第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系 教学设计

第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系[学习目标]1．知道匀变速直线运动的位移与v－t图像中图线与坐标轴围成面积的关系．2．了解利用极限思想解决物理问题的方法．(难点)3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题．(重点)4．会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义．(难点)5．会用公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax进行分析和计算．(重点)知识点1匀变速直线运动的位移1．位移在v－t图像中的表示做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图像中的图线和时间轴包围的“面积”．如图所示，物体在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积．2．位移与时间关系式：x＝v0t＋eq\f(1,2)at2.3．用图像表示位移(1)x－t图像：以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像．(2)常见的x－t图像静止一条平行于时间轴的直线匀速直线运动一条倾斜的直线[判一判]1．(1)匀速直线运动物体的运动轨迹就是它的x－t图像．()(2)位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2适用于匀变速直线运动．()(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．()(4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．()提示：(1)×(2)√(3)×(4)√[想一想](1)v－t图像中如何求解物体的位移？(2)物体做变加速直线运动时，其v－t图像是一条曲线，此时物体的位移是否还对应v－t图像中图线与时间轴所包围的面积？提示：(1)在v－t图像中，图线与时间轴所围成的面积表示位移．面积在时间轴的上方表示位移为正，面积在时间轴的下方表示位移为负．如图所示，图线与t轴围成两个三角形，面积分别为x1和x2，此时x1<0，x2>0，则0～t2时间内的总位移x＝|x2|－|x1|，若x>0，位移为正；若x<0，位移为负．(2)是．推导匀变速直线运动位移时所用的无限分割的思想，同样适用于变加速直线运动，用同样的方法可证明：变加速直线运动中物体的位移也对应v－t图像中图线与时间轴所包围的面积．知识点2速度与位移的关系1．公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax．2．推导速度公式：v＝v0＋at；位移公式：x＝v0t＋eq\f(1,2)at2；由以上两式消去t得：v2－veq\o\al(2,0)＝2ax．[判一判]2．(1)对匀减速直线运动，公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax中的a必须取负值．()(2)在匀变速直线运动中，位移与速度的平方成正比．()提示：(1)×(2)×1．(位移公式的应用)质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点()A．第1s内的位移是5mB．前2s内的平均速度是6m/sC．任意相邻的1s内位移差都是1mD．任意1s内的速度增量都是2m/s解析：选D.将t＝1s代入x＝5t＋t2得：x1＝6m，A错误．将t＝2s代入x＝5t＋t2得：x2＝14m，前2s的平均速度v＝eq\f(x2,t)＝7m/s，B错误．第2s内的位移：x′2＝x2－x1＝8m，第2s内的位移与第1s内的位移之差Δx＝2m，C错误．对比位移与时间关系式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得：a＝2m/s2，故任意1s内的速度增量都是2m/s，D正确．2．(位移公式的应用)飞机起飞的过程是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动的过程．飞机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行．已知飞机在跑道上加速前进的距离为1600m，所用时间为40s，则飞机的加速度a和离地速度v分别为()A．2m/s280m/s B．2m/s240m/sC．1m/s240m/s D．1m/s280m/s解析：选A.根据x＝eq\f(1,2)at2得a＝eq\f(2x,t2)＝2m/s2，飞机离地速度为v＝at＝80m/s.3．(对位移速度公式的应用)一辆汽车以v＝54km/h的速度行驶在平直公路上，看见前方22.5m处路口有红灯，驾驶员立刻关闭发动机，汽车刚好到达前方停止线，则汽车减速行驶的加速度大小为()A．0.5m/s2 B．15m/s2C．1.5m/s2 D．5m/s2解析：选D.v＝54km/h＝15m/s，根据v2－veq\o\al(2,0)＝2ax解得a＝－5m/s2，即汽车减速行驶的加速度大小为5m/s2.4．(公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax的应用)(2022·江苏丹阳中学期中)现在的航空母舰上都有帮助飞机起飞的弹射系统，已知“F­A15”型战斗机在跑道上做匀加速直线运动，加速度为4.5m/s2，初速度为40m/s.若该飞机滑行100m时起飞，则飞机起飞速度为()A．70m/sB．60m/sC．80m/sD．50m/s解析：选D.根据速度位移公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax，可得v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋2ax)＝eq\r(402＋2×4.5×100)m/s＝50m/s，故A、B、C错误，D正确．