2023年高三数学一轮复习：定积分与微积分的基本定理

第十四节定积分与微积分基本定理

［备考方向要明了］

考什么怎么考

1.考察形式多为选择题或填空题.

1.理解定积分的实际背景，理2.考察简朴定积分的求解.如2023年江西T11等.

解定积分的基本思想,理解定3.考察曲边梯形面积的求解.如2023年湖北T3,山东T15,

积分的概念.上海T13等.

2.理解微积分基本定理的含义.4.与几何概型相结合考察.如2023年福建T6等.

4.与几何概型相结合考察.如2023年福建T6等.

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［核的•知谓整合］

1.定积分

(1)定积分的有关概念

在f(x)dx中，a,b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,b］叫做积分区间，f(x)叫做被

积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.

(2)定积分的几何意义

①当函数f(x)在区间［a,b］上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x=a,

x=b(aWb),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).

②一般状况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于X轴、曲线f(x)以及直线*=%X

=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区

间上的积分值，在X轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.

(3)定积分的基本性质

①fakf(x}dx—kfg/lx-ldx.

②f-a)±6(x)ldx=/舫(x)A土/底(x)dx

③f纽x)dx=/犹x)(k+/纽x)ck.

［探究］1.若积分变量为t,则f(x)dx与f(t)dt与否相等？

提醒:相等.

2.一种函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗？

提醒:一种函数日勺导数是唯一日勺,而导函数日勺原函数则有无穷多种,这些原函数之间都相

差一种常数,在运用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数日勺一种原函数即可,并且

一般使用不含常数日勺原函数,这样有助于计算.

3.定积分［f(x)—g(x)］dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？

提醒：由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成日勺曲边梯形日勺面积.

2.微积分基本定理

假如f(x)是区间［a,b］上的持续函数，并且F'(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)—F(a),这个

结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿一莱布尼兹公式.

为了以便,常把F(b)—F(a)记成F(x),即

f(x)dx=F(x)=F(b)—F(a).

［自测・牛万小被J

1./£心等于()

A.21n2B.-21n2

C.-In2D.In2

解析:选Ddx=lnx=ln4—ln2=ln2.

2.(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)=t2—1+2,质点作直线运动,

则此物体在时间［1,2］内的位移为()

解析:选AS=（t2—t+2）dt==.

3.（教材习题改编）直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的I曲边梯形於I面积为

解析：x2dx=x3=

答案：I

4.（教材改编题）dx=.

解析：由定积分日勺几何意义可知，dx表达单位圆x2+y2=l在第一象限内部分日勺

面积,因此

f(f\l1—x2dx=^n.

答案：n

5.由曲线丫=，直线y=—x+所围成的封闭图形的面积为.

解析：作出图象如图所示.解方程组可得交点为A,B,因此阴影部分的面积,

答案：一21n2

运用微积分基本定理求定积分

［例1］运用微积分基本定理求下列定积分:

(1)fi(x2+2x+l)dx；(2)f3(sin%—cosx)dx；

(3)fox(x+l)dx；(4)f彳(。2*+jdx

71

2•2^J

(5)Qsin2ti^.

1Q

［自主解答］(1)f\(X2+2X+l)dx=f彳x2dx+fi2xdx+fildx=yli+x2|彳+x|彳=于

(2)fo(sin%—cosx)dx

=j§sinxdx-fgeosxdx

=(—cosx)|Lsinx|6=2.

⑶fQX(X+l)dx=fa(f+x)dx

=fox2dx+f笈dx=¥lo+^x2Io

=(JX23-0)+(JX22-0)=^.

(4)ft^e2x+^dr=fie2xdx+fi^dr

~2e2xlt+lnx|i=^e4—^e2+ln2—In1

=^e4—^e2+ln2.

_1y1.(—三1兀一2

~2Xo—2sin龙o~4~2~~4~,

［方法•规律］________________________________

求定积分日勺一般环节

计算某些简朴的定积分,解题的环节是：

(1)把被积函数变形为累函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积时和或差;

(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;

(3)分别用求导公式找到一种对应的原函数；

(4)运用牛顿―莱布尼兹公式求出各个定积分的值;

(5)计算原始定积分时值.

■式训练

1.求下列定积分：

(1)fok—l|ir；

(2)J571-sin2尤dx

解:(l)|x—1|=

故fo|x—l|dx=fo(l—x)dx+fi(x-l)dx

0B+f

(2)J.^/T--sin2xdx

g|sinx-cosx|dx=J(cos%—sinx)dx+\(sinx-cosx)dx

=(sinx+cosx)Q+(—cosx-sinx)\

=y［2—1+(—1+也)—2吸—2.

