人教版中考数学复习：二次函数的性质【九大题型】含答案

专题223二次函数的性质【九大题型】

【人教版】

＞题型梳理

【题型1根据二次函数解析式判断其性质】

【题型2根据二次函数的性质比较大小】

【题型3根据二次函数的对称性求字母的取值范围】

【题型4根据二次函数的增减性求字母的取值范围】

【题型5根据二次函数的性质求最值】

【题型6根据二次函数的最值求字母的取值范围】

【题型7由二次函数的对称性求函数值或对称轴】

【题型8待定系数法求二次函数解析式】

【题型9由二次函数的对称性求最短路径】

A举一反三

知识点1：二次函数的性质

二次函数的图象是一条抛物线.当时，抛物线开口向上；当。＜0时，抛物线开口向

下.同越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.

y=ax2y=ax2+ky=a(x-〃)2y=a(x-/z)2+ky=ax1+bx+c

b

对称轴y轴y轴x=hx=hx=--

2a

(

b4ac一b1

(0,0)(0,k)(〃，0)(h,k)

2a4a

)

顶点

。＞0时，顶点是最低点，此时y有最小值；时，顶点是最高点，此时»有

最大值.最小值（或最大值）为01或4℃一”）.

4。

x＜0（右或-§）时，y随x的增大而减小；x＞0（〃或-二）时，》随x的增

增a>

2a2a

试卷第1页，共10页

减0大而增大.即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x

性的增大而增大.

x<0（〃或-二）时，y随x的增大而增大；x>0（〃或-二）时，y随x的增

a<2a2a

大而减小.即在对称轴的左边，V随X的增大而增大；在对称轴的右边，»随X

0

的增大而减小.

【题型1根据二次函数解析式判断其性质】

[例1]（23-24九年级•河北保定•期中）

1.对于抛物线y=-2（x-l『+3,有下列四个判断：（1）抛物线的开口向下；（2）抛物线的

顶点坐标是（-1，3）；（3）对称轴为直线x=l；（4）当x=3时，y>0.其中，正确的判断个

数是（）

A.4B.3C.2D.1

【变式1-11（23-24九年级•湖南长沙•阶段练习）

2.已知二次函数了=-3/，下列说法正确的是（）

A.该函数图象经过第一、三象限

B.函数图象有最高点

C.函数图象的对称轴是直线x=

D.当x<0时，y随x的增大而减小

【变式1-2]（23-24•天津滨海新•二模）

3.已知抛物线y=-x2+l,下列结论：

①抛物线开口向上；

②抛物线与x轴交于点（-1,0）和点（1,0）；

③抛物线的对称轴是y轴；

④抛物线的顶点坐标是（0,1）；

⑤抛物线y=-x2+l是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的.

其中正确的个数有（）

A.5个B.4个C.3个

D.2个

试卷第2页，共10页

【变式1-3]（23-24•安徽宿州一模）

4.对于抛物线y=（x+3『-1有下列说法:①顶点坐标为（3,-1）；②开口方向向上;③当x>-3

时，V随x的增大减小；④与x轴有两个不同交点，其中说法正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【题型2根据二次函数的性质比较大小】

【例2】（23-24•浙江宁波•一模）

5.在平面直角坐标系xQy中，点（-1,加）和点在抛物线；；=^2+法上，若。<0,点.

