福州某中学2024年九年级上学期月考数学试题（含答案）

福州一中2024年九年级上学期月考数学试题

+答案

2024-2025九年级上数学适应性练习（1）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.AABCs^DEF,若AB=1,DE=2,则与QDEE的相似比是（）

A.1:2B.1:3C.2:3D.3:2

2.下列关于图形对称性的命题，正确的是（）

A.正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.线段是轴对称图形，但不是中心对称图形

D.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

3.若△ABC〜且相似比为1：4,则△ABC与口DEE的面积比为（）

A.1：4B.4：1C.1：16D.16：1

4.如图，AD//BE//CF,直线/i,A与这三条平行线分别交于点A,B,C和点£>,E,F.已知AB=1,

8c=3,DE=2,则的长为（）

A.4B.5C,6D.8

5.如图，若/\MNPqAMEQ,则点。应是图中的（）

A.点AB.点8C.点CD.点。

6.如图，AABC中，NA4c=90°,AD15C于D,若A5=2,3C=3,则CD的长是（）

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A

5

D.-

3

7.下列说法正确的是（）

A.有一个角等于100°的两个等腰三角形相似

B,两个矩形一定相似

C.有一个角等于45°的两个等腰三角形相似

D.相似三角形一定不是全等三角形

8.如图，一张矩形报纸的长宽BC=b,E,P分别是AB,CD的中点，将这张报纸沿着直线

EE对折后，矩形AEED的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则。力等于（）

A.V2：lB.1：A/2C.V3：lD.1:73

E、R分别为A3、5C的中点，AF与DE交于点O,则也=（）

9.如图正方形A5CD中,

DA

1R2出21

A.D.------C.一D.-

3532

10.如图，在矩形A2C。中，AB=2BC,点M是CD边的中点，点E,P分别是边AB,BC上的点，且

AF±ME,G为垂足.若E8=2,BF=\,则四边形BEGE的面积为（）

第2页/共6页

DMC

AEB

618585

A.——B.——D.—

525213

二、填空题（每小题4分，共24分）

11.如图，在△ABC中，DE//BC,若AD=3,DB=6,则=的值为

BC

12.如图，△ABC和口DE尸是位似三角形，点。是位似中心，且AC=9,DF=3,0A=6,则

0D=.

13.如图，在△ABC中，点。、E分别在边A3、AC上，且NAED=NA3C,如果

AD=4,BD=AE=6,那么AC的长.

14.如图，在平面直角坐标系中，口4片。与'瓯是以点C为位似中心的位似图形,则其相似比为

第3页/共6页

3

15.如图，在四边形A5CD中，AC,3c于点C,ABAC=ZADC,且3C=—AC,当CD=4,

4

A。=2时，线段3。的长度为

16.如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EFLAE交CD于点F,以AE,EF为边作矩

形AEFG,若AB=4,则点G到AD距离的最大值是

三、解答题（86分）

17.计算：（—1）。—3-2+恒—斗

18.如图，已知A,F,E,C在同一直线上，AB//CD,ZABE=ZCDF,AF=CE.求证：AB=CD.

人”公…加2―4加+4（1八_,I—

19.先化间，再求值：---------+------1L其中加二收一2.

m—1—l）

20.如图△A3Cs/\AC0,N0=9O。，AC=逐，A0=2,求A3及8。的长.

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21.如图，点C、。在线段A3上，△「(?£)是等边三角形，且CD2=AC-D3.

(1)求证：NACPS&PDB；

(2)求NAPB的度数.

22.如图，四边形A5CD为平行四边形，£为边AD上一点，连接AC、BE,它们相交于点R且

(1)求证：AE2=EFBE；

(2)若AE=2,EF=1,CF=4,求ABBC的长.

23.ZSABC中，ZB=45°,ZC=60°,将△ABC绕点A逆时针旋转30°后至△ABC-

(1)求ZBAC］的度数；

(2)若A5=J^+1，线段4G与A5,3C分别交于〃、N,求的长.

24.如图1,在锐角中，D、E分别是AR中点，点厂为AC上一点，且NAEE=NA,

MD〃EF交AC于点、M.