运用定积分日勺几何意义求定积分

［例2］f~x1+2xdx=.

［自主解答］dx表达y=与x=0,x=l及y=0所围成的图形的面积.

由y=得(x—l)2+y2=l(y^0),

又YOWxWl,

.♦.y=与x=0,x=l及y=0所围成的I图形为个圆，其面积为.

/.foyJ~x2+2xdx=^.

在本例中，变化积分上限,求dx时值.

解：dx表达圆(x—l)2+y2=1在第一象限内部分日勺面积,即半圆日勺面积,因此

f耳—/+2xdr

［方法•规律］________________________________

运用几何意义求定积分日勺措施

(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分.

(2)运用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.

II喳式训练

2.(2023,福建模拟)已知函数f(x)=(cost-sint)dt(x>0),则f(x)%)最大值为.

解析：由于f(x)=sindt

=A/2COS(J-|6=V2cos(j-xj—V2cos

=sinx+cosx—1=sin一1《—1,

当且仅当sin=1时，等号成立.

答案：一1

运用定积分求平面图形日勺面积

raasl

［例3］(2023•山东高考)由曲线y=,直线y=x—2及y轴所围成日勺图形日勺面积为

)

A.B.4

C.D.6

［自主解答］由y=及丫=*—2可得，*=4,即两曲线交于点(4,2).由定积分日勺几何意

义可知，由y=及y=x-2及y轴所围成日勺封闭图形面积为

［答案］C

若将“y=x—2”改为“y=—x+2"，将“y轴”改为“x轴”，怎样求解？

解：如图所示，由y=及y=-x+2可得x=l.由定积分欧I几何意义可知，由y=,

y=-x+2及x轴所围成的I封闭图形的I面积为f(x)dx=dx+(―x+2)dx=x+

7

6-

［方法.规律］________________________________

运用定积分求曲边梯形面积日勺环节

(1)画出曲线的草图.

(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限.

(3)将“曲边梯形”的面积表达成若干个定积分附和或差.

(4)计算定积分，写出答案.

||曜式训练

3.(2023•郑州模拟)如图，曲线y=x2和直线x=0,x=l,y=所围成的I

图形(阴影部分)的面积为()

A.|B.|

C-2D4

解析:选D由=x=或

%=一(舍),因此阴影部分面积

2

1

=不

定积分在物理中日勺应用

［例4］列车以72km/h日勺速度行驶，当制动时列车获得加速度a=-0.4m/s2,问列车应

在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？

［自主解答］a=—0.4m/s2,v0=72km/h=20m/s.

设ts后口勺速度为v,则v=20—0.4t.

令v=0,即20-0.4t=0得t=50(s).

设列车由开始制动到停止所走过的旅程为s,

贝，］s=f*。由=fo°(2O—0.4f)d?

=(20t~0.2t2)|§°

=20X50-0.2X502=500(m),

即列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动.

［方法,规律］_____________________________

1.变速直线运动问题

假如做变速直线运动的物体的速度v有关时间t的函数是v=v(t)(v(t)20),那么物体从

时刻t=a到t=b所通过的旅程为v(t)dt；假如做变速直线运动的物体的速度v有关时间

t的函数是v=v(t)(v(t)W0),那么物体从时亥Ut=a至!Jt=b所通过的旅程为一v(t)dt.

2.变力做功问题

物体在变力F(x)的作用下,沿与力F(x)相似方向从x=a到x=b所做的功为F(x)dx.

式训练

4.一物体在力F(x)=(单位：N肥作用下沿与力F(x)相似的方向运动了4米，力F(x)做

功为()

A.44JB.46J

C.48JD.50J

解析:选B力F(x)做功为10dx+(3x+4)dx

=10x|3+(1

=20+26=46.

［通法-----归纳领悟］

1个定理——微积分基本定理

由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是

互为逆运算.

3条性质---定积分的I性质

(1)常数可提到积分号外；

(2)和差的积分等于积分的和差；

(3)积分可分段进行.

3个注意一定积分的计算应注意的问题

(1)若积分式子中有几种不一样的参数,则必须分清谁是积分变量；

(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不不大于积分下限；

(3)面积非负.而定积分的成果可认为负.

鸵科醒常国鹿胸曾囹酱为阅圃O施筋寤端图蠡隐碗

易误警示——运用定积分求平面图形日勺面积日勺易错点

［典例］(2023■上海高考)已知函数y=f(x)日勺图象是折线段ABC,其中A(0,0),B,

C(l,0).函数y=xf(x)(0WxWl)日勺图象与x轴围成日勺图形日勺面积为

［解析］由题意可得

flOx,OWxW或

危尸1

[10—10%,

lOx2,(XW^,

1

{10x~IO%2,

1f^10；

与x轴围成图形日勺面积为J女lO^ckd-j\错误!未找到引用源。(10x—10j(2)dx=~^'x3o

2

十(5f—冬3)］错误!未找到引用源。=1

［答案］|

［易误辨析］

1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误.

