平面向量（六大考点）-2025年高考数学一轮复习

考点巩固卷10平面向量(六大考点)

朦考点登亮_______________________________________

平面向量

考点04:平面向量之三角形四心问题

考点05:极化恒等式解决向量数量积问题

考点06:等和线解决平面向量系数和问题

朦龙4技巧4涛点利称

考点01:共线定理

定理1：^PC=XPA+uPB,^2+4/=1,MA,B、。三点共线；反之亦然

若点A、B、C互不重合，P是A、B、。三点所在平面上的任意一点，且满足A2=xAZ+y而，则

A、B、。三点共线ox+y=l.

证明：(1)由x+y=lnA、B、。三点共线.由x+y=1得

PC=xPA+yPB=xPA+(l-x)PB^PC-PB=x(PA-PB)^BC=xEi.

即前，威共线，故A、B、。三点共线.

A

C

PB

（2）由A、B、。三点共线nx+y=l.

由A、B、。三点共线得8C,8A共线，即存在实数x使得BC=；IA4.

i&BP+PC=2（fiP+PA）=>PC=2PA+（l-2）PB.4x=2,y=l-2,则有x+y=l.

1.已知”,N,尸,Q是平面内四个互不相同的点，色5为不共线向量，丽=2023。+20255,

NP=20245+2024&,PQ=-a+b,贝！］（）

A.M,N,P三点共线B.M,N,Q三点共线

C.三点共线D.N,P,Q三点共线

2.已知向量不共线，且"=W+B，d=a+（2A-l）b,若Z与之同向共线，则实数2的值为（）

A.1B.--C.1或-工D.-1或

222

3.在“IBC中，。为边AC上一点且满足而=1■方心，若尸为边8£>上一点，AP=2AB+/JAC,2,

〃为正实数，则下列结论正确的是（）

A.以〃的最小值为1B.九月的最大值为」■

12

C.；+；的最大值为12D.；+的最小值为4

4.下列说法中不正确的是（）

A.若丽=①，贝"荏|=|西，且A、B、a。四点构成平行四边形

B.若加为非零实数，且加万=/，则五与石共线

/_________、

___AjjAr1

C.在AABC中，若有血=［同+同>那么点。一定在角A的平分线所在直线上

D.若向量则日与万的方向相同或相反

5.如图，已知平行四边形ABC。的对角线相交于点。，过点。的直线与48,AD所在直线分别交于点

N,满足顺=根函7，AN=nAD,（m>0,〃>0）,若〃?〃=；,则"?+”的值为.

6.如图，已知△ABC为等边三角形，点G是AABC内一点.过点G的直线/与线段交于点。，与线段

AC交于点E.设茄=2屈，~AE=/2AC,且人0,〃片0.

(2)若点G是AABC的重心，设AADE的周长为q,AABC的周长为c?.

Ci)求;+'的值；

A〃

(ii)设，=X〃，记/。)=2一1，求/(r)的值域.

C2

7.设日，B是不共线的两个非零向量.

(1)若况=42一2后，OB=6a+2b>OC=2a-6b，求证：A,B,C三点共线；

(2)若Z=(7,2),B=(-3,5),2=(6,7),且R+证)〃求实数上的值.

8.如图，在AABC中，已知/匕=2,AC=6近，NBAC=45。,BC边上的中点为〃，点N是边AC上的

动点(不含端点)，AM,BN相交于点尸.

(1)求NBAM的正弦值；

(2)当点N为AC中点时，求/MPN的余弦值.

(3)当丽.而取得最小值时，设而=几两，求2的值.

9.设£国是不共线的两个非零向量.

(l^OA=4a-2.b,OB=6a+2b,OC=2.a-6b,求证：A,B,C三点共线;

(2)已知m1=5,|方1=4,1,5的夹角为3，问当％为何值时，向量%-方与扛3方垂直？

—.2—.

10.如图，在AABC中，AQ为边BC的中线，AP=jAQ,过点尸作直线分别交边AB,AC于点M,N,且

AM=AAB,AN=/JAC,其中几＞0,〃＞0.

(D当丽〃反1时，用画7，R▽表示双；

(2)求;+'的值，并求24+〃最小值.

