湖南省邵阳市某中学2023-2024学年高三年级上册期末考试数学试题

绝密★启用前

冲刺2023年高考数学真题重组卷01

新高考地区专用（原卷版）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（2022年高考北京卷）己知全集"={目—3<x<3},集合A={x|—2<x<l},则（）

A.（-2,1]B.（-3,-2）U[l,3）C.[-2,1）D.（-3,-2]l（l,3）

2.（2022年高考全国乙卷）已知z=l—2i,且z+〃z+6=0,其中。/为实数，则（）

A.a=l,b=—2B.a——1,Z?=2C.a=l,b=2D.a——1,Z?=—2

3.（2022年全国高考全国H）已知向量a=（3,4）,b=（l,0）,C=〃+必，若,贝廿=（）

A.-6B.-5C.5D.6

4.（2022年高考天津卷）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，

直三棱柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

A.23B.24C.26D.27

5.（2021年高考全国甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

6.（2022年高考天津卷）己知/（x）=；sin2x,关于该函数有下列四个说法:

①/（%）的最小正周期为2兀；

②/⑺在-储上单调递增;

③当工£——时,/（X）的取值范围为

④/（%）的图象可由g（x）=；sin（2x+：7T

的图象向左平移一个单位长度得到.

8

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2022年高考全国I卷）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36兀，

且3〈/<3百，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

\81]「2781]「2764]…

A.18o,—B.—,—C.—,—D.118,271

_4JL44JL43JL」

8.（2022年高考全国I卷）设a=0.1e°」,b=t，c=—ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2022年高考全国I卷）已知正方体ABC。-则（）

A.直线3。与。4所成的角为90°B.直线8C]与CA所成的角为90°

C.直线5cl与平面5与2。所成的角为45。D.直线3。与平面ABCD所成的角为45。

10.（2022年高考全国n卷）若满足/+/一孙=1,贝I」（）

A.x+y<1B.x+y>-2C.x2+y2<2D.x2+y2>1

11.（2022年高考全国II卷）已知。为坐标原点，过抛物线C：V=2Px（p>0）焦点F的直线与。交于A,

8两点，其中A在第一象限，点〃（p,0）,若目=|40，则（）

A.直线A3的斜率为2«B.|OB|=|OF|

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<1SQ°

12.（2022年高考全国I卷）已知函数及其导函数/'（x）的定义域均为R,记g（x）=/'（x）,若

g（2+x）均为偶函数，贝U（）

A./（O）=OB.gf-|]=OC./（-l）=/（4）D.g（T）=g（2）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2021年高考天津卷）在的展开式中,X6的系数是.

14.（2022年高考全国n卷）设点4-2,3）,5（0,a）,若直线A3关于y=a对称的直线与圆

（x+3）2+（y+2）2=1有公共点，则a的取值范围是.

15.（2021年高考全国新高考n卷）已知函数/（%）=——1|,龙1<0,W>0，函数/（%）的图象在点

A（XP/（%!））和点3（%,/（々））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于Af,N两点,则取值范围是

V2V21

16.（2022年高考全国I卷）已知椭圆C:一十4=1（。〉匕〉0）,。的上顶点为4,两个焦率为一.过片

ab2

且垂直于A&的直线与C交于D,E两点，|。目=6,则VADE的周长是心，离心.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

fC11

17.（2022年高考全国I卷）记S,为数列｛4｝的前〃项和，已知%=1,｛乏｝是公差为4的等差数列.

[anJ3

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）证明：—+—++—<2.

18.（2020年高考浙江卷）在锐角4ABe中，角A,5c的对边分别为a,0,c,且2加inA-岛=0.

（I）求角8的大小；

（II）求cosA+cos5+cosC的取值范围.

19.（2021年高考全国乙卷）如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，。£>，底面458,。。=。。=1,加

为的中点，且？BLA".

（1）求BC；

（2）求二面角A—RW—5的正弦值.

20.（2022年高考北京卷）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以

上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛

成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；

（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

21.（2021年高考全国I卷）在平面直角坐标系中，已知点与「Ji万,0）、鸟（J万,峥|=2,

点M的轨迹为C.

