北京市文江中学2025届数学高一上期末综合测试试题含解析

北京市文江中学2025届数学高一上期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学研究表明，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏M震级之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知两次地震的能量与里氏震级分别为Ei与Mii=1,2，若A.103C.lg3 D.2．下列说法不正确的是（）A.奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点 B.偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和y轴相交C.若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则 D.若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点3．函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与5．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（）A. B.C. D.6．对于函数的图象，关于直线对称；关于点对称；可看作是把的图象向左平移个单位而得到；可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到以上叙述正确的个数是A.1个 B.2个C.3个 D.4个7．角的终边经过点，则的值为（）A. B.C. D.8．已知直线经过点，，则该直线的斜率是A. B.C. D.9．已知，且，则的值为（）A. B.C. D.10．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数在一个周期内图象如图所示，此函数的解析式为___________.12．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______.13．已知样本9，10，11，，的平均数是10，标准差是，则______，______.14．两条直线与互相垂直，则______15．设函数，则__________16．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围是____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数是上的奇函数.（1）求的值；（2）比较与0的大小，并说明理由.18．溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，计算胃酸的.（精确到）（参考数据：）19．已知函数（1）若的定义域为，求实数的值；（2）若的定义域为，求实数的取值范围20．已知角的终边经过点.（1）求的值；（2）求的值.21．已知向量，，，求：（1）,；（2）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】利用对数运算和指数与对数互化求解.【详解】由题意得：lgE1=4.8+1.5两式相减得：lgE又因为M2所以E2故选：A2、D【解析】对于AB，举例判断，对于CD根据函数奇偶性和对称性的关系分析判断即可【详解】对于A，是奇函数，其图象关于原点对称，但不过原点，所以A正确，对于B，是偶函数，其图象关于轴对称，但与轴不相交，所以B正确，对于C，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则两个交点关于轴对称，所以，所以C正确，对于D，若奇函数与y轴有交点，则，故，所以函数必过原点，所以D错误，故选：D3、C【解析】根据诱导公式变性后，利用正弦函数的递减区间可得结果.【详解】因为，由，得，所以函数的单调递增区间是.故选：C4、B【解析】根据两个函数的定义域相同且对应关系也相同，逐项判断即可【详解】由于函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故A错误；由于的定义域为，函数且定义域为，所以与是同一函数，故B正确；在函数中，，解得或，所以函数的定义域为，在函数中，，解得，所以的定义域为，所以与不是同一函数，故C错误；由于函数的定义域为，函数定义域为为，所以与不是同一函数，故D错误；故选：B.5、C【解析】令，化为指数式即可得出.【详解】令，则，∴，即的估算值为.故选：C.6、B【解析】由判断；由判断；由的图象向左平移个单位，得到的图象判断；由的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象判断.【详解】对于函数的图象，令，求得，不是最值，故不正确；令，求得，可得的图象关于点对称，故正确；把的图象向左平移个单位，得到的图象，故不正确；把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，故正确，故选B【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.7、D【解析】根据三角函数定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，，所以.故选：D8、D【解析】根据斜率公式，，选D.9、B【解析】先通过诱导公式把转化成，再结合平方关系求解.【详解】，又，.故选：B.10、D【解析】由题意可知，命题“，”是真命题，再利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可求出结果.【详解】由于命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题；所以，解得.故选：D.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式【详解】由图象可知，，，由，三角函数的解析式是函数的图象过,，把点的坐标代入三角函数的解析式，，，又，，三角函数的解析式是.故答案为：.12、3【解析】根据频率分布直方图，求得不小于40岁的人的频率及人数，再利用分层抽样的方法，即可求解，得到答案【详解】根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.2，所以不小于40岁的人的频数是100×0.2=20；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，在[50，60）年龄段抽取人数为【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13、①.20②.96【解析】先由平均数的公式列出x+y=20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值.【详解】根据平均数及方差公式，可得:化简得：，，或则，故答案为：20；96【点睛】本题主要考查了平均数和方等概念，以及解方程组，属于容易题.14、【解析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于，即可求出结果【详解】直线的斜率，直线的斜率，且两直线与互相垂直，，，解得，故答案为【点睛】本题主要考查两直线垂直的充要条件，属于基础题.在两条直线的斜率都存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于15、【解析】先根据2的范围确定表达式，求出；后再根据的范围确定表达式，求出.【详解】因为，所以，所以.【点睛】分段函数求值问题，要先根据自变量的范围，确定表达式，然后代入求值．要注意由内而外求值，属于基础题.16、【解析】由题可得，利用正弦函数的性质可得对称轴为，结合条件即得.【详解】∵，由，得，当时，，则，解得此时，当时，，则，解得此时，不合题意，当取其它整数时，不合题意，∴.故答案：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由奇函数的性质列式求解；（2）先判断函数的单调性，然后求解，利用单调性与奇偶性即可判断出.【小问1详解】因为是上的奇函数，所以，得时，，满足为奇函数，所以.【小问2详解】设，则，因，所以，所以，即，所以函数在上为增函数，又因为为上的奇函数，所以函数在上为增函数，因为，即，所以，因为是上的奇函数，所以，所以【点睛】判断复合函数的单调性时，一般利用换元法，分别判断内函数与外函数的单调性，再由同增异减的性质判断出复合函数的单调性.18、（1）溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强（2）【解析】（1）根据复合函数的单调性判断说明；（2）由已知公式计算【小问1详解】根据对数的运算性质，有.在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即减小，所以，随着的增大，减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.【小问2详解】当时，.19、（1）；（2）【解析】（1）根据题意，由二次型不等式解集，即可求得参数的取值；（2）根据题意，不等式在上恒成立，即可求得参数范围.【详解】（1）的定义域为，即的解集为，故，解得；（2）的定义域为，即恒成立，当时，，经检验满足条件；当时，解得，综上，【点睛】本题考查由函