考点02:投影向量的求算

1、投影向量的定义“B

如图：如果向量荏的起点A和终点3在直线/上的投影分别为A'和8,A/

I

I

I

t

那么向量IT叫做向量方在直线/上的投影向量(简称为：投影)；IIi

A'B'

理解：一个向量B在一个非零向量Z的方向的投影，就是向量坂在向量Z的任意一条所在直线上的投影，因

为这些直线都是平行的，所以，向量B在一个非零向量Z的方向的投影是唯一确定的；

特殊地，如图，若两个向量共起点。；

即：函=2,历=B,过点3作直线。1的垂线，垂足为笈，/

o^---------V*

___B'A

则0方就是向量B在向量£上的投影向量；

2、投影向量的计算公式

以一点。为起点，；

作：OA=a,OB=b,把射线。4、08的夹角称为向量Z、向量B的夹角，记作：＜G,B〉；

B

<a一,b7>=兀,又称向量a,B垂直，记作

2

A

当<Z,B〉为锐角（如图（1））时，。3'与总方向相同，

2=|OBHb|cos<a,b>,所以OB=\b\cos<a,b>ao=出

\a\

当<Z,B〉为直角（如图（2））时，2=0,所以砺=6；

当<Z,B〉为钝角（如图（3））时，声与方向相反,

所以4=-1OB\=-\b\cosBOB=-\b\cos（万一<a,b>）^b\cos<a,b>

r-r-iCR'.7।-7_|b|cos<a,b>一

所以KOB=|b|cos<a,b>ao=-----------------a；

\a\

当<a,B>=0时，2=|S|,所以。=|b|ao=^-a;

\a\

当<£,B>=万时，Z=-\b\,所以05=|引cos.Zo=।"/s"

l«l

———/一一一一I［）Icos<cib>一

综上可知，对于任意的<a,匕>e［0,万］,都有QB=\b\cos<a,b>a=--------=~-——a；

0\a\

3、数量投影的定义与求法

R

HAO(/i)

据图:如果令7=91"为向量”的单位向量‘那么

|b|cos<a,b>-

向量B在向量”方向上的向量投影为：巧|cos<a,b>a（）-----------------a；

其中，实数而cos<£,5>（*）称为向量B在向量£方向上的数量投影;

理解：（1）当<Z,5〉e0,光时；实数曲cos<Z,B〉（*）大于0；

（2）当<“~，-/?»〉=々]L时；实数-依►cos<­a►,—匕►〉（*）等于0；

2

(3)当<〃,石>£]9,»时；实数曲cos<a,B>（*）小于0；

特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此,

这个数量投影等于0；

11.向量n=（l,o）,万与非零向量B的夹角为60。，则万在方上的投影数量为（）

A・—2C.1D.-石

12.若Z=（2,l）④=（<2）]=（2,左），c/小则£在工方向上的投影向量为（）

636_3636_3

A.B.C.D.

5,55，-55555，-5

13.若向量£=（2,3）,B=（-1,1）,贝立在Z上的投影向量的坐标是（）

223232

A.B.C.D.

13，-131311313，-13

14.已知向量商=（0cosa,J5sina）,B=（2sin£,2cos£），M-M=4,则石在商上的投影向量为（

A.2bB.2dc.jD.—CL

2

15.空间向量2=（1,0,1）在石=（0』,1）上的投影向量为（）

?°4

A.B.C.°41D.

16.下列关于向量的说法正确的是()

A.若刃区,bile，则商他

B.若单位向量方，5夹角为则向量G在向量5上的投影向量为且B

62

C.若商与5不共线，且贝！Js=/=O

D.若无^=5•^且Ew。，贝()4=石

17.已知向量Z=(-1,5),B=(-3,4),则向量5在[刃方向上的投影向量的坐标为.

18.已知方=(加一1,2),b=(l,m).

⑴若B+H=2且用＜0,求才在5方向上的投影向量；

(2)若日与方的夹角为钝角，求实数机的取值范围.

19.已知向量Z=(l,G),b=m,——m,meR.

I3J

(1)若m=3,求卜+0；

⑵若办，卜-3修，求5在2上的投影向量(用坐标表示)

20.已知同="网=1,6与B的夹角为45。.

⑴求5在1方向上的投影向量；

⑵求忸+目的值.

考点03:奔驰定理解决三角形面积比问题

奔驰定理…解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知AABC的顶点4(%，%),Bg，当)，C(F，为)，则△A3C的重心坐标为

133”

注意：(1)在zwe中，若。为重心，贝D+砺+而=6.

(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示:.

