《线性代数》课件 第3章 高斯消元法

第三章高斯消元法第三章

主要学习内容高斯消元法求解线性方程组矩阵的秩和可逆矩阵的逆矩阵特殊的可逆矩阵的逆矩阵形式3.1高斯消元法求解线性方程组高斯消元法

是数学史上最重要的发现之一，高斯消元法是线性代数的基础，它是以德国数学家高斯命名的，出现在19世纪初。事实上，这一思想早就在中国古代的《九章算术》中便初露端倪。具体为《九章算术》中第八章“方程”中提出的“方程术”思想，它和高斯消元法有着非常相似的思想。九章算术高斯消元法文字描述符号表示主要用于求解含有两个或三个未知数的线性方程组求解含有任意多个未知数的线性方程组两者本质上相同，但具体解法略有不同，高斯消元法更为简洁。两者的主要区别3.1高斯消元法求解线性方程组《九章算术》第八章中以一个例子介绍“方程术”“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何?”其中“禾”指的是谷子，“秉”指的是“捆”，“实”指的是“果实”。利用这个例子，刘徽给出了古代解线性方程组的方法。它是中国古代人民的智慧结晶，比欧洲领先至少一千多年。3.1高斯消元法求解线性方程组高斯消元法是指通过线性方程组中各个方程之间的等价运算，使得方程组中未知数缺少越少，终极目标为：当知道某一未知数的值，即可回代逐一求得全体未知数的值。当然，在消元过程中，也可能出现矛盾等式，此时方程组无解。实际上，高斯消元法通过对线性方程组进行行变换，将其转化为三角形方程组，然后再通过回代法求解出未知数的值，由以下例题加以说明。求解线性方程组首先要判断线性方程组是否有解若有解则利用高斯消元法化简方程组并求得全体未知数的取值若无解则结束3.1高斯消元法求解线性方程组例1.《九章算术》第八章中介绍“方程术”的案例为：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何?”将其翻译过来就是：现有上等谷子3捆，中等谷子2捆，下等谷子1捆，果实共计39斗；上等谷子2捆，中等谷子3捆，下等谷子1捆，果实共计34斗；上等谷子1捆，中等谷子2捆，下等谷子3捆，果实共计26斗，问上等、中等、下等谷子1捆分别是几斗？3.1高斯消元法求解线性方程组

利用高斯消元法从上往下消元依次为：

3.1高斯消元法求解线性方程组求解线性方程组首先要判断线性方程组是否有解，若无解则结束；若有解，则利用高斯消元法化简方程组并求得全体未知数的取值

3.1高斯消元法求解线性方程组求解线性方程组首先要判断线性方程组是否有解，若无解则结束；若有解，则利用高斯消元法化简方程组并求得全体未知数的取值例2：求解线性方程组

求解线性方程组首先要判断线性方程组是否有解，若无解则结束；若有解，则利用高斯消元法化简方程组并求得全体未知数的取值解：利用高斯消元法从上往下消元依次为：

3.1高斯消元法求解线性方程组3.1高斯消元法求解线性方程组

例3求解线性方程组3.1高斯消元法求解线性方程组解：利用高斯消元法从上往下消元依次为：

待求方程组等价于：

于是，待求方程组的解为：

为任意实数.3.1高斯消元法求解线性方程组例4求解线性方程组

3.1高斯消元法求解线性方程组解：利用高斯消元法从上往下消元依次为

3.2

高斯消元法求矩阵的秩

3.2

高斯消元法求矩阵的秩

3.2

高斯消元法求矩阵的秩

3.2

高斯消元法求矩阵的秩

解：对应的线性方程组为：

利用高斯消元法从上往下消元依次为：

3.2

高斯消元法求矩阵的秩主要步骤为：（1）写出矩阵对应的线性方程组；（2）利用高斯消元化简线性方程组；（3）确定方程组中有效方程的个数就是矩阵的秩.一般来说，可以通过高斯消元法求解矩阵的秩.3.3

高斯消元法求逆矩阵

3.3

高斯消元法求逆矩阵

分析：可以根据逆矩阵的定义利用定义法求逆矩阵.

根据矩阵相等的定义得：

分别解得

3.3

高斯消元法求逆矩阵思考：（1）对于不是方阵的

3.3

高斯消元法求逆矩阵思考：

3.3

高斯消元法求逆矩阵定理3.3.1可逆矩阵的逆矩阵唯一.

3.3

高斯消元法求逆矩阵

3.3

高斯消元法求逆矩阵

3.3

高斯消元法求逆矩阵

3.3

高斯消元法求逆矩阵

分析：利用消元法求逆矩阵.

3.3

高斯消元法求逆矩阵于是

即3.3

高斯消元法求逆矩阵

方程组（3-9）的解为：

利用高斯消元法对方程组（3-9）从上往下消元依次为：利用高斯消元法对方程组（3-10）从上往下消元依次为：

方程组（3-10）的解为：

3.3

高斯消元法求逆矩阵方程组（3-11）的解为：

利用高斯消元法对方程组（3-11）从上往下消元依次为：3.3

高斯消元法求逆矩阵思考：可逆矩阵的乘积矩阵是否可逆？

3.3

高斯消元法求逆矩阵

解：由题意根据例8的结果知3.3

高斯消元法求逆矩阵

3.3

高斯消元法求逆矩阵3.3

高斯消元法求逆矩阵

回顾与小结

1.逆矩阵的定义；2.用逆