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AA

M

图1图2

（1）求证：DM=DA

（2）点G在BE上，且NBDG=NC,如图2,求证：DEEF=DGEC.

25.已知抛物线y=/nr2_（i-4附x+c过点（1,a）,（-1,a）,（0,-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A,B两点（点A在点2右侧），该抛物线的顶点为C,连接AC,

BC,点D在点A,C之间的抛物线上运动（不与点A,C重合）.

①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△42。的面积相等，求点D的坐标；

OE

②若直线。。与抛物线的另一交点为E,点尸在射线上，且点尸的纵坐标为-2,求证：—=

FE

~FD'

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2024-2025九年级上数学适应性练习（1）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.AABCs^DEF,若AB=1,DE=2,则与QDEE的相似比是（）

A.1:2B.1:3C.2:3D.3:2

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的性质、相似三角形的相似比；根据相似三角形的性质及相似比的概念即可

求解.

【详解】解：•：AABCs^DEF,

.AB-1

••一,

DE2

即相似比为1:2；

故选：A.

2.下列关于图形对称性的命题，正确的是（）

A.正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.线段是轴对称图形，但不是中心对称图形

D.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，一个图形绕着某固定点旋转180°后能够与原来的

图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，

直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可.

【详解】解：A、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，错误，故不符合题意；

B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，故符合题意；

C、线段是轴对称图形，也是中心对称图形，错误，故不符合题意；

D、平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形，错误，故不符合题意；

故选：B.

3.若△ABC〜且相似比为1：4,则△A3C与QDEE的面积比为（）

A.1：4B.4：1C.1：16D.16：1

【答案】C

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【解析】

【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.

【详解】解：:△ABCs△DEF,且相似比为1：4,

.•.△ABC与△£）£尸的面积比为1：16,

故选：C.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键.

4.如图，AD//BE//CF,直线/i,/2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,

BC=3,DE=2,则EF的长为（）

A.4B.5C,6D.8

【答案】C

【解析】

【详解】解：•••AO〃8E〃CF,根据平行线分线段成比例定理可得

ABDE12

---=----,即nn一=----,

BCEF3EF

解得：EF=6,

【答案】D

【解析】

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【分析】根据全等三角形的性质判断即可;

【详解】•••△MNP咨△MEQ,

.•.点。应是图中的。点，如图所示;

故选D.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，准确分析判断是解题的关键.

6.如图，△ABC中，ZBAC=90°,AD15C于D,若A5=2,3C=3,则CD的长是（）

8245

A.-B.-C.一D.-

3333

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

根据勾股定理可得AC=V5，利用面积法求出AD,再根据勾股定理即可求得答案.

【详解】解：:△ABC中，ABAC=90°,AB=2,BC=3,

；•AC=yjBC2-AB2=A/32-22=V5，

VZBAC=9Q°,AD1BC,

：.ABAC=NADC=90°,

,/3AD=275

・s2后

••AD=------

3

第3页/共23页

故选D.

7.下列说法正确的是（）

A.有一个角等于100°的两个等腰三角形相似

B.两个矩形一定相似

C.有一个角等于45°的两个等腰三角形相似

D.相似三角形一定不是全等三角形

【答案】A

【解析】

【分析】A中等于100。的角只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似；B中两个矩形虽然角

度相同，但对应的边长比不相等时，两个矩形不相似；C中等于45。的角可以是等腰三角形的顶角或底

角；D中两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等；进而判断选项的正误.

【详解】解：A中等于100。的角只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，故正确，符合要

求；

B中两个矩形虽然角度相同，但对应的边长比不相等时，两个矩形不相似，故错误，不符合要求；

C中等于45。的角可以是等腰三角形的顶角或底角，当为顶角时，三角分别为45。,67.5。,67.5。；当为底角

时，三角分别为45。,45°,90°,故这两个等腰三角形不相似，故错误，不符合要求；

D中当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等，故错误，不符合要求；

故选A.

【点睛】本题考查了相似三角形，等腰三角形等知识.解题的关键在于对知识的灵活运用.

