数学-课堂探究：直接证明与间接证明（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一综合法的应用综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题）出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．【典型例题1】已知a,b，c是正数，且a＋b＋c＝1，求证:eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，a）－1）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b）－1))eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,c）－1))≥8.思路分析:利用“1”的代换进行转化，利用基本不等式证明．证明：∵a,b,c为正数,a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a）＝eq\f（b＋c，a）≥eq\f(2\r（bc），a）＞0，eq\f(1，b)－1＝eq\f（1－b,b)＝eq\f(a＋c，b)≥eq\f(2\r（ac)，b)＞0,eq\f(1,c）－1＝eq\f（1－c，c）＝eq\f(a＋b,c）≥eq\f（2\r（ab),c）＞0,以上三式对应相乘得eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，a)－1）)·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,b）－1））·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，c)－1）)≥8×eq\f(\r(bc)，a）×eq\f(\r（ac),b）×eq\f(\r（ab）,c）＝8.当且仅当a＝b＝c时取等号．∴原不等式成立．反思综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0（a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab,eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a＋b,2）））2≥ab，a2＋b2≥eq\f（(a＋b)2,2).③若a，b∈（0，＋∞），则eq\f(a＋b,2）≥eq\r（ab)，特别是eq\f(b,a）＋eq\f（a,b)≥2.【典型例题2】如图，在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点．(1）证明:CD⊥AE；(2）证明:PD⊥平面ABE。思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理,再用定理进行证明．证明：（1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A,∴CD⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点,∴AE⊥PC．由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又∵PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．又AB⊥AD,平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE。探究二分析法的应用分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的证明方法，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的判断，而当这个判断恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时,命题得证(应强调的一点,它不是由命题的结论去证明前提条件）．因此，分析法是一种执果索因的证明方法，也是数学证明常用的手段．【典型例题3】已知a＞6，求证：eq\r（a－3)－eq\r（a－4）＜eq\r（a－5)－eq\r（a－6）。思路分析:从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件．证明：要证eq\r（a－3)－eq\r(a－4）＜eq\r(a－5）－eq\r（a－6），只需证eq\r（a－3)＋eq\r（a－6）＜eq\r（a－5）＋eq\r(a－4)（eq\r(a－3）＋eq\r（a－6)）2＜(eq\r(a－5)＋eq\r(a－4)）22a－9＋2eq\r（(a－3)（a－6)）＜2a－9＋2eq\r（（a－5）(a－4）)eq\r（(a－3)(a－6))＜eq\r（（a－5)（a－4)）（a－3)（a－6）＜(a－5）(a－4)18＜20，因为18＜20显然成立，所以原不等式eq\r(a－3）－eq\r（a－4)＜eq\r(a－5）－eq\r（a－6）成立．探究三综合法和分析法的综合应用分析法与综合法是两种思路相反的推理方法,分析法是倒溯,综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：→→…→←…←←其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．【典型例题4】若a，b，c为不全相等的正数，求证：lgeq\f(a＋b，2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f（c＋a,2）＞lga＋lgb＋lgc.思路分析：本题先利用分析法将对数不等式转化为一般不等式，再用综合法证明不等式成立，两种方法同时使用，可使问题迅速解决．证明：要证lgeq\f（a＋b,2）＋lgeq\f(b＋c,2）＋lgeq\f(c＋a,2）＞lga＋lgb＋lgc，只需证lgeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f（b＋c，2)·\f(c＋a,2)）)＞lg(a·b·c)，即证eq\f(a＋b，2）·eq\f（b＋c，2)·eq\f（c＋a,2）＞abc.因为a，b，c为不全相等的正数,所以eq\f(a＋b，2)≥eq\r（ab)＞0，eq\f(b＋c，2）≥eq\r（bc）＞0，eq\f(c＋a,2)≥eq\r(ac）＞0，且上述三式中等号不能同时成立，所以eq\f（a＋b,2）·eq\f(b＋c,2）·eq\f(c＋a，2)＞abc成立,所以lgeq\f(a＋b,2）＋lgeq\f(b＋c,2）＋lgeq\f（c＋a，2)＞lga＋lgb＋lgc成立．反思对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路,再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．探究四易错辨析易错点：分析法与综合法相混淆而导致出错【典型例题5】求证：eq\r（2)＋eq\r(10)＜2eq\r（6)。错解：eq\r(2）＋eq\r（10)＜2eq\r(6），并且eq\r（2）＋eq\r（10)和2eq\r（6）都是正数，所以（eq\r（2)＋eq\r（10)）2＜(2eq\r（6））2，即12＋4eq\r（5)＜24，eq\r（5)＜3,所以5＜9.因为5＜9成立，所以不等式eq\r（2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)成立．错因分析：本题步骤出现错误,把eq\r(2）＋eq\r（10）＜2eq\r（6)看成了条件去推，不符合分析法的步骤．正解:因为eq\r(2)＋eq\r（10）和2eq\r(6