河北省邢台市2025届高三年级上册开学考试数学试题（含答案）

河北省邢台市邢襄联盟2025届高三上学期开学考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合4=卜|一＜。},B={x\2-xW1},则力nB=（）

A.[1,2)B.[-1,0)C.(2,+00)D.(一8,0)

2.设复数2=T£,则2z-2=()

A.l-3iB.3-iC.1-iD.3+i

3.若sin(a-§=寺，贝！|cos0-2a)=()

A-?B-处D-i

99c9

4.某地区为研究居民用电量y（单位：度）与气温久（单位：。C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当

天的气温，并得到了如下数据：

气温久/°c36912

用电量y/度24201410

由表中数据得到的经验回归方程为夕=务％+&,若B=—1.6,贝g的值为（）

A.27B.29C.34D.36

5.已知双曲线M的左、右焦点分别为％尸2，过点八且与实轴垂直的直线交双曲线M于48两点.若为

等边三角形，则双曲线M的离心率为（）

A.A/3B.A/2C.2D.V3+1

6.已知函数/（x）=ln（x+£+4）在[1,+8）上单调递增，则m的取值范围为（）

A.（-5,0]B.（-oo,l]C.[0,1]D.（-5,1]

7.已知函数/（*）=（x-a）（/-比）在尤=。处取得极小值，则a=（）

A.-1B.0C,1D.0或1

8.有4名男生、3名女生和2个不同的道具（记作4和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站

成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不

相同）；两个道具2和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一

起.满足上述所有条件的排列方式共有（）

A.2400种B.3600种C,2880种D.4220种

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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9.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则()

A.圆柱和圆锥的体积之比为3B.圆柱的底面半径和高之比为避

C.圆锥的母线和高之比为2D.圆柱和圆锥的表面积之比为,

10.己知函数f(x)=sinx+cos久+x,则下列结论正确的是()

AJ(K)的图象关于y轴对称B./Q)的图象关于点§对称

■JT

CJ(x)的图象关于直线x=方对称D.%=2是/(%)的极大值点

11.已知Q=100510，b=log210,C=logQx)610,则下列不等式成立的是()

1

A.a+b>4B,4b~a>64出

C.+1)>3+2,\/2D.b+c+be<0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向重a=(1,3)力=(-2,x),c=(y,y),右a+b=c,贝加•c=.

2

13.已知实数a力满足a?+b=2a-2b,则已的最大值为.

14.在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为菱形，AB=BD=2,点P到4D,BC的距离均为2,则四棱锥

P-ABCD的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知函数f(x)=x-xlnx-a.

(1)若曲线y=/(x)在点(1/(1))处的切线方程为y=6尤+2,求实数a和b的值；

(2)若函数/(久)无零点，求a的取值范围.

16.(本小题12分)

如图，在直四棱柱4BCD-&B1C1D1中，底面48CD为矩形，且=AB=2AD,E,尸分别为的小刀小的中

点.

(1)证明：AF〃平面&EB.

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(2)求平面4/避与平面ABE夹角的余弦值.

17.(本小题12分)

某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知该工厂生产一等品的概率为0.3,生产二等品的概率为

0.5,生产三等品的概率为02一等品在出厂时，通过质量检测的概率为0.9；二等品在出厂时，通过质量检

测的概率为0.8；三等品在出厂时，通过质量检测的概率为0.6.

(1)已知随机抽取的10件产品中，通过质量检测的有8件，其中有2件二等品和1件三等品.现在从这8件通过

检测的产品中随机抽取3件，设其中一等品的数量为X,求X分布列和期望，

(2)求随机抽取的一件产品通过质量检测的概率，

(3)若随机抽取的一件产品通过了质量检测，求该产品为一等品的概率

18.(本小题12分)

已知2(0,2)/是抛物线的:*2=4丫上任一点，Q为P4的中点，记动点Q的轨迹为C2.

(1)求的方程；

(2)过点P作曲线的两条切线，切点分别为MN,求点P到直线MN的距离的最小值.

19.(本小题12分)

定义：若数列｛an｝满足“+2=pan+i+qan(p,qGR),则称数列｛aj为“线性数列”.

(1)已知｛an｝为"线性数列"，且的=2以2=8,。3=24以4=64,证明：数列｛a„+1-2即｝为等比数列.

(2)已知“=(1+避)nT+(l—")nT.

①证明：数列5｝为“线性数列”.

