2025年高考数学一轮复习：课时作业四十九 利用空间向量研究夹角问题

四十九利用空间向量研究夹角问题

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分）已知向量m,n分别是直线I和平面a的方向向量和法向量，若COS<AM,〃>=

手,则/与a所成的角为（）

A.30°B,60°C.120°D.150°

【解析】选B.由于cos<也所以<也〃>=30。,所以直线I与a所成的角为

60°.

2.（5分）在正方体ABCD-ABCQi中乃是CXDX的中点，则异面直线DE与AC所

成角的余弦值为（）

,10,20。20,10

【解析】选D.建立如图空间直角坐标系D-xyz,

B

X

设N=1则41,0,0),

C(O,l,O),E(O,f,l),

贝1L4C=(-1,1,O),DE=(O,2，1),

设异面直线DE与AC所成的角为0,

则COS0=|cOS<XC,5E>|=^y.

3.(5分)在空间直角坐标系。研z中下=(1,-1,0),同=(-2,0,1),平面a的一个法向量

为机=(-1,0,1),则平面a与平面ABC夹角的正弦值为()

A.fB,^egD.唱

6644

【解析】选A.设平面ABC的法向量为〃=(可/),则［翼°=：-2=°令产1,

n-BC=-2x+z=0

得〃=(1,1,2),

令平面a与平面ABC的夹角为6,

则cosgeos”,〃十靠［晨停

singjl.cc^eT，所以平面«与平面4BC夹角的正弦值为厚.

4.(5分)在四棱锥R/5C7)中，尸4,底面45cA底面/5C7)是边长为1的正方

形〃P=2,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为()

A至B-C妇D理

A.5口333

【解析】选B.以/54CUP所在直线分别为x轴J轴2轴，建立空间直角坐标系,

如图，

z,

则5(1,O,O),C(1,1,0),D(0,l,0),P(0,0,2),

所以PD=(0,1,-2),。C=(1,0,O),PB=(1,0,-2),

设平面PCD的一个法向量为〃=（%$/）,

=y-2z=0

则

■n=x=0

令z=l彳导”=(0,2,1),

设直线PB与平面PCD所成角为0,

则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为

—>\PB-n\I-212

sm外卡丽

5.（5分）如图，在长方体450/向GA中）5=50=1441=2,体对角线3浦与平面

45G交于E点，则AiE与平面W41AZ）所成角的余弦值为（）

A.|B9C.|婕

【解析】选D.如图，建立空间直角坐标系,

A3=(0』,-2),4]C「(-1,1,0),

设平面45G的法向量为机=(xy,z),

A^B-m=y-2z=0

则

,

A1C1-m=-x+y=0

令z=l,则产2,x=2,所以机=(2,2,1),

西=(1,1,2),因为点E在BQ上，

设族=7西=(丸),24),所以所1么,2加2),

因为4£u平面45G,所以萃切=0,即(九142加2>(2,2,1尸0,

易得平面的一个法向量为〃=(0,1,0),

设4E与平面AA}DXD所成角为a,

A^E-n

所以sina=-

\\E\\n\

所以cosa=1l.sin―

6.（5分X多选题）如图石尸是直三棱柱/3C4出G棱AC上的两个不同的动

点HC=5C=CGHCa5C,则()

A.5GJ_平面与成7

B.若EF为定长，则三棱锥A「BiEF的体积为定值

C.直线55与平面5环所成角为3

D.平面44Agi，平面5麻

【解析】选AB.由题可知，平面与即即平面5/C

以C为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,

设4。=1,由题可知：4(1,0,0),。(0,0,0),吕(0,1,1),5(0,1,0),G(0,01),

设4B中点为。，则。募,0),

由题可知CDJ_平面

即而=图0)为平面AlABB1的一个法向量，

又府=(1,0,0),西=(0,1,1),

设平面B}AC的法向量为〃=。,丁/),

rJn-CA=%=0

AmJi,——>,

]n-CB1=y+z=0

取产1,则w=(0,l,-l).