（-3,%），（1,%）,（4,%）在该抛物线上.若m<",比较%，%,%,0的大小，则下列判

断正确的是（）

A.必<0<%<%B.y2<y3<0<yl

c.y3<0<y2<ylD.%<%<。<乂

【变式2-1]（23-24九年级•贵州黔东南•期末）

6.二次函数了=-2/-8尤+%的图象上有两点）（占,必）、B（x2,y2）,若再<-2<%,且

|X1+2|>|X2+2|,则（）

A.必<%B.yt>y2

C.y,=y2D.%、%的大小不确定

【变式2-2]（23-24九年级•福建漳州・期末）

7.已知点（再,%）,（工2，%），@3，%）都在二次函数-2ox-3a（“w0）的图像上，若

-1<^<0,1<^<2,^>3,则下列关于外，%,%三者的大小关系判断一定正确的是

（）

A.必可能最大，不可能最小B.%可能最大，也可能最小

C.%可能最大，不可能最小D.力不可能最大，可能最小

【变式2-31（23-24•浙江宁波•二模）

8.已知点4（再，“），B（X2,%）在抛物线y=-（x-4）2+机（加是常数）上.xx<4<x2,

占+无2>8,则下列大小比较正确的是（）

试卷第3页，共10页

A.yx>y2>mB.y2>yx>mC.m>yx>y2D.m>y2>yx

【题型3根据二次函数的对称性求字母的取值范围】

【例3】（23-24九年级•福建福州•期末）

9.已知点/（X/,以）、B（m，”）在二次函数y=x?+6x+c的图象上，当占=1,工2=3

时，%=%.若对于任意实数X/、X2都有必+为22,则C的范围是（）

A.c>5B.c>6C.c<5或c>6D.5<c<6

【变式3-11（23-24•福建莆田•一模）

10.已知点"区%）在抛物线了="-（2"/-加卜+机上，当再+工2>4且再</

时，都有必<外，则加的取值范围为（）

155

A.0<m<2B.-2<m<0C.—<m<—D.0<m<—

222

【变式3-2]（23-24九年级・北京东城•期中）

11.已知抛物线y="2+bx+c（a>0）经过42,0）,8（4,0）两点.若尸（5,"）,。（私%）是抛

物线上的两点，且％<%,则”?的取值范围是.

【变式3-3]（23-24九年级•江苏南通•阶段练习）

12.已知点/（4加+，点8。+3,〃）都在关于x的函数>=-（苫2+机m+3的图

象上，且-2<加<3,则〃的取值范围是.

【题型4根据二次函数的增减性求字母的取值范围】

【例4】（23-24・上海•模拟预测）

13.已知抛物线了=/-（2加-4）x+加2-3的对称轴在y轴右侧，当x、l时，y随x增大而增

大，若抛物线上的点纵坐标此2,则加的取值范围为

【变式4-1]（23-24九年级•浙江金华・期末）

14.已知了=-3/+（2加-l）x+l,当x>2时，了随x的增大而减小，则加的取值范围

是.

【变式4-2]（23-24九年级•吉林长春・期中）

15.对于二次函数y=/-4ox+a2+1,当xN2时，y随x的增大而增大、已知此二次函数

的图象上有一点/（1,加），则加的取值范围为.

试卷第4页，共10页

【变式4-3]（23-24・福建厦门•模拟预测）

16.抛物线了="2-2"-1过四个点（0，乂），（2,%）,（3,%）,（4,%），若%，％，力”四个

数中有且只有一个大于零，则。的取值范围为（）

111111

A.Q<—B.QN—C.—<。<一D.—<a<—

838383

【题型5根据二次函数的性质求最值】

[例5]（23-24九年级•浙江杭州•阶段练习）

17.设二次函数/="无+〃?）（x+a-左）（”0,m,先是实数），则（）

A.当左=2时，函数y的最大值为-4。B.当左=2时，函数y的最大值为-2。

C.当左=4时，函数了的最大值为-4。D.当左=4时，函数y的最大值为-2。

【变式5-1]（23-24•山东枣庄•二模）

18.点在以直线x=l为对称轴的二次函数y=/+°x+4的图象上，贝的最大值

等于.

【变式5-2]（23-24九年级•江苏南京•阶段练习）

19.若二次函数了=亦2+6x+3的最大值是5,贝!Jy=-a（x+2023）2-6（x+2023）+l的最小值

为.

