人教版九年级数学上册专项训练：点和圆、直线和圆的位置关系（二）原卷版

第12讲点和圆、直线和圆的位置关系（二）

（重点题型方法与技巧）

目录

类型一：直线和圆的位置关系

类型二：切线的性质与判定

类型三：切线长定理

类型四：三角形的内切圆

类型一：直线和圆的位置关系

利用数量关系判断直线与圆的位置关系

（1）当图形中直线与圆的位置关系不明显时，一般不利用交点个数来判断直线与圆的位置关系，应通过比

较圆心到直线的距离与半径的大小来确定它们之间的位置关系.

（2）在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先根据已知条件求出d与r的值，再通过比较它们的大小

确定直线与圆的位置关系.

典型例题

例题1.（2022•全国•九年级课时练习）已知。。的半径为6cm,点。到直线/的距离为5cm,则直线/与。。

（）

A.相交B.相离C.相切D.相切或相交

例题2.（2022•全国•九年级课时练习）在平面直角坐标系中，以点（2,3）为圆心，3为半径的圆，一定（）

A.与x轴相切，与y轴相切B.与无轴相切，与y轴相交

C.与无轴相交，与y轴相切D.与无轴相交，与y轴相交

例题3.（2021•河北•保定市满城区白龙乡龙门中学九年级期末）已知。。与直线/无公共点，若。。直径为

10cm,则圆心O到直线I的距离可以是（）

A.6B.5C.4D.3

例题4.（2022•上海虹口•九年级期中）已知4〃4,乙、之间的距离是5cm,圆心O到直线乙的距离是2cm,

如果圆O与直线4、4有三个公共点，那么圆。的半径为cm.

例题5.（2022•山东枣庄•二模）如图，在△A5C中，AB=BC,。是AC中点，5E平分N4BO交AC于点E,

点。是上一点，。。过5、E两点，交80于点G,交于点?

（1）判断直线AC与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若仍_LBC,ED=3,求BG的长.

同类题型演练

1.（2022・江苏•九年级课时练习）如果。。的半径为6cm,圆心。到直线/的距离为d,且d=7cm,那么。0

和直线/的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

2.（2021.北京・北师大实验中学九年级期中）如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=8,以A为圆心作一个半

径为2的圆，下列结论中正确的是（）

A.点8在。A内B.点C在。A上

C.直线BC与。A相切D.直线BC与。A相离

3.（2022・上海金山•二模）在直角坐标系中，点P的坐标是（2,6）,圆尸的半径为2,下列说法正确的是（）

A.圆尸与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点

B.圆P与X轴有两个公共点，与y轴有一个公共点

c.圆尸与x轴、y轴都有两个公共点

D.圆p与x轴、y轴都没有公共点

4.（2021.河南许昌.九年级期中）已知。。的半径为4,点。到直线/的距离为d若直线/与。。的公共点

的个数为2个则d的值不能为（）

A.0B.2C.3D.5

5.（2021.浙江金华.一模）已知。。的直径为5,设圆心。到直线/的距离为d,当直线/与。。相交时，d

的取值范围是.

6.（2022•全国•九年级课时练习）如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（—3,0）,点B

（0,后），圆心P的坐标为（1,0）,圆尸与y轴相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆尸与该直

线相交时，令圆心P的横坐标为机，则机的取值范围是.

7.（2022•江苏常州•九年级期末）如图，是®。的直径，弦平分/8AC,过点。作。ELAC,垂足为

E.

（1）判断OE所在直线与®O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE=4,£0=2,求®。的半径.

8.（2022.安徽淮南.九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，OC与y轴相切，且点C的坐标为（1,

0）,直线/过点A（-1,0）,与。C相切于点。，解答下列问题：

⑴求点D的坐标;

（2）求直线/的解析式；

（3）是否存在。P,使圆心P在x轴上，且与直线/相切，与。C外切吗？如果存在请求出圆心P的坐标，如

果不存在请说明理由

类型二：切线的性质与判定

切线的判定方法一一连半径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出

经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”.

切线的判定方法二一作垂直，证半径

证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线

段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”.