奔驰定理：SA-D5+SB-O耳+Sc-"=0,则"。台、△AOC、的面积之比等于4：4：4

奔驰定理证明：如图，令4况=函，^OB=OB[,^OC=OQ,即满足方i+砺I+配i=o

%A05_]S/\AOC_]S^BOC

9

jjS/XAOB'AASgoc

q故SOC-=4：%：4・

SAAQG44QAB10cl

—»1—.2—►,一

21.点。在"IBC的内部，且满足:AO=-AB+-AC,则AABC的面积与AAO5的面积之比是（

A-iB.3c-iD.2

22.设点。是"RC所在平面内一点，则下列说法错误的是（）

A.若西+防+花=0,则。为"RC的重心;

B.^（OA+OB）AB=（^B+OC}BC=Q,则O为△ABC的垂心;

ABAC•）•觉=0,雪•冬==，则AABC为等边三角形;

C.若（-_____>

\AB\|AC|\BA\\BC\2

D.若3X+2OB+3OC=0，则△BOC与△ABC的面积之比为SABOC:SAABC=1:6.

23.已知。为融。所在平面内的一点，且砺=3砺+4元，则下列说法正确的是（）

A.若网=|回=1且防,求，则网=5

—.1―.2—.

B.AO=-AB+-AC

23

C.»03与“止。的面积之比为3:4

D.△403与艰0（7的面积之比为4:3

24.AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,其外接圆半径为R,下列结论正确的有（

A.若G是AABC的重心，则GX+丽+玄=0

.1—.2>

B.Q是9BC所在平面内一点，^AQ=-AB+-AC,则AAS。的面积是AACQ的面积的2倍

sinB2bsinC

C.若一/=后｝，则AABC是等腰三角形

cos——

2

D.若"=27-/,3cos（A-B）cosC=1,贝IJA4BC的外接圆半径R=（

25.44BC的内角4氏。的对边分别为〃,"c,其外接圆半径为H,下列结论正确的有（）

A.若G是AABC的重心，S.aGA+bGB+—cGC=O,则A=30°

3

—.1—.2—►

B.。是AABC所在平面内一点，^AQ=-AB+-ACf则△ABQ的面积是△ACQ的面积的2倍

sinB_2Z?sinC

C.若—,则AABC是等腰三角形

cos——

2

Q

D.若。2=27—>2,3COS（A—3）COSC=1,则AABC的外接圆半径R=j

26.下列说法中正确的是（）

A.在AABC中，AB=c，BC=a>CA=b，若7B>0，则AABC为锐角三角形

B.已知点。是平面上的一个定点，并且A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

/__、

4D

OP=OA+A口+—（2e（O,+«））,则点尸的轨迹一定通过&4BC的内心

IM

C.己知）=（1,2）,B=Z与£的夹角为锐角，实数％的取值范围是1土+，|

3

D.在“ISC中，若2函+3O2+5OC=。，则AAOC与4105的面积之比为《

27.在“LBC中，下列说法正确的是（）

,ABAC.4

A.若（同+国）•BDZC=°,则“1BC是等腰三角形

B.若：=通八/|,（AB-AC）.（AB+AC）=O,则AABC为等边三角形

___.2—.1―,1

C.若点M是边5C上的点，S.AM=-AB+-ACf贝以40。的面积是△ABC面积的§

D.若。分别是边BC中点，点尸是线段AD上的动点，且满足丽=2丽+〃而，则以“的最大值为:

O

28.对于融。，有如下判断，其中正确的判断是（）

,什CAcccn.rb+2c2b+C

A.若a=2,A=30。，则------------=—；-----；—=4A

sinB+2sinC2sinB+sinC

B.若，=8,5=10,5=60。，则符合条件的AABC有两个

（____\

___,AD——

C.若点尸为AABC所在平面内的动点，且"=2———+『——，2e（O,+s）,则点P的轨迹经

|AB|COSB|AC|cosC^

过AASC的垂心

D.已知。是AABC内一点，若2南+砺+3反=G£AOC，SAMC分别表示AAOCAABC的面积，贝|

SAAOC，^AABC=1：6

29.若M是AASC内一点，且满足丽+阮=4丽，则AABM■与"CM的面积之比为

30.已知在ULBC中，角A氏C所对的边分别为dc,若AABC的面积S=奶C,

sin2A+sin2C+sinAsinC=26sinB.

(1)求角8的大小；

⑵若丽・配=-4，S.2OA+OB+2OC=Q>求ACMC的面积.

考点04:平面向量之三角形四心问题

一、四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

二、三角形四心与推论：

(1)。是AABC的重心：SABOC:S^COA:S^0B=l:l:l^OA+OB+OC=0.

(2)。是△ABC的内心：SAB0C:SACOA:=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=0.