对于A,由于万G=(0,-l,l),则万[〃〃，

故5Q±平面B[EF,b正确；

对于B,若EF为定长，由于用到直线EF的距离即为B1到直线4。的距离，也为

定值，于是△与川的面积为定值，又4到平面B}EF的距离即为小到平面B、AC

的距离，为定值，则三棱锥4多所的体积为定值，故B正确；

_、两加

对于C,由于BB〔=(0,0,l),所以直线BB1与平面B】EF所成角的正弦值为一=

,故直线BBl与平面B.EF所成角为，故C错误；

1X0Z4

对于D,而•〃=!#),故平面AMBBi与平面丛历不垂直,D错误.

7.(5分)若直线1的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。,则直线/与平面

a所成的角为.

【解析】设直线I与平面a所成的角为0,

1

则sin8=|cos120°|=^.

又因为0区比90。,所以8=30。.

答案：30。

8.(5分)正方体中，直线5G与平面力山。所成角的正弦值

是

【解析】如图，以D/QCQA所在直线分别为x轴，歹轴/轴建立空间直角坐标

系，设正方体的棱长为1,

贝1M(l,0,0),3(l,l,0),G(0,l,l),

易证西是平面A.BD的一个法向量.

4c「(-1,1,1),BC「G1,0,1).

---->----»1+1^/6

cos<4C],BC]>一8….

所以直线BCi与平面力小。所成角的正弦值为

冬奈•理

口木,3

9.(5分)正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面

ABD所成角的正弦值为.

【解析】取3。的中点。，连接4QDO,建立如图所示的空间直角坐标系.设

BC=l,

3

则40o),c(o,1,ojAf,o,o),

-10y

设平面ABD的法向量为〃=(%,3),

3

riV八

n-BA=0-y+-z=0

则，所以

n-BD=0J31八

Tx+2y=°

取X=l,

则尸-G，2=1,所以n=(l,-y/3,l),

A/30

所以C0S<〃，方〉|嘘x,唱,

因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为雷.

冬案•亚

口木.5

10.（10分）如图,三棱柱45C451G中44」底面ABC）B=AC,D是BC的中点.

⑴求证，平面440；

⑵若NA4C=90"C=4,三棱柱/5CZ向G的体积是园区求异面直线/Q和

ABX所成的角的余弦值.

【解析】⑴因为44」底面"J所以

又AB=ACQ是BC的中点，所以BCLAD,

因为力41%4。=4所以3。，平面AXAD.

【解析】（2）因为/氏4。=90。〃3=4。,5。=4,

11

所以AB—AC=2yf2,S^BC^AB

因为三棱柱/5C-451cl的体积是8^/3,

所以SA^8C//I=4,4=8<\/^,解得

以A为原点所在直线为x轴HC所在直线为歹轴所在直线为z轴，建立

空间直角坐标系，

则D(V2,A/2,0)^(0,0,0),51(2A/2,0,273),

4(0,0,2®

A、D=d，也,-2乖),AB,02\侬),

设异面直线所成角为0,

瓯•萃18V5

则cos4

画「砧|A/16A/205•

11.（10分）如图是圆的直径垂直于圆所在的平面，。是圆上的点.

⑴求证:平面P4CLL平面PBC-

（2）若45=240=1,尸力=1,求平面CPB与平面APB所成夹角的余弦值.

【解析】（1）由45是圆的直径彳导4C_L5C

由PA垂直于圆所在的平面，

得为，平面/5C

由BCu平面4BC,得PA±BC.

又，尸4u平面P4a4Cu平面/MC,所以5C_L平面PAC.

又因为BCu平面PBC,

根据面面垂直判定定理得平面平面PBC.