8.如图，一张矩形报纸ABCO的长彘BC=b,分别是AB,的中点，将这张报纸沿着直线

所对折后，矩形4£阳的长与宽的比等于矩形ABC。的长与宽的比，则。力等于（）

【答案］A

【解析】

第4页/共23页

【分析】根据相似多边形的性质解答即可

【详解】解：：E，尸分别是AB,CO的中点，

AE=-AB=-,

22

♦.•矩形AMD的长与宽的比等于矩形A2CD的长与宽的比，

.ADAE

••二,

ABAD

；•AD2=AE.AB，

即/=-a2,

2

・6-2

••瓦-2,

.,.a：b=y[2:1.

故选A.

【点睛】本题考查相似多边形的性质.相似多边形对应边成比例.

9.如图正方形A3CD中，E、R分别为A3、的中点，AF与DE交于点0,则——=()

DA

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握正方

形中的全等模型和相似模型是解题的关键.先证明△ADE之△A4R,得出=再证明

AADO^AFAB,即可得空=任，将A3、AF转化为即可求解.

DAAF

【详解】解：•••四边形A3CD是正方形，

DA=AB=BC,ZDAE=ZABF=90°,AD//BC,

:E、R分别为A3、3c的中点，

第5页/共23页

：.AE=BF=-AB=-BC,

22

在△ADE和△R4E中，

DA=AB

<ZDAE=ZABF,

AE=BF

：.UADE^BAF（SAS）,

；•NADE=ZBAF,

AD//BC,

：.ZDAO=ZAFB,

：.AADO^AFAB,

.DOAB

"DAAF'

•.•在RtOABE中，AF=4AB2+BF1=+BF2=45BF，

.DO2BF275

,•DA也BF5'

故选：B.

10.如图，在矩形ABC。中，AB=2BC,点M是CD边的中点，点E,歹分别是边AB,BC上的点，且

AFLME,G为垂足.若EB=2,BF=1,则四边形BFGE的面积为（）

【答案】B

【解析】

【分析】设BC=a,得到A3=2a,DM=MC=a.作MH，AB于H,先证明出

RinEMH^RinFAB,利用性质建立等式解出a,利用勾股定理求出AR=J诟，再根据

RGAEG^RlDAFB,利用相似比求出面积即可.

【详解】解：设BC=a,则AB=2a，DM=MC=a.

第6页/共23页

作MHLAB于H,

则ZEMH=90°-ZMEA=ZFAB.

MHAB

所以

HE~BF

口rQ2a

即----二—

a-21

解得。=[.

2

于是3C=9,AB=5.

2

所以AF=VAB2+BF2=V52+l2=V26，

S人ARF=!A3xBF=—x5xl=—.

*222

又R肛AEGSR/OAEB,

所以OJ空［=H=2.

S-FBUFJIV26J26

9。9545

因止匕SAFG=--^/\AFR----X—=---.

△AAEG26AAFB

诉“<_c_c_3_竺_过

所以3四边形BFGE——^AAEC一/一豆一五,

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的

判定.

二、填空题（每小题4分，共24分）

DE

11.如图，在AABC中，DE//BC,若AD=3,DB=6,则一的值为.

BC

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【答案】-

3

【解析】

【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.

根据。E〃3C,即可判断出△ADEABC,即可求解.

【详解】解：,••DE〃3C，

AADEcoAABC,

.DEADAD_3_1

BC~AB~AD+DB~9~3,

故答案为：—.

3

12.如图，△ABC和口。跖是位似三角形，点。是位似中心，且AC=9,DF=3,0A=6,则

0D=.

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键.

根据位似图形的性质得出位似比，进而即可求解.

【详解】解：VAC=9,DF=3,

：.AC:DF=3A,

'：△ABC和口DE尸是位似三角形，点O是位似中心，

0A:0D=3:1,

0A=6,

0D=2.

故答案为：2.

13.如图，在△ABC中，点。、E分别在边A3、AC上，S.ZAED=ZABC,如果

AD=4,BD=AE=6,那么AC的长.

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A

D

202

【答案】—##6-

33

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定和性质求解即可.

【详解】解：：NAED=NABC,ZA=ZA,

/./\AED^/\ABC,

ADAE46

.•---=----,即nn，

ACABAC4+6

.20

■*AC=—.

