2022年全国统一高考数学试卷（新高考ⅰ）

第1页（共1页）2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+34．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m35．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A． B． C． D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1 B． C． D．37．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1 B．直线AB与C相切 C．|OP|•|OQ|＞|OA|2 D．|BP|•|BQ|＞|BA|2（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0 B．g（）＝0 C．f（﹣1）＝f（4） D．g（﹣1）＝g（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}【解答】解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．故选：D．2．（5分）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，∴z＝1+i，则，∴．故选：D．3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（）A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+3【解答】解：如图，＝，∴，即．故选：B．4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3【解答】解：140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为．故选：D．6．（5分）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（）A．1 B． C． D．3【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．7．（5分）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解答】解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f'（x）＝，x＞0，当f'（x）＝0时，x＝1，0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，∴，∴ln0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，∴0.1e0.1＜，∴a＜b；∵0.1e0.1＞0.1×1.1＝0.11，而﹣1n0.9＝ln＜（）＝＜0.11，∴a＞c，∴c＜a＜b．故选：C．8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27]【解答】解：如图所示，正四棱锥P﹣ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在Rt△PAE中，PA2＝AE2+PE2，即＝，∵球O的体积为36π，∴球O的半径R＝3，在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，即，∴，∴，∴l2＝6h，又∵3≤l≤3，∴，∴该正四棱锥体积V（h）＝＝＝，∵V'（h）＝﹣2h2+8h＝2h（4﹣h），∴当时，V'（h）＞0，V（h）单调递增；当4时，V'（h）＜0，V（h）单调递减，∴V（h）max＝V（4）＝，又∵V（）＝，V（）＝，且，∴，即该正四棱锥体积的取值范围是[，]，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【解答】解：如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点 C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1 B．直线AB与C相切 C．|OP|•|OQ|＞|OA|2 D．|BP|•|BQ|＞|BA|2【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为，选项A错误；由于A（1，1），B（0，﹣1），则，直线AB的方程为y＝2x﹣1，联立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，则x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等号在x1＝x2＝y1＝y2＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；＝，选项D正确．故选：BCD．（多选）12．（5分）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0 B．g（）＝0 C．f（﹣1）＝f（4） D．g（﹣1）＝g（2）【解答】解：∵f（﹣2x）为偶函数，∴可得f（﹣2x）＝f（+2x），∴f（x）关于x＝对称，令x＝，可得f（﹣2×）＝f（+2×），即f（﹣1）＝f（4），故C正确；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，故D不正确；∵f（x）关于x＝对称，∴x＝是函数f（x）的一个极值点，∴g（）＝f′（）＝0，又∴g（x）关于x＝2对称，∴g（）＝g（）＝0，∴x＝是函数f（x）的一个极值点，f（x）关于x＝对称，∴x＝﹣是函数f（x）的一个极值点，∴g（﹣）＝f′（﹣）＝0，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故A错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为﹣28（用数字作答）．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C8rx8﹣ryr，当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4），半径r2＝4，如图：∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣，即3x+4y﹣4b＝0，由，解得b＝（负值舍去），则l1：3x+4y﹣5＝0；由图可知，l2：x＝﹣1；l2与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣1，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y0），则，解得对称点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．15．（5分）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（）（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（）（﹣x0），整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．16．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是13．【解答】解：∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴不妨可设椭圆C：，a＝2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴，由等腰三角形的性质可得，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，设直线DE方程为y＝，D（x1，y1），E（x2，y2），将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx﹣32c2＝0，由韦达定理可得，，，|DE|＝＝＝＝，解得c＝，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝8c＝．故答案为：13．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，化简得：，，，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．【解答】解：（1）∵＝，∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．∴的最小值为4﹣5．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，可得V＝V＝，设A到平面A1BC的距离为d，由V＝V，∴S•d＝，∴×2•d＝，解得d＝．（2）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1知BB1⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，又平面ABC∩平面A1BC＝BC，所以BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，BC⊥AB，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA1＝AB，∴BC×AB×＝2，又AB×BC×AA1＝4，解得AB＝BC＝AA1＝2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则＝（0，2，0），＝（1，1，1），＝（2，0，0），设平面ABD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，∴平面ABD的一个法向量为＝（1，0，﹣1），设平面BCD的一个法向量为＝（a，b，c），，令b＝1，则a＝0，c＝﹣1，平面BCD的一个法向量为＝（0，1，﹣1），cos＜，＞＝＝，二面角A﹣BD﹣C的正弦值为＝．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R＝•；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算K2＝＝24＞6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）（i）证明：R＝：＝•＝•＝＝•＝；（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）＝＝，＝＝，P（|B）＝1﹣P（A|B）＝，P（|）＝1﹣P（A|）＝，所以R＝×＝6．21．（12分）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得，化简得a4﹣4a2+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，设P（x1，y1）Q（x2，y2），则联立双曲线得：（2k2﹣1）x2+4kmx+2m2+2＝0，故，，，化简得：2kx1x2+