典型例题

例题1.（2021•全国•九年级课时练习）如图，在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆的一个公

共点为C,且C是中点，则直线A3与小圆O的位置关系是（）

A,相离B,相切C.相交D.不能确定

例题2.（2021•全国•九年级专题练习）下列说法中错误的是（）

A,切线与圆有唯一的公共点B.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线

C.垂直于切线的直线必经过切点D.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等

例题3.（2020•广东深圳•三模）如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边CD,BC±,且NEAF=45。,

BD分别交AE,AF于点M,N,以点A为圆心，AB长为半径画弧BD.下列结论：①DE+BF=EF；

②BN2+DM2=MN2；③△AMNS/\AFE；④弧BD与EF相切；⑤EF〃MN.其中正确结论的个数是（）

例题4.（2022•全国•九年级专题练习）在下图中，是。的直径，要使得直线AT是。的切线，需要

添加的一个条件是.（写一个条件即可）

例题5.（2022•辽宁•沈阳市尚品学校九年级阶段练习）如图，ABC内接于。，A3是。的直径，过。

外一点。作£»G〃8C,0G交线段AC于点G,交A2于点E,交。于点/，连接DB,CF,ZA=ZD.

⑴求证：BD与O相切;

(2)若AE=OE,CF平分ZACB,BD=n,求£>£■的长.

同类题型演练

1.（2022・全国•九年级专题练习）如图，以点。为圆心作圆，所得的圆与直线。相切的是（）

A.以OA为半径的圆B.以08为半径的圆

C.以OC为半径的圆D.以OO为半径的圆

2.（2021.安徽•九年级专题练习）如图，已知P为OO外一点，连接OP交。。于点A,且OA=2AP,求作

直线PB,使PB与OO相切.以下是甲、乙两同学的作法.

甲：作OP的中垂线，交。。于点B,则直线PB即所求.

乙：取OP的中点M,以M为圆心、OM长为半径画弧，交。。于点B,则直线PB即所求.

对于两人的作法，下列说法正确的是（）

0.

A

A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对.

3.（2018•全国•九年级单元测试）如图，在工中，AB=CB,以A3为直径的。交AC于点O,过点C

作CFUAB,在CF上取一点£,使DE=C。，连接AE,对于下列结论：®AD=AE-,②QAs-CDE；

2

③弧2。=］弧AD；④AE为。的切线，结论一定正确的是（）

A.②③B.②④C.①②D.①③

4.（2021•全国•九年级课时练习）如图，是IO的直径，。交8c于。，DE1AC,垂足为E,请你添

加一个条件，使近是《。的切线，你所添加的条件是.

5.（2022•全国•九年级课时练习）如图，A、8是。。上的两点，AC是过A点的一条直线，如果乙4。8=120。,

那么当NCA2的度数等于度时，AC才能成为。。的切线.

6.（2022.湖南・炎陵县教研室一模）如图1,以4ABe的边A8为直径作。O,交AC于点E,连接BE,BD

平分/48E交AC于R交。。于点。，且ZBDE=NCBE.

图1图2

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)如图2,延长西交直线AB于点P,若上4=49.

PD

①求黑的值；

DE

②若DE=2,求。。的半径长.

7.(2022・广东・广州市第一中学模拟预测)如图，在AABC中，ZC=90°,D、尸是AB边上两点，以DF为

直径的。。与8C相交于点E,连接斯，ZOFE=^ZA.过点P作PGL8C于点G,交。。于点H,连接

EH.

(1)求证：BC是。。的切线;

(2)连接E。，过点E作EQL4B,垂足为0,△EQD和△EGH全等吗？若全等，请予以证明；若不全等,

请说明理由；

(3)当8。=5,BE=4时，求AEHG的面积.

类型三：切线长定理

典型例题

例题1.(2022•福建省福州铜盘中学九年级阶段练习)如图，AB.AC.50是。。的切线，切点分别为P、

C、D,若AC=3,则50的长是()

A.2.5B.2C.1.5D.1

例题2.(2022•江苏•九年级课时练习)如图，PA.PB切。于点A、B,PA=10,CO切)0于点E,交PA、

PB于C、。两点，则PCD的周长是()

A.10B.18

点评：例题2考查了切线长定理的应用，关键是求出△尸。的周长=B4+P8.

例题3.（2022•山东淄博•二模）如图，）0内切于Rt^ABC,点P、点。分别在直角边8C、斜边A3上,

PQ±AB,且PQ与。相切，若AC=2P0,贝！JsinNZ?的值为（）

例题4.（2022•山东德州•九年级期末）如图，A3、AC为。。的切线，8和C是切点，延长03到点O,使

BD=OB,连接AD,若NZMC=78。，则NAD。等于（）

例题5.（2022•全国•九年级课时练习）如图，PA,PB分别切。。于点A,B,ZP=70°,则NABO=

例题6.（2022•全国•九年级课时练习）如图，以A3为直径作°,在。上取一点C,延长A8至点O,

连接OC,ZDCB=ZDAC,过点A作AELAD交OC的延长线于点E.