(3)。是"BC的外心：

2A:2B:2C2AOA2BOB2COC=

5ZAADBUnCr:SZAACrCrZtA.:54AM.JB=sinsinsinsin+sin+sin0.

(4)O是人钻。的垂心：

S:S:SAOABOBCOC=

/A\rR>vnLr，ArnAzA\AMn</Rri=tanA:tanB:tanC<^>tan+tan+tan0.

【方法技巧与总结】

(1)内心：三角形的内心在向量黑+普所在的直线上.

网M

|AB|-PC+|BC|-PC+|C4|-PB=()OP为△ABC的内心.

(2)外心：|丽H丽口园=「为△ABC的外心.

(3)垂心：丽•丽=丽•无=P?•玄oP为ZWC的垂心.

(4)重心：丽+而+无=6oP为△ABC的重心.

31.已知。为三角形ABC内一点，且满足丽•丽=无.灰^0乙西和旃=2市+30己，则角B为()

32.已知。，A,B,C是平面上的4个定点，A,B,C不共线，若点尸满足赤=市+〃而+Z?）,其

中2wR,则点尸的轨迹一定经过AASC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

33.已知AABC,向量丽，0B，碇满足条件次+砺+玄=0，|画|=|砺|=|反则△钳°是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形

~AR__►DA

34.已知点P在AABC所在平面内，若丽一^）=丽--^）=0,则点尸是443。的（）

\AC\\AB\\BC\\BA\

A.外心B.垂心C,重心D.内心

35.已知在”IBC中，H为AABC的垂心，。是AABC所在平面内一点，SLOA+OB=CH,则以下正确的

是（）

A.点。为AA6C的内心B.点。为AABC的外心

C.NAC8=90。D.AABC为等边三角形

36.设点。是AABC所在平面内任意一点，AABC的内角A,3,C的对边分别为a,6,c,已知点。不在AABC

的边上，则下列结论正确的是（）

A.若点。是AABC的重心，则回不+丽=反

B.若点O是44BC的垂心，贝”配+的）•诙=0

C.^^OA+OB）AB=[OB+OC\BC=Q,则点O是AABC的外心

D.若。为AABC的外心，X为"1BC的垂心，则而=示+为+工

37.在AASC中，有如下四个命题，其中正确的是（）

A.若蔗.通＞0,则AABC为锐角三角形

B.AABC内一点G满足宙+而+觉="则G是AAFC的重心

C.若|丽+：^|=|园，则”1BC的形状为等腰三角形

D.若可.闻=而.汽=卮.可，则P必为AABC的垂心

38.下列说法中，正确的是（）

A.若同=忖，则》或心了

B.在平行四边形ABCD中，AB-AD=BD

C.在AABC中，若荏.衣＜0,则AABC是钝角三角形.

D.44BC内有一点。，满足市+赤+元=0,则点。是三角形的重心

39.点。是平面a上一定点，A,B,C是平面a上“1BC的三个顶点，/B,NC分别是边AC,4B的对角.

有以下四个命题：

①动点P满足9=况+而+定，则MSC的外心一定在满足条件的P点集合中；

②动点尸满足丽=西+彳―+冬•>0)，则AABC的内心一定在满足条件的尸点集合中;

uunuur

③动点尸满足。尸=Q4+4-tM-------+-»--------(2>0),则AABC的重心一定在满足条件的尸点集合中;

④动点P满足历=函+力+-C(几>°)，贝壮/WC的垂心一定在满足条件的P点集合中.

|AB|COSB|AC|COSC

其中正确命题的个数为.

40.44BC中，角A,B,。对边分别为〃，b,c,点尸是AABC所在平面内的动点，满足

(_._

DA

OP=OB+A『+尸石(彳>0).射线8P与边AC交于点。.若/+°2-62=%5。=2,则^ABC面积的最

小值为.

考点05:极化恒等式解决向量数量积问题

(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:

/KX"7B

日+司2+|1斤=2(而+而)

证明：不妨设AB=a,AO=B,贝!]AC=O+B,DB=a—b

|AC|2=AC2=(a+5)2=|a|2+2a-b+^\①

2222

|^B|2=DB=(a-S)=|a|-2a-b+1&|②

①②两式相加得：

(2)极化恒等式:

上面两式相减，得：;[仅一(£-5)2]----------极化恒等式

①平行四边形模式：四2]

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方

差的L

4

②三角形模式：a-b=\AM^为30的中点)

JT

41.在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,ABAD=—,点P在CD边上，丽.项=4,则APBP^()