探究一公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2的理解和应用【情景导入】如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来．请思考：(1)汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？(2)根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移时，速度及加速度的正、负号如何确定？提示：(1)汽车加速时加速度的方向与运动方向相同，减速时加速度方向与运动方向相反，因此两过程中加速度方向不同．(2)根据位移公式求位移时，一般取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值．1．对位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2的理解公式意义位移随时间变化的规律各量意义x、v0、a分别为t时间内的位移、初速度、加速度公式特点含有四个量，若知其中三个，能求另外一个矢量性x、v0、a均为矢量，应用公式时，一般选v0的方向为正方向，若匀加速，a＞0；若匀减速，a＜0适用条件匀变速直线运动2.通常有以下几种情况运动情况取值若物体做匀加速直线运动a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)若物体做匀减速直线运动a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)若位移的计算结果为正值说明位移的方向与规定的正方向相同若位移的计算结果为负值说明位移的方向与规定的正方向相反【例1】(多选)一个物体以v0＝8m/s的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为2m/s2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动．则()A．1s末的速度大小为6m/sB．3s末的速度为零C．2s内的位移大小是12mD．5s内的位移大小是15m[解析]由t＝eq\f(v－v0,a)，物体冲上最高点的时间是4s，又根据v＝v0＋at，物体1s末的速度为6m/s，A正确，B错误．根据x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，物体2s内的位移大小是12m，5s内的位移大小是15m，C、D正确．[答案]ACD[总结提升]逆向思维法就是沿着物理过程发生的相反方向，根据原因探索结果的思维方式，即把运动过程的末态当成初态、初态当成末态进行反向研究的方法，该方法一般用于末态已知的情况或末态很容易确定的情况，如匀减速直线运动可看成加速度等大反向的匀加速直线运动．[针对训练1](多选)一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的规律是x＝10t－2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是()A．初速度v0＝10m/s，加速度大小a＝4m/s2B．初速度v0＝4m/s，加速度大小a＝10m/s2C．汽车刹车到停止所用时间为5sD．汽车刹车后4s内的位移是12.5m解析：选AD.根据x＝v0t＋eq\f(1,2)at2＝10t－2t2可得v0＝10m/s，a＝－4m/s2，即初速度为10m/s，加速度大小为4m/s2，故A正确，B错误；汽车速度减为零的时间为t0＝eq\f(0－v0,a)＝eq\f(0－10,－4)s＝2.5s，则刹车后4s内的位移为x＝eq\f(0＋v0,2)t0＝eq\f(0＋10,2)×2.5m＝12.5m，故C错误，D正确．探究二公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax的理解和应用【情景导入】(1)若物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，末速度为v，位移为x，则物体经过这段位移的中点时的速度为多大？(2)思考是用速度公式、位移公式求解，还是用速度与位移的关系式求解更为简便，为什么？提示：(1)对于前半段位移eq\f(x,2)，有veq\s\do9(\f(x,2))2－veq\o\al(2,0)＝2a·eq\f(x,2)，对于后半段位移eq\f(x,2)，有v2－veq\s\do9(\f(x,2))2＝2a·eq\f(x,2)，由以上两式得veq\s\do9(\f(x,2))＝eq\r(\f(veq\o\al(2,0)＋v2,2)).(2)用速度位移关系式求解更简便，因为此公式不涉及时间．公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax的理解和应用公式意义初速度、末速度、加速度和位移之间的关系矢量性其中的x、v、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向适用范围匀变速直线运动特点该式不涉及时间，研究的问题中若不涉及时间，利用该式求解更加方便符号规定(1)若物体做匀加速直线运动，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a取负值(2)若位移与正方向相同取正值；若位移与正方向相反，a取负值【例2】(2022·新疆新和县实验中学期中)中国到2030年将拥有4个完整的处于现役状态的航母作战编队，第三艘航空母舰已在江南造船厂开工建设．航母上有帮助飞机起飞的弹射系统，将所有运动视为匀变速直线运动．(1)已知“歼­15”型战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5m/s2，起飞速度为50m/s，若“歼­15”滑行100m时起飞，求弹射系统必须使“歼­15”具有的初速度大小．(2)“歼­15”在航母上降落时，需用阻拦索使其迅速停下来．若某次“歼­15”着舰时的速度为60m/s，勾住阻拦索后滑行90m停下来．求此过程中“歼­15”加速度a的大小．