⑴求证：C。是：。的切线；

⑵若CD=4,DB=2,求AE的长.

同类题型演练

1.（2022•全国•九年级专题练习）如图，在四边形ABC。中，AD3c：O是四边形A8CD的内切

圆，CZZBC分别切：。于R£两点，若AD=3,BC=6,则政的长是（）

A.3布B.—y/5

55

2.（2022•浙江•宁波市兴宁中学一模）如图，A是:。外一点，AB,4C分别与I。相切于点6,C,P是

BC上任意一点，过点P作，。的切线，交A3于点交4C于点N.若。的半径为4,ABAC=60°,则

4WN的周长为（）

A.4A/3B.8C.8石D.12

3.（2022・湖北・武汉市崇仁路中学九年级阶段练习）如图，。。与△ABC的三边分别相切于点。，E,F,连

接DE,EF.若A£>=6,BE=7,CF=8,贝！Itan/OEP的值是（）

AFC

4.（2022•浙江浙江•一模）如图，4。是。。的直径，PA,PB分别切。。于点A,B,弦当CO的

度数为126。时，则NP的度数为（）

A.54°B.55°C.63°D.64°

5.（2021・广东・广州市第二中学南沙天元学校九年级阶段练习）如图，PA,P8是。。的切线，C。切。。于

点E,△PCD的周长为12,ZAOB=120°,贝！］AB=.

6.（2022.全国•九年级专题练习）如图，42为。。的切线，B为切点，过点B作BCLOA,垂足为点E,交

。。于点C,延长CO与AB的延长线交于点Z）.

（1）求证：AC为。。的切线；

（2）若0c=2,OD=5,求线段和AC的长.

7.（2022・湖北武汉.二模）如图，出与。。相切于点A,是直径，点C在。。上，连接C8,CP,2ZB+ZP

180°.

A

D

（1）求证：PC是。。的切线;

（2）过。作O£）〃PC,交AP于点。，若AB=8,ZA0D^3Q°.求由线段以，PC及弧AC所围成阴影部分

的面积.

类型四:三角形的内切圆

有关三角形内心的常用辅助线作法，解答该类问题时一般有两种作辅助线的方法：一是连接内心与三角形

的顶点，即构建出三角形的角平分线；二是连接内心与切点得到线段垂直的位置关系，再连接内心与三角

形的顶点进而运用直角三角形的相关知识来解答.

典型例题

例题1.（2022•湖北•黄石十四中九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB=CD,ZB=60°,

AD=8A§，分别以3和C为圆心，以大于8C的长为半径作弧，两弧相交于点P和。，直线PQ与R4延长

线交于点E,连接CE,贝!|BCE的内切圆半径是（）

A.4B.4石C.2D.2布

例题2.（2022•全国•九年级专题练习）如图，ABC中，NA=80。，/是内心，则NB/C等于（）

A.120°B.130°C.150°D.160°

例题3.（2022•河北邢台•九年级期末）如图，。是AABC的内心，0Z>_L3C于点。，OD=2,若△ABC的

周长为12,则△A3c的面积是（）

A

A.12B.24C.6D.3

例题4.（2022•黑龙江•哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，点。是ABC内切圆的圆心，若ABAC=50°,

那么=______度.

例题5.（2022•湖北黄石•模拟预测）在中，ZACB=90°,且AC=5,BC=12,则该三角形内切

圆的周长是

例题6.（2022•全国•九年级单元测试）如图，ABC中，ZC=90°）0是ABC的内切圆，D,E,F是切

点.

（1）求证：四边形ODCE是正方形;

⑵如果A5=5,AC=3,求内切圆。的半径.

同类题型演练

1.（2022・湖北武汉•模拟预测）如图，。/是RdABC中的内切圆,ZACB=90,过点/作EF//AB分别交

CA,CB于E,F,若应1=4,BF=3,则。/的半径是（）

7

A.-B

2-I

2.（2022・云南大理•九年级期末）如图，。是ABC的内心，已知NA=50°,则/BOC的度数是（）

A

A.100°B.80°C.115°D.110°

3.（2022.全国•九年级课时练习）如图在放△ABC中，ZC=90°,AC=5,。。是△ABC的内切圆，半