（1）求。的方程；

⑵设点T在直线x=g上，过T的两条直线分别交C于A8两点和两点，5.|Z4|-|7B|=|7P|-|712|,

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22.（2020年高考全国新课标I卷）已知函数/（X）=e“+融2一1.

（1）当〃=1时，讨论/（%）的单调性；

（2）当时，/（x）＞|x3+l,求a的取值范围.

冲刺2023年高考数学真题重组卷01

新高考地区专用（解析版）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.D【解析】利用补集的定义可得正确的选项.

【详解】由补集定义可知：24=何—3<x«—2或l<x<3},即6A=(—3,—2]j(l,3),

故选：D.

2.A【解析】先算出3,再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z=l—2i

z+az+Z?=1~2i+a(l+2i)+Z?=(l+a+Z?)+(2a-2)i

由z+o1+〃=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等,

l+a+b=Q。=1

得4即《

2a—2=0b=-2

故选：A

3.C【解析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：c=(3+f,4),cos(a,c)=cos仅,c)，即9+：,6==1,解得(=5,

故选：C

4.D【解析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.

【详解】该几何体由直三棱柱AED-及直三棱柱DGC-AEB组成，作于"，如图,

因为CH=BH=3,NCHB=120。,所以CM=BM=—,HM=-,

22

因为重叠后的底面为正方形，所以AB=3C=3百，

在直棱柱AED—中，平面则

由AB3。=3可得功0，平面40。8,

设重叠后的EG与FH交点为/,

则*.=93昌33；=斗,匕》壮=933936=日

-

J乙乙乙乙i

则该几何体的体积为V=2V„-Vm=2x7-T=27.

故选：D.

5.C【解析】将4个1和2个。随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

2个0相邻，则有C；=5种排法，若2个0不相邻，则有C；=10种排法，

102

所以2个0不相邻的概率为-----=

5+103

故选：C.

6.A【解析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假.

127r

【详解】因为〃x)=5sin2x,所以〃龙)的最小正周期为丁=三=兀，①不正确;

Ac兀71兀711•,71兀rdLt、rr(\九TTTT

t=2xG—,一,而,=-sin，在—,一上递培，所以/(%)在—4%上单调递增，②正确

2222/

712兀!

因为％=2%w——,——,sinZG-,所以〃x)e,③不正确;

33一彳，5

由于g(x)=gsinf2%+—兀|=—sin2|x+—兀,所以/(%)的图象可由g(x)=gsin［2x+；］的图象向

428

7T

右平移一个单位长度得到，④不正确.

8

故选：A.

7.C【解析】设正四棱锥的高为/?,由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定

正四棱锥体积的取值范围.

【详解】「球的体积为36兀，所以球的半径H=3,

2a

［方法一］:导数法

设正四棱锥的底面边长为2。，高为h,

贝|“2=2/+*,32=2a2+（3_介）2,

所以6/z=尸,2a1=I2—h2

2

117//I

2

所以正四棱锥的体积V=—S〃=—x4a2x/z=—XI——X—二

33336J6MV

1（户、1/24-2、

所以V'=±4/3--

916J9I6J

当3〈/<2指时，U>0,当2c</W3百时，V'<Q,

所以当/=2«时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为竺，

3

又/=3时，V=—,1=3^/3时，V=—,

44

所以正四棱锥的体积V的最小值为‘，

4

所以该正四棱锥体积的取值范围是「工，处.

_43一

故选：C.

[方法二]:基本不等式法

L—]3

由方法一故所以V=丸=2(6/2—丸2)力=[12—2丸)丸又让><(12-2")+'+'=竺(当且仅当

33V'3V3[3J3

〃=4取到)，

当〃4时，得”学，则嗑+"j第>1=7

当/=3有时，球心在正四棱锥高线上，此时//=2+3=2,

22

正四棱锥体积匕=!。2丸=!]福；

x2=3故该正四棱锥体积的取

243

2764

值范围是

T'T

8.C【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)—x,导数判断其单调性，由此确定a,仇。的大小.

