＜＜5，即4＜＜5，故选：C．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质及二次根式的乘法法则是解答此题的关键．二、填空题7．若、是有理数，且，则______.【答案】43【分析】根据完全平方公式及实数的性质即可求解.【详解】∵=且、是有理数∴a=43,b=30故填：43.【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知完全平方公式.8．若直角三角形的两直角边长为a、b，且，则该直角三角形斜边上的高为__________．【答案】【分析】根据非负性求出a,b，再求出斜边长，根据面积法即可求出该直角三角形斜边上的高．【详解】∵∴∴a4=0，b3=0∴a=4,b=3∴斜边长为故该直角三角形斜边上的高为=故答案为：．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知非负性的特点．9．比较大小①_____；②_____3.4.（用>或<填空）【答案】<<【分析】①求出的取值范围，比较2与1的大小即可；②分别乘方，再比较所得负数的大小；【详解】①∵2＜＜3，∴0＜2＜1，∴；②|42|＞39.304，∴42＜39.304，即，故答案为①<；②<.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握运算法则.10．若xy＝2，则x+y＝_______________．【答案】±2【分析】分两种情况讨论，若x、y均大于0和若x、y均小于0，再化简，即可求解．【详解】解：若x、y均大于0，则原式＝x•+y•＝2＝2；若x、y均小于0，则原式＝﹣x•﹣y•＝﹣2＝﹣2；综上，原式的值为±2．故答案为：±2．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．11．若的整数部分是a，小数部分是b，则______.【答案】1【详解】解：∵的整数部分为a，小数部分为b，∴a=1，b=，∴ab==1．故答案为：112．计算=__________．【答案】【分析】先把各根式化简，然后进行合并即可得到结果．【详解】解：原式=

=故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减运算法则，比较简单．13．如果，那么的取值范围是______.【答案】【分析】根据被开方数魏非负数，分母不为零得到不等式组即可求解.【详解】依题意可得，解得，故填：.【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是根据题意列出不等式组.14．已知、，化简______.【答案】【分析】根据、，再根据二次根式的性质即可化简求解.【详解】∵、∴＞0，＞0，故==故填：.【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质.15．若最简二次根式与是同类根式，则______.【答案】2【分析】根据最简二次根式的定义得到二元一次方程组，即可求解.【详解】解依题意，解得，故填2.【点睛】点评：本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫同类二次根式．16．化简：______；______.【答案】【分析】（1）根据二次根式的性质即可求解.（2）根据最简二次根式的化简即可求解.【详解】32=；故填：；.【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的运算法则与性质.17．已知三角形三边分别为，，，则它的周长为________．【答案】【分析】根据二次根式的加法，即可解答．【详解】解：（cm）．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的加法，解题的关键是先把每一个二次根式化简．三、解答题18．（2023春·上海·七年级专题练习）利用幂的性质计算：【答案】【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；分数指数幂，非零数的零次幂为1，同底数幂相乘，底数不变指数相加；计算求值即可．【详解】解：原式=【点睛】本题考查了乘方的运算法则，分数指数幂，二次根式求值，掌握相关运算规则是解题关键．19．已知求式子的值.【答案】【分析】利用完全平方公式将已知整式变形，进而将已知代入求出即可．【详解】因为所以，，所以原式=.【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.20．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正