(江)记刈=壬一，数列也｝的前几项和为S„,证明：sn<1.

uu

nn+2o

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参考答案

1.C

2.2

3.0

4.B

5.4

6.D

7.C

8.B

9sBe

10.BD

11.ACD

12.6

13.7

14.挈或J超

3J

15.1?：(1)因为f(%)=%—%In%—。，所以/⑴=l-a,

又f，(x)=1—(lnx+1)=—Inx,则/'(1)=0,

又曲线y=/(吗在点(1/(1))处的切线方程为y=b%+2,

所以｛匕°=2,解喊。

(2)令/(%)=0,即。=x—x\nx,

令g(%)=x—x\nx,贝Ug'(X)=—In%,

所以当0V%VI时g'(%)>0,当久>1时g'(%)<0,

所以9(%)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减，

则g(x)max=g(l)=1，且当XT+8时g(x)T-8,

依题意y=。与7=g(x)无交点，所以a>1,

所以要使函数/(x)无零点，贝!la的取值范围为(1,+co).

16.解：(1)不妨设力。=1,则44i=4B=2,如图建立空间直角坐标系,

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则41(1,0,2),8(1,2,0),E(0,l,2),4(1,0,0),F(0,0,l),D(0,0,0),

所以砧=(一1,1,0),Z7B=(0,2-2),AF=(-1,0,1),

设为=(x,y,z)是平面ARB的•一个法向量，

,--*----*

m•A^E=—x+y=0的〃皿

则j~A~D9「，取久=1,则y=z=l,

所以平面4EB的一个法向量拓=(1,1,1),

又存•为=0,所以存1方，因为AFC平面AiEB,所以ZF〃平面ARB.

(2)因为0/1平面A41/B,所以瓦？=(1,0,0)是平面Z/避的一个法向量,

又因为cos(近石I)==+=*，

所以平面4B1B与平面41BE夹角的余弦值为空.

17.解：(1)因为通过质量检测的8件产品中，有2件二等品和1件三等品，则一等品的数量为8-2-1=5件,

所以X的可能取值为0,1,2,3,

则「3=。)*=2，P(X=I)=簪=H，

P(X=2)=管=瑞=募P-3)=甯=*£,

所以X的分布列为:

X0123

115155

p

56562828

八八c1-151r151r515

所以E(X)=°x需+lx拓+2x而+3x云=京；

(2)设事件4表示产品通过质量检测，当表示产品为一等品，&表示产品为二等品，B3表示产品为三等

品，

则P(Bi)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,P(A\B1)=0.9,P(^|B2)=0.8,P(X|B3)=0.6,

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所以PQ4)=P(Bi)P(4|Bi)+P(B2)P(X|B2)+P(B3)P(71|B3)

=0.3x0.9+0.5x0.8+0.2x0.6=0.79,

即随机抽取的一件产品通过质量检测的概率为0.79；

(3)依题意所求概率为P(BiM)=与穿0.3X0,927

PG4)0.79-79,

18.解：(1)设(204)，因为Q为P4的中点，所以点P的坐标为(2x,2y—2),

又点P是抛物线Ci：/=4y上任一点，所以(2x)2=4(2y-2),

整理得/=2y—2,即C2的方程为/=2y—2；

(2)设P(£o，yo),M(Xi，yD，'(冷山)，则yo=%，妊=2%-2,=2y2-2,

1

由抛物线C2的方程为/=2y-2,即丫=万/+1,则旷=%,

所以PM的方程为y-%=久13-均)，即y=x1x-y1+2,

所以yo=+2,同理可得M)=到近一段+2,

所以直线MN的方程为x%o-y+2-y0=0,

则点P到直线MN的距离d=回1焉等=?=/即！+V

42：',卡3

当且仅当J君+1=忘京，即功=±"时取等号，

所以点P到直线MN的距离的最小值为会.

19.解：⑴因为｛时｝为“线性数列"，^an+2=pan+1+qan(p,qGR),

24-8Pq

得

解

即'p=4

所以。3=P^2+64-248q

。4=pCL3+QCL2q=-4,

所以a„+2=4an+1-4an,

所以tZn+2—2厮+1=2(Gln+1—2<2n),又0^—241=4,

所以｛an+1-2诙｝是以4为首项，2为公比的等比数列;

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n

⑵(i)因为册=(1+避严t+(1-M)T,则=2,a2=2,a3=6,a4=14,

人借3=。1。2+曰"6=2pi+2qi解出[Pi=2诉1。3=24+。1

令口4=。1。3+91。2，即[14=6pi+