【详解】方法一：构造法

1Y

设/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为f'(x)=-----1=--——，

当xe(—1,0)时，/,(%)>0,当xe(0,+oo)时/(x)<0,

所以函数/(x)=In(1+x)—%在(0,+8)单调递减，在(—1,0)上单调递增，

所以/[3]</(°)=0,所以山T―g<0,故g>lnT=—ln0.9,即Z?>c,

(1AQ1Q_±1±1

所以/一上</(°)=°，所以In二+—<°，故二<ei0，所以一ei°<—，

I10JV7101010109

故

[(x2—l)ex+1

设g(%)二+ln(l-x)(0<x<1),贝Ig'(x)=(x+l)ex+----=-----------

x—1x—1

令力(％)=e"(d+=e"+2x-l),

当0<x〈&-1时，//(x)<0,函数/2(月=6*(必—1)+1单调递减，

当血—1<X<1时，"(x)>0,函数=+1单调递增，

又入(0)=0,

所以当o<x<J^-i时，〃(九)<0,

所以当0<x<四一1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe*+ln(l—X)单调递增，

所以g(O.l)>g(O)=O,即0.1e°」>—ln0.9,所以a〉c

故选：C.

方法二：比较法

解：a=0.Ie。」,/?=]1=-In。-0.1),

①Ina—ln/?=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=x+ln(l—X),XG(。,。」],

1—Y

则f'(x)=l-----=—L<0,

、'1-x1-x

故/(x)在(0,0可上单调递减,

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—ln/?<0,所以a<b；

②a-c=O.le°i+ln(l-0.1),

令g(x)=%e*+ln(l-x),xe(0,0.1],

贝Ug'(x)=xe，+L

、'e--1---x=----1---x----,

令Mx)=(l+x)(l—x)e“—1,所以k(%)=(1-％2—2x)e*>0,

所以Mx)在(0,0.1]上单调递增，可得出(切>左(0)>。，即g'(x)>o，

所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，可得g(O.l)>g(O)=O,即a—c>0,所以a〉c.故c<a<〃.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.ABD【解析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接30、BG，因为。4〃用，所以直线BQ与8。所成的角即为直线与所成的

角，

因为四边形86cle为正方形，则与C，3G，故直线BC1与所成的角为90。，A正确；

连接AC,因为A用±平面BBiqC,BCiU平面BBGC,则\BX±BC1,

因为与。，3£，4四6|C=耳，所以Be1，平面AgC,

又ACu平面4月。，所以5C1LC41，故B正确；

连接AC，设4£门四。1=。，连接80,

因为5片，平面平面A片G2,则

因为QO1用口,耳。B[B=B],所以Cp1平面BBRD,

所以NC/。为直线BC]与平面BBRD所成的角,

设正方体棱长为1,则cp=—,BCi=J5,sinZQBO=^-=-,

2BC12

所以，直线BG与平面BBQQ所成的角为30。，故C错误；

因为GCL平面ABCD,所以NC]3C为直线8C]与平面ABCD所成的角，易得/。d。=45°,故D正

确.故选：ABD

10.BC【解析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为<[等)<^-^(a,beR),由x2+y2-xy=l可变形为，

(x+y)2_]=3孙V3广；0],解得-2<x+y<2,当且仅当x=y=-l时，x+y=-2,当且仅当

x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

由必+V—肛=1可变形为+/)_1=呼<、，解得必+y2<2,当且仅当X=y=±1时取等

号，所以c正确；

|+：/=1,设x--1-=cos0,^-y=sin6>,所以

因为x2+y2-xv-l变形可得

i2521

%=cose+^rsin6,y=^rsin。,因此x2+y2=cos26^+—sin2^+-^=rsin^cos^=l+-^=sin2^-

」cos2e+L@+2sin(2，—工］/22所以当x=",y=-且时满足等式，但是V+VNI不成

3333(6)L33-3

立，所以D错误.

故选：BC.

11.ACD【解析】由|”|=|4欣|及抛物线方程求得A¥，乎]，再由斜率公式即可判断A选项；表示

(f7A

出直线A5的方程，联立抛物线求得3现，即可求出Q剧判断B选项；由抛物线的定义求出

11

\337

\AB\=答即可判断C选项；由。4・03<0,•MB<0求得ZAOB,ZAMB为钝角即可判断D选项.