A.0B.--C.-1D.1

2

42.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，

图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正八边形ABCDEEDH的边长为2,P是正八边

形ABCDEFGH八条边上的动点，则通.屈的最大值为()

图2

B.4+20C.2+V2D.2A/2

43.已知0是平面上一定点，A氏C是平面上不共线的三个点，且(屈-反)•(方+玄-2))=0,当忸C|=8

时，则丽.冠=()

A.64B.32C.24D.8

44.在“IBC中，已知AB=2,AC=近，若点。为“IBC的外心，点V满足的=2雨的点，则而.汨=

()

jr_

45.已知在边长为2的菱形ABC。中，=点E满足前=3配，则衣.亚=.

46.已知复数z在复平面内对应的点为Z,且满足|z-2-2i|<2,。为原点，求函.无的取值范

围.

47.如图，在梯形ABCD中，.点尸在阴影区域（含边界）中运动，则".而的取

值范围为.

__.2__.

48.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD=-AC,且点尸在以AD的中点。为圆心，Q4为半

径的半圆上，则而.前的最大值为.

49.如图，在AABC中，|而+而|=|而-而|,BC=^/2BD，\AD\=2,则衣.布=

50.如图，已知网格小正方形的边长为1,点尸是阴影区域内的一个动点（包括边界），O,A在格点上，则

而•方的取值范围是.

OA

考点06:等和线解决平面向量系数和问题

题型一：x+y问题（系数为1）

题型二：+问题（系数不为1）

题型三：“IX-利问题

（1）平面向量共线定理

已知厉=2丽+〃反，若4+〃=1,则A3,C三点共线；反之亦然。

（2）等和线

平面内一组基底砺，砺及任一向量而，丽=2次+〃砺（4〃eR）,若点P在直线AB上或者在平行

于AB的直线上，则4+〃=左（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。

①当等和线恰为直线AB时，k=l；

②当等和线在O点和直线至之间时，左€（0,1）；

③当直线互在点。和等和线之间时，/e（l,+oo）;

④当等和线过O点时，k=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值%互为相反数；

3_

51.如图，在AASC中，若而=3配尸为CD上一点，且满足Q=+y旗（尤eR）,贝ljx=（）

52.如图，在正方形ABCD中，CE=2DE,£B和AC相交于点G,且尸为AG上一点（不包括端点），若

_,.31

BF=XBE+JLIBA,则不+一的最小值为（）

Zu

DEC

A.5+3>/3B.6+26C.8+逐D.15

53.如图，在AABC中，*=3而,尸是BN上的一点，AP=fm+1JAB+-1AC,则实数，"的值为（）

54.AABC的重心为0,过点0的直线与AB,BC所在直线交于点E,F,若现=-XAB，BF=yBC(x,y>0),

则孙的最小值为()

224

A.—B.—C.—D.4

399

,2.

55.在AAJ5c中，点。是线段AC上一点，点夕是线段BD上一点，且①=诙，AP=-AB+AACf则4=

()

A.-B.-C.-D.-

8643

56.已知IBC是边长为1的正三角形，丽=§苑尸是BN上一点且"荏+j而，则方.而=()

212

A.-B.-C.-D.1

993

57.已知口48。。中，点P在对角线AC上(不包括端点A,C),点。在对角线80上(不包括端点8,D),

若记的最小值为机，亍+一的最小值为小贝

AP=4AB+j3C,AQ=A2AB+JU2BC,2"-4U()

1919

A.m=——,n=—B.m=——,n=—

8242

1919

C.m=——,n=—D.m=——,n=—

8444

58.如图，在三角形。尸。中，M、N分别是边。尸、。。的中点，点R在直线跖V上，且砺=xOP+y而(尤,

yeR）,则代数式小/+/一苫一〉+；的最小值为（）

A.也B.比C.也D.也

2642

59.如图所示，B是AC的中点，丽=2而,P是平行四边形BCZJE内（含边界）的一点，且

OP=xOA+yOB[x,eR),则当>=2时，尤的范围是.

60.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点0,过点。的直线与AB,A。所在直线分别交于点M,

(m>0,n>0),若m几=g,则加+〃的值为.

