函数及其图象章末十五大题型总结（培优篇）（华东师大版）（原卷版） 八年级数学下册

专题17.14函数及其图象章末十五大题型总结（培优篇）【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平面坐标系中点的坐标特征】 1【题型2根据一次函数性质确定参数】 2【题型3确定一次函数经过的象限】 2【题型4根据一次函数的性质比较大小】 3【题型5根据一次函数的性质判断结论正误】 3【题型6一次函数的平移】 4【题型7确定一次函数解析式】 5【题型8一次函数中的新定义问题】 6【题型9一次函数的规律探究】 8【题型10反比例函数k的几何意义】 10【题型11反比例函数图象上点的坐标特征的运用】 11【题型12反比例函数的图像与性质的运用】 12【题型13反比例函数与一次函数图象的综合判断】 13【题型14反比例函数与一次函数图象的交点问题】 15【题型15反比例函数与一次函数图象的实际应用】 16【题型1平面坐标系中点的坐标特征】【例1】（2023春·广西贺州·八年级统考期中）若点(m+1,2n−m)在x轴上，且到原点的距离为1，那么mn的值为．【变式1-1】（2023春·福建三明·八年级期末）如图，射线OA是第二象限的角平分线，若点B（k，2k＋1）在第二象限内且在射线OA的下方，则k的取值范围是（）A．k<−12 B．k<−1 C．−1【变式1-2】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）平面直角坐标系中，点A(−5,6)，B(3,−4)，经过点A的直线a与x轴平行，如果点C是直线a上的一个动点，那么当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（

）A．(6,−3) B．(−4,−5)C．(3,6) D．(−5,−4)【变式1-3】（2023春·河南南阳·八年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中有P、Q两点，其坐标分别为P（4，a）、Q（b，6）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（9﹣2b，a﹣6）落在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【题型2根据一次函数性质确定参数】【例2】（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）数k使关于x的方程1x−2+kx−12−x=1的解是整数，且k使一次函数y=【变式2-1】（2023春·福建漳州·八年级统考期中）一次函数y=kx+3k+1的图象与x轴交于正半轴，则k的取值范围为（

）A．k>−13 B．−13<k<0 C．k<0或k>【变式2-2】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）直线y=kx+b经过点3,−2，当−1≤x≤5时，y的最大值为6，则k的值为．【变式2-3】（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点0,m，2,n，p,1和3,−2，则下列判断正确的是(

)A．m<n B．m<−3 C．n<−2 D．p<−1.5【题型3确定一次函数经过的象限】【例3】（2023秋·浙江杭州·八年级杭州市安吉路实验学校校考期中）一次函数y=(m+1)x−2m+3的图象一定经过第象限．【变式3-1】（2023秋·河南周口·八年级校考期中）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式3-2】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）已知一次函数y=kx+b(k≠0)经过(−1,−1)，(1,−3)两点，则其函数图象不经过第象限．【变式3-3】（2023春·全国·八年级期末）如果直线y=2m+1x−2+m经过第一、三、四象限，那么则m的取值范围是【题型4根据一次函数的性质比较大小】【例4】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知x1,y1，x2,y2，x3A．y1y2>0 B．y1y【变式4-1】（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）直线y=3x+b上有三个点−2.3，y1A．y1>y2>y3 B．y【变式4-2】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）已知直线y=ax+b（其中a，b是常数，ab<0），点Am2，n2，BA．y1>y2 B．y1<y【变式4-3】（2023春·重庆开州·八年级统考期末）已知一次函数y=−2x+1的图象经过Ax1,−1，Bx2【题型5根据一次函数的性质判断结论正误】【例5】（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列说法：①k<0，b>0；②x=m是方程kx+b=0的解；③若点A(x1，y1)、B(x2，y2)是这个函数的图象上的点，且y1−y【变式5-1】（2023秋·江苏·八年级期末）在下列叙述中，正确的个数有（