【详解】对于A,易得产仁,0,由|”|=|4以|可得点A在月以的垂直平分线上，则A点横坐标为

夏If=2,代入抛物线可得y2=2p.2=3p2,则亚,®［,则直线A3的斜率为

2442（42）

aP

——=246,A正确；

3£_£

42

对于B,由斜率为2«可得直线A3的方程为》=+丁+微，联立抛物线方程得/——、夕丁—/二。,

设8（Xi，x），则当P+%

=2p-X],解得X]=g,

|0F|=1,B错误;

钝角，又/405+/4"8+/。4〃+/0郎/=360°,则NQ4"+NO6M<180°,D正确.

12.BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性

质逐项判断即可得解.

【详解】［方法一］:对称性和周期性的关系研究

对于/(%),因为/为偶函数，所以=+即①，所

3

以"3—x)=/(x),所以关于x=：对称，则/(—1)=/(4),故C正确;

对于g(x),因为g(2+尤)为偶函数，g(2+x)=g(2—x),g(4—x)=g(x),所以g(x)关于％=2对称,

由①求导，和g(x)=/'(%)

-gf|-xj=gf-j+xj,所以g(3—%)+g(x)=O,所以g(x)关于g，o］对称，因为其定义域为R,

所以gf|j=O,结合g(x)关于x=2对称，从而周期T=4xb-|j=2,所以

(2),故B正确，D错误；若函数/(九)满足题设条件，则函数

/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

［方法二］:【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知g(x)周期为2,关于x=2对称，故可设g(x)=cos(7ix),则/(x)=—sin(7ix)+c,显然A,

兀

D错误，选BC.

故选：BC.［方法三］:

因为/［g—2x］,g(2+x)均为偶函数,

所以/[9一2x]=/[g+2x）即x[=/1T+x]，g（2+x）=g（2—%），

所以〃3r）=〃x）g（4-x）=g（x）,则〃T）=〃4）,故C正确;

3

函数/(%),g(%)的图象分别关于直线x=5,x=2对称,

又g(为)=r(x),且函数“X)可导,

所以8|1^=0，8(3_》)=_且(》)，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g[_£|=g[a=O，g(T)=g⑴=_g(2)，故B正确，D错误；

若函数/(%)满足题设条件，则函数〃x)+C(。为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(%)的函数

值，故A错误.

故选：BC.

【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该

题的通性通法；

方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.160【解析】求出二项式的展开式通项，令x的指数为6即可求出.

【详解】的展开式的通项为(+]=墨(2巧61(£|=26-«.产-"，

令18—4厂=6,解得厂=3,

所以V的系数是23。；=160.

故答案为：160.

「131

14.【解析】首先求出点A关于y=a对称点A'的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直线

的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】解:4(—2,3)关于y=a对称的点的坐标为4(—2,2a—3),5(0,a)在直线y=a上，

Z7一§

所以A'B所在直线即为直线/,所以直线/为y=——x+a,即(a—3)x+2y—2a=0；

-2

圆C:(x+3y+(y+2)2=l,圆心C(—3,—2),半径r=l,

依题意圆心到直线I的距离d=「[।<1,

"3丫+22

,,、13「131

即(5—5a><(a—3)2+22,解得一<aK—,即ae；

32132_

「131

故答案为：

32

15.(0,1)【分析】结合导数的几何意义可得占+%=0,结合直线方程及两点间距离公式可得

|AM|=忸N|=Jl+e2*2.冈，化简即可得解.

1一e*,x<0/、-ex,x<0

【详解】由题意，f（x）=\ex-l\=<，贝k(x)=

ex-l,x>0''ex,x>0

所以点4（芯,1一e&）和点网出，/2-1）,左AM=一e点左BN=统，

x

所以—c''e"=—1,Xj+x0=0,

x,xxx

所以AM:y-l+e=—e'^x—x^,M(O,e'x}—e'+］),

所以|=Jx；+(e&x，~=Vl+e2'Y|•㈤，

同理忸N|=Jl+e2*忆］，

|AM|_Jl+e2x「|xJ_/l+e2x>11+e2X1

所以网=后n=］用％=4用石小e(O,l).

故答案为：（0,1）

【点睛】关键点点睛:

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件西+々=0,消去一个变量后，运算即可得解.