⑵过点。作CM〃在,由⑴知平面力5C

如图所示，

以点c为坐标原点，分别以直线CB,CA,CM为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

在RtA^5C中〃5=24。=1,所以BC=p

又PA=1，所以4(0,1,0),5(通0,0),尸(0,1,1),

故而二(逆,0,0),而=(0,1,1),同=(31,0),Q=(0,0,1).

设平面CPB的法向量为“1=(X1,九zi),

%•而=0'=0

则，，所以

•而=0y+z=°’

lnl11

不妨令4=1,则zi=-1,故w1=(0,1,-1).

Ti.ylB—0

设平面APB的法向量为“2=(X2g/2),由，23，，同理可得"2=(1,平,0).

—U

不日I7叫为木V6

于是|COS<〃1,〃2>|一嬴九22「2522一1

lnilln2l^0+1+（-1）xjl/+（逆）+04

所以平面CPB与平面APB所成夹角的余弦值为连

【能力提升练】

12.（5分）（多选题）如图所示，在棱长为2的正方体/38-45GA中，点E尸分别

是棱5C,CG的中点，则（）

A.A1D±AF

B.DjC与平面AEF所成角的正弦值为』

1

C.二面角A-EF-C的余弦值为§

D.平面AEF截正方体所得的截面周长为2寻3"

【解析】选BD.由题意知所以4Q_L4/错误，故A错误;

以点D为原点，分别以DAQCQDT所在直线为xyz轴，建立空间直角坐标系,

贝！。1(002),£(1,2,0),尸(0,2,1)〃(2,0,0),C(0,2,0),

则CDI=(0,-2,2)/E=(-120)/F=(-2,2,1),

设平面AEF的法向量〃=(xy,z),

m.i[n-AE=-x+2y=0

则｛~ATQIQIN

n-AF=-2x+2y+z=0

令x=2,则“=(2,1,2),

设功。与平面AEF所成角为0,

___,|西•叫A/2__

则sin叙的y为吟工；丁京2升,故B正确；

易得平面CM的一个法向量为片(0,1,0),

mn11

cos<m.n>=---=---7==^.

|m|-|n|1x7^3

1

所以二面角A-EF-C的余弦值为故C错误；

因为瓦方分别是棱5C,CG的中点，所以EF//BC,,

因为ADX//BQ,即EF//ADX,

所以平面AEF截正方体所得截面为四边形EFD.A,

因为正方体的棱长为2,所以AD1=2^/2,EF=72^4E^D1F=A/4TT=A/5,

所以平面4屏截正方体的截面周长为2"+3",

故D正确.

13.(5分)手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、

智、体、美、劳等方面得到全面发展,某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮

的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观

图如图所示出产"尸=2”〃5臼1=240=4,尸,。分别是棱/民尸

的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是_________.

【解析】如图，以D为坐标原点,04所在直线为x轴,QC所在直线为y轴QA所

在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

因为&F=BiF=2"MB=AAi=2AD=4,

所以口2,2,0),。(0,3,5),<2,4,2),M2,1,5),

所以而=(-2,1,5),而=(0,-3,3),

UL、一>——>PQ-J1N122715

所以cos<PQ,MN>-丽丽-闻15，

因为异面直线PQ与〃N所成角为锐角，所以异面直线PQ与所成角的余弦

日2々15

值

正15,

2声

口木・15

14.（10分）（2023•全国甲卷）在三棱柱48C-451G中44i=24CJ_底面48C,

N力。8=90。4到平面BCCB的距离为1.

(1)求证:4C=4C;

(2)若直线AA.与BB］距离为2,求AB、与平面5CC出所成角的正弦值

【解析】⑴如图，

GBl

因为4CJ_底面48C,3Cu平面ABC,

所以4CL3C,又3CUC4cMet平面4CG44cn/c=。,

所以5cL平面4CG4.

又5Cu平面BCCM

所以平面4CG4_L平面BCCM

过4作4。，CG交CG于O,

又平面4。。“平面3CG5i=CG4Ou平面ACCXAX,

所以小平面5C