3

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

14.如图，在平面直角坐标系中,□4片。与AABC是以点C为位似中心的位似图形,则其相似比为

【答案】1:2

【解析】

【分析】由已知可得□ABCsOABC，利用勾股定理解得A3、4片的长即可解题.

【详解】解：：ZSABC与口4与。是以点C为位似中心的位似图形，

相似比为4与：AB=V12+22：A/22+42=75:275=1：2，

故答案为：1:2.

【点睛】本题考查相似三角形的性质、勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键.

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3

15.如图，在四边形中，AC_LBC于点C,ABAC=ZADC,且5C=—AC,当CD=4,

4

A。=2时，线段5。的长度为.

I答案】半

【解析】

【分析】在AB上截取AM=AD=3,过M作MN〃BC交AC于N,把4AMN绕A逆时针旋转得AADE,

证明△ABDs/iACE和△AMNs^ABC,求出相关边长，然后根据勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，在A5上截取AM=A£>=2,过M作MN〃5c交AC于点N,把AAMN绕A逆

则MNLAC,DE=MN,ZDAE=ABAC,

：.ZAED=ZANM=90°,

3

又；ACLBC于点C,ZBAC=NA£)C,BC=-AC,

4

,BC3

••tanNBAC------=一,

AC4

：.BC:AC:AB=3:4:5,

又,：MN/IBC,

：.AABC^AAW,

又：AAMN^AADE,

/.AABC^AADE,

.ABAC

"AD-AE?

第10页/共23页

.AB_AD

AC"AE)

又NDAE+ACAD=ABAC+ACAD,

/BAD=ZCAE,

：.AABDsMCE,

.BDAB5

"CE-AC-4)

又AAMN口AABC,

.MNAM

"'~BC~^B'

：.MN=—xAM=-x2=-,

AB55

ABAC=ZADC,

ZDAE=ZADC,

：.AE//CD,

：.ZCDE+ZAED=1SO°,

：.ZCDE=180°-NAED=90°,

在及ACDE中，由勾股定理得，

CE=>JCD2+DE2=卜2+金2=|^/^,

：.BD=-CE=-x*=半

故答案为:

【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形边角关系等，熟练掌握相似三角形的判定

与性质和勾股定理是解题的关键.

16.如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EFLAE交CD于点F,以AE,EF为边作矩

形AEFG,若AB=4,则点G到AD距离的最大值是.

8

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【答案】1

【解析】

【分析】因NAEF=90。得NAEB+NFEC=90。，在R3ABE中NBAE+NCEF=90。，根据同角的余角相等

得NBAE=NFEC,可证明△ABEs^ECF；由相似三角形的性质和二次函数可求点G到AD距离的最大值

是1.

【详解】解：设BE=x,FC=y,

VEFXAE,

・・・NAEB+NFEC=90。，

又,:四边形ABCD是正方形，

.,.ZB=ZC=90°

・・・NBAE+NAEB=90。，

・・・NBAE=NFEC,

AAABE^AECF(AA),

.BE_AB_AB

**CF-EC-BC-BE?

x(4-x)1\2/\

y=-^_^=一4(zx—2)+l,(O<x<4),

•；点G到AD距离就是FC的长度，

/.点G到AD距离的最大值是1,

故答案为1.

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质和二次函数最值等相关知识;

重点掌握三角形相似的判定与性质，难点是将相似三角形的相似比相等转化为二次函数解析式求最值.

三、解答题(86分)

17.计算：(—1)°—3-2+JG—2卜

【答案】—26—Vr3

【解析】

【分析】先算乘方，再去绝对值，然后进行加减运算即可.

【详解】解：原式=1—1+2-6

9

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9

【点睛】本题考查了实数的混合运算、零指数塞、负整数指数幕、去绝对值等知识.把握运算顺序和正确

的计算是解决本题的关键.

18.如图，已知A,F,E,C在同一直线上，AB//CD,ZABE=ZCDF,AF=CE.求证：AB=CD.

【解析】

【分析】根据全等三角形证明再根据全等三角形的性质解答即可.

【详解】证明：•..AB”。。，

ZACD=ZCAB,

,JAF^CE,

：.AF+EF=CE+EF,

即AE=FC,

在△ABE和△COE中，

ZACD=ZCAB

<NABE=NCDF

AE=CF

:.4ABE义4CDF(AAS).