2.本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何时有关知识和运算能力不

够致错.

3.处理运用定积分求平面图形的面积问题时,应处理好如下两个问题：

(1)熟悉常见曲线，可以对的作出图形，求出曲线交点，必要时能对的分割图形；

(2)精确确定被积函数和积分变量.

［变式训练］

1.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为()

11

A.适B，4

解析:选A由得x=0或x=l,由图易知封闭图形日勺面积=(x2—x3)dx=

2.(2023•山东高考)设a>0.若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,

则a=.

解析：由题意dx=a2.

又'=，即x=a2,

2-4

即行〃2=片.因止匕

4

答案：g

二演

一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)

1+lnx

i.n-•dx=()

A.Inx+ln2xB.-1

c.|

解析:选Cdx=

2.(2023•湖北高考)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的I面

C.|c兀

D.1

解析:选B由题中图象易知f(x)=—x2+l,则所求面积为2(—x2+l)dx=2

3.设函数f(x)=ax2+b(aW0),若f(x)dx=3f(xO),则xO等于()

A.±1B.

C.±D.2

解析：选Cf(x)dx=(ax2+b)dx==9a+3b,

则9a+3b=3(ax+b),

即x=3,xO=±.

4.设f(x)=贝Uf(x)dx=()

A.|B.1

C.D.不存在

解析：选C如图.

fij(x)dx=f3dx+fi(2—x)dx

=|+(4-2-2+1)

_5

=6,

5.以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v=40—10t2,则此物体到达最高

时时高度为（）

人160

A.^-m

「2°

D.4m

角翠析:选Av=40-10t2=0,t=2,(40-10t2)dt

==40X2—X8=（m）.

6.（2023•青岛模拟）由直线x=—,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的I封闭图形的I

面积为（）

A.B.1

解析：选D结合函数图象可得所求日勺面积是定积分cosxdx=

二、填空题（本大题共3小题,每题5分，共15分）

7.设a=sinxdx,则曲线y=f（x）=xax+ax—2在点（1,f（l））处的J切线的I斜率为

角星析：".'a=sinxdx=(-cosx)=2,

：.y=x-2x+2x~2.

：.yf=2%+»2Hn2+2.

・••曲线在点(1,f(1))处日勺切线日勺斜率k=y，|x=l=4+21n2.

答案:4+21n2

8.在等比数列｛an｝中，首项al=,a4=(l+2x)dx,则该数列的I前5项之和S5等于

解析：a4=(l+2x)dx=(x+x2)=18,由于数列｛an｝是等比数列，故18=q3,解

得q=3,因此S5==.

左安—242

*R"木：3

9.(2023,孝感模拟)已知，则当(cosx-sinx)dx取最大值时,a=.

角星析：(cosx—sinx)dx=(sinx+cosx)

=sintz+cosa-l

=sin—1,

Vae,・,.当@=时，sin-1取最大值.

宏口木案.-4

三、解答题(本大题共3小题,每题12分,共36分)

10.计算下列定积分：

71

(1)Jsin2xdx；

(2)/依+打切

⑶也.

解：⑴sin2xdx=dx

=SX-4sin2x)o

=Qx2+2x+lnxjg

=©+6+ln3)-(2+4+ln2)

993

=5+ln3—In2=2+1115.

111.1

(3)j0e2A'dx=2e2x0=2e-2-

11.如图所示，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等日勺两部分,

求k日勺值.

解:抛物线y=x—x2与x轴两交点日勺横坐标为xl=0,x2=l,

因此，抛物线与X轴所围图形日勺面积

S=/"一/曲=仔-£)|o=1.

\yx,

又，.

[ykxt

由此可得,抛物线y=x—x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=l—k,因此,

oc

--

2o~k(x~x2~kx)dx

又知S=，因此(l—k)3=,

汨

于是

k—l~2-

12.如图，设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动，直线0P与曲线y=x2围成

图形日勺面积为S1,直线0P与曲线y=x2及直线x=2围成图形日勺面积为S2,若S1=S2,

求点P日勺坐标.

解:设直线0P日勺方程为y=kx,点P日勺坐标为(x,y),

则(kx—x2)dx=(x2—kx)dx,

即=,

解得kx2-x3=-2k-,

解得k=,即直线OPH勺方程为y=x,因此点P□勺坐标为.

教师备选题供做师备裸透用

w/(ms-I)

1.一物体做变速直线运动,其v—t曲线如图所示,则该物体在