[解析](1)由速度位移公式v2－veq\o\al(2,0)＝2a1x代入数据可得502－veq\o\al(2,0)＝2×4.5×100，解得v0＝40m/s.(2)由速度位移公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax代入数据可得0－602＝2a×90解得a＝－20m/s2则加速度的大小为20m/s2.[答案](1)40m/s(2)20m/s2[针对训练2]随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显．分析交通违规事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命．一货车严重超载后的总质量为49t，以54km/h的速率匀速行驶．发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5m/s2(不超载时则为5m/s2)．(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载和不超载时分别前进多远？(2)若超载货车刹车时正前方25m处停着总质量为1t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小．解析：(1)设货车刹车时的速度大小为v0，加速度大小为a，末速度大小为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝eq\f(veq\o\al(2,0)－v2,2a)代入数据，得超载时x1＝45m不超载时x2＝22.5m.(2)超载货车与轿车碰撞时，由veq\o\al(2,0)－v2＝2ax知相撞时货车的速度v＝eq\r(veq\o\al(2,0)－2ax)＝eq\r(152－2×2.5×25)m/s＝10m/s.答案：(1)45m22.5m(2)10m/s探究三x－t与v－t图像的理解和应用【情景导入】(1)阅读课本，请用“无限分割”“逐渐逼近”的思想说明v－t图像与t轴所围面积表示位移．(2)如果一位同学问：“我们研究的是直线运动，为什么你画出来的x－t图像不是直线？”你应该怎样向他解释？提示：(1)①把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移大小≈每段起始时刻速度大小×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移大小≈各个小矩形面积之和．②把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移大小．③把整个过程分得非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移大小．(2)草图如图所示，匀加速直线运动的x－t图像应为二次函数曲线，x－t图像是位移x随时间t的变化关系图像，不是物体的运动轨迹，物体做直线运动时，其x－t图像不一定是直线．1．匀变速直线运动的x－t图像(1)图像形状：由匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2知x－t图像是一个二次函数图像，如图所示．(2)不是运动轨迹：这个图像反映的是物体位移随时间按二次函数关系(抛物线)变化，而不是运动轨迹．2．x－t图像与v－t图像的比较x－t图像v－t图像①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)①表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)②表示物体静止②表示物体做匀速直线运动续表x－t图像v－t图像③表示物体向反方向做匀速直线运动，初位置为x0③表示物体做匀减速直线运动，初速度为v0④交点的纵坐标表示三个物体相遇时的位置④交点的纵坐标表示三个运动物体某时刻有共同速度⑤t1时间内物体的位移为x1⑤t1时刻物体的速度为v1(图中阴影部分面积表示物体在0～t1时间内的位移)【例3】如图甲所示的是一个物体沿直线运动的x－t图像．求：甲乙(1)第5s末的速度大小；(2)0～60s内的总路程；(3)在图乙v－t坐标中作出0～60s内物体的速度—时间图像．[解析](1)0～10s内物体做匀速运动的速度v1＝eq\f(x1,t1)＝eq\f(20,10)m/s＝2m/s，即第5s末的速度大小为2m/s.(2)0～10s内的路程d1＝20m10～40s内的路程d2＝040～60s内的路程d3＝20m所以0～60s内的路程d＝d1＋d2＋d3＝40m.(3)0～10s内速度v1＝2m/s10～40s内速度为040～60s内速度v2＝eq\f(x2,t2)＝eq\f(20m,20s)＝1m/s方向与原速度方向相反，速度—时间图像如图所示．[答案](1)2m/s(2)40m(3)图见解析[针对训练3](多选)一个质点沿x轴做匀加速直线运动．其位置—时间图像如图所示，则下列说法正确的是()A．该质点的加速度大小为4m/s2B．该质点在t＝1s时的速度大小为2m/sC．该质点在t＝0到t＝2s时间内的位移大小为6mD．该质点在t＝0时速度为零解析：选AD.质点做匀加速直线运动，则有：x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，由题图可知，第1s内的位移为x1＝0－(－2)m＝2m，前2s内的位移为x2＝6m－(－2)m＝8m，代入上式有：2＝v0＋eq\f(1,2)a，8＝2v0＋2a解得：v0＝0，a＝4m/s2，故A、D正确；该质点在t＝1s时的速度大小为v＝at＝4×1m/s＝4m/s，故B错误；由上分析知，该质点在t＝0到t＝2s时间内的位移大小为x2＝8m，故C错误．[A级——合格考达标练]1．某质点从静止开始做匀加速直线运动，已知第3s内通过的位移是x，则质点运动的加速度为()A.eq\f(3x,2) B.eq\f(2x,3)C.eq\f(2x,5) D.eq\f(5x,2)解析：选C.质点由静止开始运动，由位移公式x＝eq\f(1,2)at2可得质点在第3s内的位移x＝eq\f(1,2)a×32－eq\f(1,2)a×22＝eq\f(5,2)a，解得a＝eq\f(2x,5)，C正确．2．