湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2025届高二上数学期末统考模拟试题含解析

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2025届高二上数学期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．曲线与曲线（）的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等3．已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为A.15 B.C.6 D.34．已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（）A. B.C. D.5．已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）A.2 B.5C.1 D.06．等比数列{}中，已知=8，+=4，则的值为（）A.1 B.2C.3 D.57．过点与直线平行的直线的方程是（）A. B.C. D.8．圆心，半径为的圆的方程是（）A. B.C. D.9．若复数，则（）A B.C. D.10．命题“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使11．若且，则下列选项中正确的是（）A B.C. D.12．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）A. B.3C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，则该抛物线的标准方程为___________14．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______15．若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.16．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆经过点，（1）求椭圆的方程；（2）已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程18．（12分）已知圆C：的半径为1（1）求实数a的值；（2）判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长19．（12分）已知等差数列的前项和满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.20．（12分）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面有一个小孔（小孔的大小忽略不计）E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上）.（1）证明图2中的水面也是平行四边形；（2）当水恰好流出时，侧面与桌面所成的角的大小.21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足：点（n，bn）在曲线y＝上，a1＝b4，___，数列{}的前n项和为Tn从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a5＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上并作答（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）是否存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞？若存在，求出满足题意的k值；若不存在，请说明理由22．（10分）已知椭圆的离心率是，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由定义证明函数的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出，从而得出实数的取值范围.【详解】任取，，即函数在上单调递减，若，使得，则即故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：(1)，，使得成立等价于(2)，，不等式恒成立等价于(3)，，使得成立等价于(4)，，使得成立等价于2、D【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断.【详解】曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为；曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为.对照选项可知：焦距相等.故选：D.3、C【解析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入{an}前6项的和公式中即可求出结果【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{an}前6项的和为2a1+5d）=故选C【点睛】本题考查等差数列前n项和求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用4、A【解析】由可求得，利用可构造方程求得.【详解】，，，，，解得：.故选：A.5、C【解析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解.【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中，由，可得，则切线的斜率为，由，可得，则切线斜率为，因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共点的坐标为，将点代入，可得.故选：C.6、C【解析】由等比数列性质求出公比，将原式化简后计算【详解】设等比数列{}的公比为，则＝，＝，所以＝=.又＋＝＋＝（＋）＝8×＝2，＋＝＋＝（＋）＝8×＝1，所以＋＋＋＝2＋1＝3.故选：C7、A【解析】根据题意利用点斜式写出直线方程即可.【详解】解：过点的直线与直线平行，，即.故选：A.8、D【解析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.【详解】因为圆心为，半径为，所以圆的方程为:.故选：D.9、A【解析】根据复数的乘法运算即可求解.【详解】由，故选：A10、B【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案【详解】存在量词命题的否定，只需把存在量词改成全称量词，并把后面的结论否定，所以“，使”的否定为“，有”，故选：B.11、C【解析】对于A，作商比较，对于B，利用基本不等式的推广式判断，对于C，利用在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积判断，对于D，利用放缩法判断【详解】，故错误；，故错误；在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积（必修三阅读材料割圆术），则，故正确；，故错误故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查不等式的综合应用，考查基本不等式的推广式的应用，考查放缩法的应用，对于C项解题的关键是利用了在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积求解，考查数学转化思想，属于难题12、B【解析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.【详解】由已知，不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据焦点坐标即可得到抛物线的标准方程【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，所以，解得，抛物线的标准方程为故答案为：14、【解析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.【详解】由点在圆C：内，且所以，又，解得过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为又，所以，解得故答案为：15、5【解析】根据抛物线的定义知点P到焦点距离等于到准线的距离即可求解.【详解】因为抛物线方程为，所以准线方程，所以点到准线的距离为，故点到该抛物线焦点的距离.故答案为：16、9【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为可得，乙组的平均数：，解得：，则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)将点M、N的坐标代入椭圆方程计算，求出a、b的值即可；(2)设l的方程为：，，根据直线与圆的位置关系可得，直线方程联立椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，进而列出关于k的方程，解之即可.【小问1详解】椭圆经过点，则，解得，【小问2详解】设l的方程为：与圆相切设点，∴（则Δ>0，，，，，，，，，故，18、（1）；（2）直线l与圆C相交，.【解析】（1）利用配方法进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合圆的弦长公式进行求解即可.【小问1详解】将化为标准方程得：因为圆C的半径为1，所以，得【小问2详解】由（1）知圆C的圆心为，半径为1设圆心C到直线l的距离为d，则，所以直线l与圆C相交，设其交点为A，B，则，即19、（1）（2）【解析】（1）根据已知求出首项和公差即可求出；（2）利用裂项相消法求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以，化简得，解得，所以【小问2详解】由（1）可知，所以，所以.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由水的体积得出，进而得出，，从而证明图2中的水面也是平行四边形；（2）在平面内，过点作，交于，由四边形是平行四边形，得出侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，再由直角三角形的边角关系得出其夹角.【小问1详解】由题意知，水的体积为，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱，，，交于，，，，则，水的体积为，，即，，故四边形为平行四边形，即，且又，，，四边形为平行四边形，即图2中的水面也是平行四边形；【小问2详解】在平面内，过点作，交于，则四边形是平行四边形，，，侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角，即为所求，而，在中，，侧面与桌面所成角的为21、（1）条件选择见解析；an＝2n，bn＝25﹣n.（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）把点（n，bn）代入曲线y＝可得到bn＝25﹣n，进而求出a1，设等差数列{an}的公差为d，选①S4＝20，利用等差数列的前n项和公式可求出d，从而得到an；若选②S3＝2a3，利用等差数列的前n项和公式可求出d，从而得到an；若选③3a3﹣a5＝b2，利用等差数列的通项公式公式可求出d，从而得到an；（2）由（1）可知Sn＝＝n（1+n），＝，再利用裂项相消法求出Tn＝1﹣，不等式无解，即不存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞【小问1详解】解：∵点（n，bn）在曲线y＝上，∴＝25﹣n，∴a1＝b4＝25﹣4＝2，设等差数列{an}的公差为d，若选①S4＝20，则S4＝＝20，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若选②S3＝2a3，则S3＝a1+a2+a3＝2a3，∴a1+a2＝a3，∴2+2+d＝2+2d，解得d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；若选③3a3﹣a5＝b2，则3（a1+2d）﹣（a1+4d）＝25﹣2＝8，∴2a1+2d＝8，即2×2+2d＝8，∴d＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；【小问2详解】解：由（1）可知Sn＝＝＝n（1+n），∴＝＝，∴Tn＝（1﹣）+（）+……+（）＝1﹣，假设存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞，∴，即，此不等式无解，∴不存在正整数k，使得Tk＞，且bk＞22、（1）；（2）2.【解析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可