：.AB=CD.

【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是

否全等，然后再看证明全等的条件有哪些.

,,,…nr-4m+4(1八#,(―

19.先化简，再求值：-----------------1,其中根=后—2.

m-1\m-l)

【答案】2—机；4-V2

【解析】

【分析】根据分式混合运算法则进行计算，然后代入数据进行计算即可.

【详解】解：原式=(——2)十］」_—

m-1\m-lm—1)

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_(m-2)-i-m+i

m—1m—1

_(m-2)2m-1

m—12—m

=2-m

把根=血-2代入得：原式=2-(后-2)=2-也+2=4-VL

【点睛】本题主要考查了分式的化简计算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键.

20.如图△ABCs/viCD,ZZ)=90°,AC=垂，AD=2,求AB及的长.

【答案】AB=2.5,BC=^-

2

【解析】

【分析】首先利用相似三角形的对应边的比相等求得AB的长，然后利用勾股定理求得BC的长即可

【详解】：△ABCs△A。。

.ABAC

"AC~AD

*：AC=&AD=2

,AB_45

,・忑F

解得：AB=2.5

,?ZD=90°

：./ACB=NO=90。

BC=f252Ts2=与

【点睛】考查了相似三角形的性质，了解相似三角形对应边的比等于相似比是解答本题的关键，难度不大

21.如图，点C、。在线段A3上，△产(〕£)是等边三角形，且C£>2=AC.D5.

第14页/共23页

p

(1)求证：NACPsNPDB；

(2)求/APB的度数.

【答案】(1)见解析(2)ZAPB=120°

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握这两方面知识是解题的关键.

(1)由等边三角形性质得PC=PD=CD,NPCD=NPDC,从而有NPCA=NBDP；由

CD2=AC-DB得粤=粤，从而结论得证；

1C-AC

(2)由相似三角形的性质及三角形角的性质即可求解.

【小问1详解】

证明：•.•△PC。是等边三角形，

PC=PD=CD,/PCD=ZPDC=60°,

ZPCA=ZBDP；

•/CD'=ACDB

：.PDPC=ACDB,

BDPD

即nn——=——，

PCAC

•：ZPCA=ZBDP,

【小问2详解】

解：'//\ACP^/\PDB,

ZAPC=NB；

ZPDC=ZB+NBPD=60°=NCPD,

ZAPB=ZCPD+ZAPC+ZBPD

=6Q°+ZB+ZBPD

=60°+60°

=120°.

22.如图，四边形ABC。为平行四边形，£为边AD上一点，连接AC、BE,它们相交于点E且

第15页/共23页

ZACB=ZABE.

（1）求证：AE?=EF-BE；

（2）若AE=2,EF=1,CF=4,求AB3c的长.

Q

【答案】（1）见解析（2）AB=-,BC=6

3

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的

关键.

（1）证明即可；

（2）由（1）得8E=4,则得=3；再由△AEF^/\CBF可求得BC,AF；再由（1）中/\AEFs^BEA,

即可求得A3.

【小问1详解】

证明：：四边形A5CD为平行四边形，

AD//BC,

：.NEAF=NACB；

,?NACB=ZABE,

；•NEAF=NABE；

,/ZAEF=ZBEA,

/•/\AEFS/\BEA,

.AEEF

即AE2=EF•BE；

【小问2详解】

解：由（1）有AE?=EF-BE>

即2?=lxBE，

：.BE=4,

则BE=BE—跖=3；

•••AD//BC,

/\AEFs^CBF,

第16页/共23页

.AE_AFEF_1

,•BC~CF~BFW

14

BC=3AE=6,AF=-CF=~；

33

Z\AEFs^BEA,

.AE_AF

"BE~AB'

RF448

即A5=ARx——=-x-=-

AE323

23.ZSABC中，NB=45°,ZC=60°,将△ABC绕点A逆时针旋转30°后至△A^G.

（1）求/BAG的度数；

（2）若A3=G+1，线段与G与A3,3c分别交于V、N,求MN的长.

【答案】（1）45°

（2）V6-V2

【解析】

【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾

股定理，熟练掌握特殊角度的直角三角形的三边关系是解题的关键.