22

16.13【解析】利用离心率得到椭圆的方程为苏=1,BP3X2+4/-12C2=0,根据离心率得到直

线AK的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线QE的斜率，写出直线。石的方程：x=y/3y-c,代入

粗圆方程3炉+4/-12。2=0,整理化简得到：13y2—60cy—9/=0,利用弦长公式求得c=一,得

8

〃=2。=一，根据对称性将八4。石的周长转化为△gOE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4〃=13.

42

U1丫2V2

【详解】,椭圆的离心率为e=/=a,a=2c,b2=a2-c2=3c2,/.椭圆的方程为2+色=1，即

3/+4/_12。2=0,不妨设左焦点为耳，右焦点为工，如图所示，

7T

4月=小。6=°,。=2°,:./4&0=3，」.八4耳鸟为正三角形，；过耳且垂直于4层的直线与。交于

D,E两点，为线段人工的垂直平分线，，直线。石的斜率为走，斜率倒数为G，直线。石的方

3

程：x=6y—c,代入椭圆方程3/+4/—12,2=0,整理化简得到：13/-6^cy-9c2=0,

^I]^IJ^A=(6A/3C)2+4X13X9C2=62X16XC2,

*同=/+(如2|%一句=2><噂=2>6>4>5=6,

:.c=—,得o=2c=U

84

DE为线段Ag的垂直平分线，根据对称性，4。=。6,&£=%,;.44。£的周长等于^耳。£的周

长，利用椭圆的定义得到△gOE周长为

|理|+但闾+1。同=|。闾+|即|+1£)周+1环|=|£>片|+1£>闾+1环|+1%|=2«+2a=4a=13

故答案为：13.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

"（"+1）；（2）见解析【解析】（i）利用等差数列的通项公式求得&=i+』（〃-1）="2

17.(1)an

2%33

n+2\a("+2)/仇+1)ai

得至坞=--L^L,利用和与项的关系得到当“22时，an=Sn-S,i上，进而

33

得：&="1,利用累乘法求得4n（n+］）

12,检验对于"=1也成立，得到｛4｝的通项公式

a“_in-1

n(n+\\

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到工+工+1

+—=2|1-,进而证得.

anIn+1

v

【详解】(1),,6=1,S]=%=1,「.’=1,

ax

Q1

又'是公差为一的等差数列，

bJ3

.•巴=1+4—1)=9,.6=("2M

V7

an333

.•.当“22时，S“1=5+1)%,

3

e_(〃+2)4(〃+l)a..i

dn-l_

整理得：(〃-1)为二(〃+1)4T，

即

/-i〃T

Qadn_\1

an—x—x...x—x——

a\a2an-2an-\

134nn+ln(n+l)

=IX—X—X...X-----------X-----------=------------

I2n—2n—l2

显然对于〃二I也成立，

/,{«„}的通项公式an="：+l)；

2I

⑵—=

〃(〃+1)n+l

兀'6+13一

18.(I)B=_；(II)【解析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角

32'5

的三角函数值即可确定角B的大小；

（II）方法二：结合（I）的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角

形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cosA+cosB+cosC的取值范围.

【详解】（I）

［方法一］:余弦定理

2_3a2宜

由2bsinA-6a,得sin2A=即I—COS2A=

*2_2

结合余弦定cosA=:，

2bc

।（b2+c2-a2\3a2

I2bc）4b2

即4Z?2C2-b4-c4-a4-2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c2,

即a4+b4+c4+a2c2-2a2b?-2ble1=0,

即a4+Z?4+c4+2a2c2-2a2b2-2b2c2-ere1,

即（〃+c2—=（团）2,

△ABC为锐角三角形，.II+02—82>o,

a2+c~-b=etc,

所以cos5="一+小―》1

lac2

7T

又B为人钻。的一个内角，故8=—.

3

［方法二］【最优解工正弦定理边化角

由2Z?sinA=JGQ,结合正弦定理可得：2sinBsinA=J^sinA,，sinB=

2

jr

△ABC为锐角三角形，故8=2.

3

(II)［方法一］：余弦定理基本不等式

JT

因为8=—,并利用余弦定理整理得尸=I+c2—ac,

3

即3ac=(a+c)2-b2.