参考答案与试题解析

考点巩固卷10平面向量（六大考点）

考点01：共线定理

平面向量

考点04:平面向量之三角形四心问题

考点05:极化恒等式解决向量数量积问题

考点06:等和线解决平面向量系数和问题

整左端技巧及考点利栋

考点01:共线定理

定理1：+^2+Z7=1,B、。三点共线；反之亦然

若点A、B、C互不重合，P是A、B、。三点所在平面上的任意一点，且满足A2=xAX+y而，则

A、B、C三点共线ox+y=L

证明：(1)由％+y=lnA、B、。三点共线.由x+y=1得

PC=xPA+yPB=xPA+(1—x)PBnPC—PB=x(PA-PB)n5。=xBA.

(2)由A、B、C三点共线=>%+丁=1.

由A、B、。三点共线得BC,54共线，即存在实数x使得BC=；IA4.

故丽+正=2麻+同n正=4匹+（1—X）丽.令x=2,y=l—X,则有尤+y=l.

1.已知M,N,P,0是平面内四个互不相同的点，4,5为不共线向量，MN=20235+2025b，

NP=2024a+2024&,PQ=-a+b,贝!|（）

A.M,N,P三点共线B.M,M。三点共线

C.三点共线D.N,尸，。三点共线

【答案】B

【分析】利用向量共线充要条件求出结果.

【详解】NQ=NP+PQ=-a+b+2024a+2024b=20231+20255,

所以丽=而，所以",N,。三点共线，即B对.

同理，其它各项对应三点均不共线.

故选：B.

2.已知向量不共线，且"=筋+人3=a+（22-l）5,若Z与之同向共线，则实数2的值为（）

A.1B.--C.1或一工D.-1或

222

【答案】A

【分析】由共线定理可知存在，（4>0）使得*=〃2，然后由平面向量基本定理可得.

【详解】因为2与Z同向共线，所以存在〃（4>。）使得己=〃，

即彳4+3=〃［汗+（2彳-1）石］=〃万+〃（22-1）5,

［Z=LL1

又向量不共线，所以解得4=一5（舍去）或％=L

故选：A

3.在AABC中，。为边AC上一点且满足砺=：方心，若尸为边50上一点，且满足而=4宿+〃/，4,

〃为正实数，则下列结论正确的是（）

A.%的最小值为1B.的最大值为:

C.7+丁的最大值为12D.了+丁的最小值为4

【答案】BD

【分析】根据反。,P三点公式求得4+3〃=1,结合基本不等式判断即可.

【详解】因为">=”C,所以羽=3昉

5LAP=AAB+juAC=A,AB+3^AD,

因为尸、B、。三点共线，所以几+3必=1,

又X,〃为正实数，所以==:

当且仅当彳=3〃，即2=（,〃=!时取等号，故A错误，B正确;

2o

111-L(4+3〃)=2+当+>2+2栏小

—+——+=4,

43〃23〃23/1V43〃

当且仅当¥=金即"=：时取等号，故c错误，口正确.

故选：BD

4.下列说法中不正确的是（）

A.若丽=①，贝ij|荏|=|也|,且A、B、C、。四点构成平行四边形

B.若加为非零实数，且加万=/，则值与石共线

/__k、

C.在AASC中，若有〃禺+答，那么点。一定在角A的平分线所在直线上

\AB\AC

D.若向量万〃则G与方的方向相同或相反

【答案】AC

【分析】根据四点共线即可判断A,根据共线定理即可求解B,根据单位向量的定义以及向量加法的运算法

则，即可由角平分线求解C,根据零向量即可求解D.

【详解】对于A,线段AD上，8,C为线段AD的三等分点，满足福=丽，且|荏|=|历

但四点不能构成平行四边形，A错误；

对于B,因为机为非零实数，S.ma=nb，所以讶=二n6—,所以值与6共线，B正确;

m

通衣

对于因为分别表示向量9、恁方向上的单位向量，所以第+总的方向与/54C的

C,雨、而

ABAC

角平分线重合，又芯=/-雨--------1--闻--------,可得向量N万所在直线与-54C的角平分线重合，所以点。一定在

角A的平分线所在直线上，C正确;

对于D,若向量4〃5,则万与B的方向相同或相反，或4与5中至少有一个为零向量，D错误.

故选：AC

5.如图，己知平行四边形ABCD的对角线相交于点0,过点。的直线与A3,A。所在直线分别交于点

N,满足旃=〃?W，AN=nAD,(m>0,n>0),mn=1,则〃?+”的值为

【分析】用向量说，而表示前，再利用点M,O,N共线列式计算作答.

__1_.I__.

【详解】因平行四边形ABCD的对角线相交于点0,贝U40=3^+54。，

而漏=加说,就=必切,（加＞0,力＞0）,于是得％5='丽7+-1-加，

22n

又点M,0,N共线，

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