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是()A．物体的末速度与时间成正比B．物体的位移与时间的平方成正比C．物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比D．若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小解析：选C.根据v＝v0＋at和x＝v0t＋eq\f(1,2)at2可知，只有在初速度为零的情况下，速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比，故A、B错误；由a＝eq\f(Δv,Δt)可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确；当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可能增大，故D错误．3．关于质点做匀速直线运动的位移—时间图像，以下说法正确的是()A．图线代表质点运动的轨迹B．图线的长度代表质点的路程C．图像是一条直线，其长度表示质点的位移大小，每一点代表质点的位置D．利用x－t图像可知质点任意时间内的位移及发生某段位移所用的时间解析：选D.位移—时间图像描述位移随时间的变化规律，图线不是质点的运动轨迹，图线的长度不是质点的路程或位移大小，A、B、C错误；位移—时间图像的横坐标表示时间，纵坐标表示位移，所以，从图像中可知质点任意时间内的位移和发生任意位移所用的时间，D正确．4．做匀减速直线运动的物体的加速度大小为a，初速度大小是v0，经过时间t速度减小到零，则它在这段时间内的位移大小表达错误的是()A．v0t＋eq\f(1,2)at2 B．v0t－eq\f(1,2)at2C.eq\f(v0,2)t D.eq\f(1,2)at2解析：选A.根据位移公式可知，B正确，A错误；若将该运动反过来看，则是初速度为零的匀加速直线运动，D正确；因为末速度等于零，故v0＝at代入x＝v0t－eq\f(1,2)at2得x＝eq\f(v0,2)t，C正确．5．在交警处理某次交通事故时，通过监控仪器扫描，输入计算机后得到该汽车在水平面上刹车过程中的位移随时间变化的规律为x＝20t－2t2(x的单位是m，t的单位是s)．则该汽车在路面上留下的刹车痕迹长度为()A．25m B．50mC．100m D．200m解析：选B.根据x＝20t－2t2可知，该汽车初速度v0＝20m/s，加速度a＝－4m/s2.刹车时间t＝eq\f(Δv,a)＝eq\f(0－20,－4)s＝5s．刹车后做匀减速运动的位移为刹车痕迹长度，根据x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得x＝20×5m－eq\f(1,2)×4×52m＝50m．B正确．6．已知汽车在高速上行驶限速120km/h，由于雾霾的影响，某人开车在此段高速公路上行驶时，能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为50m，该人的反应时间为0.5s，汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为5m/s2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是()A．10m/s B．15m/sC．20m/s D．25m/s解析：选C.设汽车行驶的最大速度为v，则有：vt0＋eq\f(v2,2a)＝x，即0.5v＋eq\f(v2,10)＝50，解得v＝20m/s.7．汽车做匀加速直线运动，初速度为10m/s，若它在开始的10s内位移为175m，求：(1)它的加速度大小；(2)在离出发点52m处的速度大小；(3)第7s内的位移大小．解析：(1)由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得a＝eq\f(2x－2v0t,t2)＝1.5m/s2.(2)由速度位移公式v2－veq\o\al(2,0)＝2ax解得v＝eq\r(2ax＋veq\o\al(2,0))＝16m/s.(3)前7s内的位移为x7＝v0t7＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,7)前6s内的位移为x6＝v0t6＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,6)Δx＝x7－x6联立上式并代入数据解得Δx＝19.75m.答案：(1)1.5m/s2(2)16m/s(3)19.75m[B级——等级考增分练]8．如图所示的位移—时间图像和速度—时间图像中，给出四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是()A．图线1表示物体做曲线运动B．x－t图像中t1时刻v1>v2C．v－t图像中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等D．两图像中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动解析：选B.图线1是位移—时间图像，表示物体是做变速直线运动，A错误；x－t图线上某点斜率的绝对值的大小表示速度的大小，B正确；v－t图像中0至t3时间内3和4位移不同，所以平均速度不相等，C错误；t2时刻2开始反向运动，t4时刻4加速度方向变化但运动方向不变，D错误．9．(2022·四川泸州期中)如图所示，在一平直公路上，一辆汽车从O点由静止开始做匀加速直线运动，已知在3s内经过相距30m的A、B两点，汽车经过B点时的速度为15m/s，则()A．汽车经过A点的速度大小为4m/sB．A点与O点间的距离为20mC．汽车从O点到A点需要的时间为5sD．汽车从O点到B点的平均速度大小为7.5m/s解析：选D.设汽车的加速度大小为a，经过A点的速度大小为vA，根据运动学规律有veq\o\al(2,B)－veq\o\al(2,A)＝2axAB，a＝eq\f(vB－vA,tAB)，联立以上两式解得vA＝5m/s，a＝eq\f(10,3)m/s2，故A错误；A点与O点间的距离为xOA＝eq\f(veq