结合acW［旨］,得乎K2.

由临界状态(不妨取4=四)可知巴二=6.

2b

a+c

而,ABC为锐角三角形，所以>73.

b

由余弦定理得cosA+cosB+cosC="c?"十』十"十】一」

2bc22ab

222a+C

b=a+c-ac,代入化简得cosA+cos3+cosC=▲+1

2b

"A/3+13-

故cosA+cosB+cosC的取值范围是

252'

［方法二］【最优解］恒等变换三角函数性质

结合（1）的结论有:

cosA+cosB+cosC=cosA+—+cos

2

=cosA」cosA+电sinJW

sinA+-cosA+-

222222

71

=sinA+^+1

62

0<-7l-A<-

32兀,兀兀.712兀

由＜/可得:—<A<—,—<A+—<——，

兀6236一3

QC<A4<—

2

则sinA+^卜,1,sin(A+(+:13

222

即cosA+cosB+cosC的取值范围是

【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得I+02—^2=ac,

运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三

种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简

洁明快，确定为最优解.

19.（1）、份；（2）—【解析】（1）以点。为坐标原点，DA.DC、。。所在直线分别为x、外z轴建

立空间直角坐标系，设6C=2a,由已知条件得出求出a的值，即可得出的长；

（2）求出平面上4M、？8暇的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】（1）［方法一］：空间坐标系+空间向量法

平面A3CD,四边形ABCD为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA、DC、OP所在直线分别为x、

y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。-孙z,

设BC=2a,则£＞（0,0,0）、P（0,0,l）＞B（2a,l,0）＞M（a,l,0）.A（2a,0,0）,

则PB=（2a,l,-l）,AM=（-a,1,0）,

PB±AM,则=—2/+l=0,解得a=J,故BC=2a=日

2

［方法二］【最优解工几何法+相似三角形法

如图，连结应）.因为底面ABCD,且AMu底面ABC。，所以PD1.AM.

又因为PD=P,所以AM,平面PBD.

又或）u平面？BD,所以

从而ZADB+ZDAM=90°.

因为钻+NZMM=90°,所以NA4AB=NADB.

ADBA

所以△ADBsAfi4M,于是—=——.

ABBM

所以,8。2=1.所以BC=8.

2

［方法三］:几何法+三角形面积法

如图，联结应）交AM于点N.

p

由［方法二］知AM，QB.

ANDA2

在矩形ABC。中，有NDANsgMN,所以」=——=2,即AN=—AM.

MNBM3

令3。=2/。>0）,因为"为BC的中点，则®W=/,£>5=J4底+1,AM=J/+i

由Sao"=gDA-AB=gr>3-A7V,得f,解得』=g,所以BC=2f=点.

(2)［方法一］【最优解工空间坐标系+空间向量法

设平面A4M的法向量为机=(X］，X，zJ,则AM=--,1,0,AP=(-A0,l),

I2)

f6

由《211取可得加=(J5,1,2),

m-AP=—y［lxx+Z］=0

设平面的法向量为〃=(々,％，22)，3"=--,0,0=

、2)

由《22取为=1，可得〃二(。/,1)，

n•BP———%+z2=0

m-n_3_3A/14

cos（冽,〃）=

|m|-|n|V7x^214

A/70

所以，sin（九〃）=Jl-cos2（加,〃）

-7^

因此，二面角A—PM—6的正弦值为二一.

14

［方法二］:构造长方体法+等体积法

如图，构造长方体ABCD—AgGA，联结入耳，4与，交点记为H,由于AB］gJ_BC,所以

AH，平面ABC。］.过H作QM的垂线，垂足记为G.

联结AG,由三垂线定理可知AG±D}M,

故NAGH为二面角A——5的平面角.

易证四边形ABC。是边长为0的正方形，联结

=3口陷,HG,S皿HM=S正方形ABCD]—~~^MCDt

由等积法解得〃G=2叵

10

在RtZ\AHG中，AH;昱,HG=^^~,由勾股定理求得AG=叵.

2105

所以，sin/AGH=胆=叵,即二面角—5的正弦值为场.

AG1414

【整