）①正比例函数y=2x的图象经过二、四象限；②一次函数y=2x−3中，y随x的增大而增大；③函数y=3x+1中，当x=−1④一次函数y=x+1图象与x轴交点为−1,0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-3】（2023春·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）一次函数y1=ax+b与y2①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而减小；②函数y=ax+d的图象不经过第一象限；③a−c=d−b④d<a+b−c

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型6一次函数的平移】【例6】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像由函数y=−x的图像平移得到，且经过点1,1．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1m≠0的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m【变式6-1】（2023春·北京海淀·八年级期末）已知直线l:y=kx+b(k≠0)，将直线l向上平移5个单位后经过点(3,7)，将直线l向下平移5个单位后经过点(7,7)，那么直线l向（填“左”或“右”）平移个单位后过点(1,7)．【变式6-2】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市粮道街中学校联考期中）已知点A3，4，B−1，−2，将线段AB平移到线段CD，若点A的对应点C落在x轴上，点B的对应点D落在y轴上，则线段AB与【变式6-3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）在平面直角坐标系中点A（m−3，3m+3），点B（m，m+4）和D（0，−5），且点B在第二象限．（1）点B向平移单位，再向下平移（用含m的式子表达）单位可以与点A重合；（2）若点B向下移动3个单位，则移动后的点B和点A的纵坐标相等，且有点C（m−2，0）．①则此时点A、B、C坐标分别为、、．②将线段AB沿y轴负方向平移n个单位，若平移后的线段AB与线段CD有公共点，求n的取值范围．③当m<−1式，连接AD，若线段AD沿直线AB方向平移得到线段BE，连接DE与直线y=−2交于点F，则点F坐标为．（用含m的式子表达）【题型7确定一次函数解析式】【例7】（2023春·福建福州·八年级统考期中）如图，一次函数y1=kx+bk≠0的图象分别与x轴和y轴相交于C、A0，

(1)求一次函数的解析式；(2)当y1>y(3)点D是一次函数y1图象上一点，若S△OCD=2【变式7-1】（2023春·福建漳州·八年级统考期中）已知一次函数y1(1)若点(2,−1)在y1的图象上，求k(2)当−5≤x≤3时，若函数的最大值3，求y1(3)对于一次函数y2=(a+3)(x−1)−4，若对一切实数x，y1>y2都成立，求【变式7-2】（2023秋·安徽·八年级期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是.【变式7-3】（2023秋·广东深圳·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+bk≠0的图象与x轴交于点A5,0，与一次函数y(1)求一次函数y1=kx+b(2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y1=kx+bk≠0的图象交于点D，与一次函数y2=23x+2(3)直线y=kx−k经过定点1,0，当直线与线段AB（含端点）有交点时k的正整数值是.【题型8一次函数中的新定义问题】【例8】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，B(−2,2)，C(2,0)，D(2,4)，给出定义：若直线l与线段AB，CD都有公共点，则称直线l是线段AB，CD的“友好直线”．若直线y=12x+b是线段AB，CD的“友好直线”，则b【变式8-1】（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，已知正方形OABC，其中点A(−4,0)，B(−4,4)，C(0,4)．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到P′，点P′在正方形OABC的内部或边上，则称点P为正方形OABC的“和谐点”，若在直线y=kx+6上存在点Q，使得点Q是正方形OABC的“和谐点”，则k的取值范围是【变式8-2】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）定义运算min{a，b}，当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3．根据该定义运算完成下列问题：(1)min{﹣3，2}＝，当x≤2时，min{x，2}＝；(2)如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣2相交于点P（﹣2，1），若min{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，结合图象，直接写出x的取值范围是．(3)在（2）的基础上，直线y1＝x+m交x轴于点C，交y轴于点A，直线y2＝kx﹣2交x轴于点B，求△ABP的面积．【变式8-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．(1)已知点A(﹣12,0)，B为①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)如图2，已知C是直线y=34x+3上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D【题型9一次函数的规律探究】【例9】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A11,1在直线y=x图象上，过A1点作y轴平行线，交直线y=−x于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1【变式9-1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3，3)，P2，P3，…均在直线y=−13x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2020【变式9-2】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则B100的坐标为【变式9-3】（2023春·北京西城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1(2,2)在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴，交直线y=12x于点B1，以A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角三角形A1B1C1；再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和y=12x【题型10反比例函数k的几何意义】【例10】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）如下图，过反比例函数y=2x（x>0）图像上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y=kx（x>0）于点B，连接OA、OB．若