（1）利用旋转的性质和三角形内角和直接求解即可；

（2）过点"作用于点G,作MHLBC于点利用等腰直角三角形的性质，含30。角的直

角三角形的性质得出4G=GM,AM=2GM,AG=6GM，结合Ag=AB=G+l,求出

GM=1,得BM=6-1，再利用口及03和口分别是等腰直角三角形和含30。角的直角三角形，

利用特殊三边关系即可求解.

【小问1详解】

解：•••ZB=45°,ZC=60°,

ABAC=180°-45°-60°=75°,

由旋转知：NC4£=30°,

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BAQ=ZBAC-ZCAQ=75°—30°=45°；

【小问2详解】

解：如图，过点M作“G_LA用于点G,作于点H,

A

由旋转知ZBiAC]=N5AC=75。，Ng=ZB=45。，AB}=AB=43+1>

：.ZBrAM=NB[AC[-ABAC,=30°,NB1MG=ZBl=45°,

BtG=GM,AM=2GM,AG=JAM?—GM?=狗GM，

ABl=AB=43+l=AG+BlG=43GM+GM=GM^+^,

得：GM=1,

：.AM=2GM=2,B}M=JB.+GM?=0,

BM=AB-AM=^-l^

•ZNB[=ZB=45°,ZAMBt=ZNMB,

NMNB=ZMAB1=30°,ZBMH=NB=45°,

BM=42HM=43-1，

2

:.MN=2HM=述-亚.

24.如图1,在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC中点，点尸为AC上一点，且NAEE=NA,

MD〃EF交AC于点M.

图1图2

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（1）求证：DM=DA；

（2）点G在BE上，且NB£）G=NC,如图2,求证：DEEF=DGEC.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）由MD//EF得ZDMA=ZAFE，结合NAFE=ZA得ZDMA=ZA,由等边对等角即可求

证；

（2）由D、E为中点及证明四边形DEFM为平行四边形，得3。=ERBE=CE；再证明口BED日BDG,

由相似三角形的性质得。£-3。=。6-3石，从而证得结论成立.

【小问1详解】

证明：•.•"£）〃跖,

ZDMA=NAFE；

ZAFE=ZA,

ZDMA=ZA,

/.DM=DA；

【小问2详解】

证明：:。、E分别是AR中点，

BD=AD,BE=CE,DE//AC；

：.ZC=/BED；

,/MD//EF,

.••四边形DEFM为平行四边形，

；•DM=EF-,

由（1）知，DM=DA,

BD=EF；

,：4BDG=4C,ZC=ABED,

：.ZBDG=ABED；

,/NB=ZEBD,

QBED^nBDG,

.DEEC

即DEBD=DGBE；

：.DEEF=DGEC.

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【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形中

位线性质定理及平行线的性质，证明三角形相似是解题的关键.

25.已知抛物线y=/nr?<1-4+c过点(1,a),(-1,a),(0,-1).

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知过原点的直线与该抛物线交于A,B两点(点A在点2右侧)，该抛物线的顶点为C,连接AC,

BC,点。在点A,C之间的抛物线上运动(不与点A,C重合).

①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△A3。的面积相等，求点。的坐标；

OE

②若直线。。与抛物线的另一交点为E,点尸在射线上，且点尸的纵坐标为-2,求证：—=

FE

~FD'

1

【答案】(1)y=-x92-l

⑵①上口②见解析

【解析】

【分析】(1)把(0,T)代入解析式中得c的值，再由(1,a),(-1,a)关于抛物线的对称轴对称且关于y轴

对称，可知抛物线的对称轴为y轴，即1-4m=0,从而可求得相，最后得到解析式；

(2)①过点。作y轴的平行线交于点H；由点A在抛物线上及点A的横坐标可求得点A的坐标，从而

求得直线AB的解析式，联立直线解析式与二次函数解析式，可求得点B的坐标，从而可求得AABC的面

积；设点。的坐标为卜则可得点X的坐标，从而求得D8的长，由

SaABD=S0BHD+SDAHD=S0ABC,即可求得n的值，从而求得点D的坐标；

②由题意知，点D在第四象限，设。。的解析式为产乙，。(工I，%),E(x2,y2),联立的解