A．4 B．−2 C．−4 D．−1【变式10-1】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有一个6×2的矩形ABCD网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数y=−32xx<0的图像经过格点E（小正方形的顶点），反比例函数y=52xx>0的图像经过格点F，同时还经过矩形ABCD的边CD上的G点，连接

【变式10-2】（2023秋·河南开封·八年级开封市第十三中学校考期末）如图，点A是反比例函数y=mx(x<0)图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=nx(x<0)图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为A．−4 B．−8 C．−10 D．−12【变式10-3】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，A、B是函数y=6x上两点，P为一动点，作PB∥①△AOP≌△BOP；②S△AOP=S△BOP；③若OA=OB，则OP平分∠

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【题型11反比例函数图象上点的坐标特征的运用】【例11】（2023春·江苏常州·八年级统考期末）已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝．【变式11-1】（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）已知反比例函数y=kx(k≠0)，在每一个象限内，y随xA．(2,3) B．(−2,3) C．(0,3) D．(−2,0)【变式11-2】（2023秋·广西北海·八年级统考期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（

）A．(−1,−1) B．(1,−1) C．2,12 【变式11-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A−2，3，B3，2，A．1 B．-1 C．-6 D．6【题型12反比例函数的图像与性质的运用】【例12】（2023春·浙江温州·八年级统考期末）已知反比例函数y=kx(k≠0)，当−2≤x≤−1时，y的最大值是4，则当x≥2时，yA．最小值−4 B．最小值−2 C．最大值−4 D．最大值−2【变式12-1】（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）已知反比例函数y=3x，下列结论中不正确的是（A．其图象经过点−1,−3 B．其图象分别位于第一、第三象限C．当x>1时，0<y<3 D．当x<0时，y随x的增大而增大【变式12-2】（2023秋·河南平顶山·八年级统考期末）点A−3,y1、B−1,y2、C2,y3都在反比例函数y=A．y1<y2<y3 B．【变式12-3】（2023秋·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期末）小明根据学习函数的经验，对函数y=1x…−−1−0132537…y…3m10−1n2537…(1)函数y=1x−1+1(2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=______，n=______；(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．(4)结合函数的图象，解决问题：①方程1x−1②当函数值1x−1+1>3【题型13反比例函数与一次函数图象的综合判断】【例13】（2023春·广东中山·八年级广东省中山市中港英文学校校考期中）已知一次函数y=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图像如图所示，则正比例函数y=−kx和反比例函数y=mA． B．C． D．【变式13-1】（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）若反比例函数y=kxx>0，y随xA．

B．

C．

D．

【变式13-2】（2023秋·湖南怀化·八年级统考期中）函数y=mx与y=mx−1A．

B．

C． D．

【变式13-3】（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，满足函数y=kx−k和y=kxk≠0A．①② B．②③ C．②④ D．①④【题型14反比例函数与一次函数图象的交点问题】【例14】（2023春·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+bk1≠0的图象与反比例函数y=k2x

(1)求k1、k2及(2)△AOB的面积为______．【变式14-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，A、B两点在函数y1

(1)求m的值及直线AB的解析式y2(2)当kx+b≥mxx>0(3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．(4)请在右图中画出函数y3=mx的图象并写出当x=12时y1【变式14-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将反比例函数y=5x(x>0)的图象绕坐标原点0，0顺时针旋转45°，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y=12

【变式14-3】（2023春·湖南株洲·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+bk≠0的图象与反比例函数y2=mxm≠0的图象相交于第一，三象限内的

(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；(2)在y轴上找一点P使PB−PC最大，求PB−PC的最大值．【题型15反比例函数与一次函数图象的实际应用】【例15】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图像是线段；当20≤x≤45时，图像是反比例函数图像的一部分．

(1)求图中点A的坐标；(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【变式15-1】（2023秋·吉林通化·八年级统考期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量