【变式5-31（23-24•浙江杭州•二模）

20.已知二次函数y="+/>x+c（a*0）的图象经过点/（-4,左-2）,双-2㈤，C（2㈤.当

0W加VxV加+1时，该函数有最大值?和最小值4,贝（）

A.有最大值1B.无最大值C.有最小值工D.无最小值

2424

【题型6根据二次函数的最值求字母的取值范围】

【例6】（23-24•河北邢台•三模）

21.点/（。，4）,8（。+2也）在函数y=7+2x+3的图像上，当aWa+2时，函数的最大

值为4,最小值为4，则a的取值范围是（）

A.0<a<2B.-l<a<2C.-l<a<lD.-l<a<0

【变式6-1]（23-24•吉林长春•模拟预测）

22.已知二次函数》="2+4办-4（。>0）,当机<尤40时，函数>值的最大值为-4,则机

的取值范围_____.

试卷第5页，共10页

【变式6-2］（23-24九年级•浙江温州•期中）

23.已知二次函数y=*-2亦+2x+a-2,在04x44有最大值7,则所有满足条件的实数。

的值为.

【变式6-3］（23-24•河北石家庄•模拟预测）

24.在平面直角坐标系中，若点尸的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点.已知二次函

数y="2+4x+c（“w0）的图象上有且只有一个完美点且当OWxWm时，函数

〉=6+4工+<;-1（°片0）的最小值为-3,最大值为1,则优的取值范围是（）

797

A.-l<m<0B.2<m<4C.2<m<-D.--<m<-

222

【题型7由二次函数的对称性求函数值或对称轴】

【例7】（23-24九年级•陕西西安•期中）

25.若抛物线y=/+6x+c与x轴只有一个交点，且过点/（〃?/）,贝U〃的值

为（）

A.1B.2C.4D.8

【变式7-1］（23-24九年级•福建龙岩•阶段练习）

26.抛物线>=--2》+加与x轴的一个交点为（-3,0）,则另一个交点坐标为.

【变式7-2］（23-24九年级•山东济宁•期中）

27.已知二次函数y=（x+l）（x-M的对称轴为直线x=l,则加的值是（）

A.4B.3C.2D.1

【变式7-3］（23-24九年级•吉林长春・期末）

28.如图，在平面直角坐标系中，点/、2的坐标分别为（1,1）,抛物线

夕=办2+云+4。#0）的顶点在线段上，与x轴相交于C、。两点，设点C、。的横坐标

分别为M、％,且再<%.若％,的最小值是-3,则马的最大值是.

试卷第6页，共10页

【题型8待定系数法求二次函数解析式】

【例8】(23-24九年级•江苏苏州・期末)

29.已知二次函数y=◎?+加+c图像经过点4(1,0),S(3,0),C(0,3)

(!)«=_；b=_；c

(2)连接/C,将抛物线沿着直线NC方向平移后经过点。(2,3),求平移后新抛物线的顶

点.

【变式8-1](23-24九年级•河北邯郸・期末)

8两点，且力(1,0).

(1)求为的解析式及/、3间距离.

(2)将x轴向下平移〃个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、。两点，且

CD=8.求出新坐标系下抛物线力的解析式及〃值.

【变式8-2](23-24九年级•福建福州・期末)

31.已知二次函数＞=如2+云+。自变量工与函数〉的部分对应值如下表：

X-2-1023

y50-3-30

(1)求二次函数解析式及顶点坐标;

试卷第7页，共10页

⑵点尸为抛物线上一点，抛物线与X轴交于A、8两点，若邑咏=12,求出此时点尸的坐

标.

【变式8-3]（23-24九年级•浙江金华・期末）

32.已知二次函数y=x2+6x+c.

（1）当6=2,c=-5时，

①求该函数图象的顶点坐标.

②当y2-2时，求x的取值范围.

（2）当x<0时，y的最小值为-2；当尤20时，y的最小值为3,求二次函数的表达式.

【题型9由二次函数的对称性求最短路径】

【例9】（23-24九年级•四川德阳•期中）

33.如图，二次函数y=-x2-2x+3与x轴交于4B两点,与y轴交于点C,在抛物线的对

称轴上有一动点E,连接EC和E4,则EC+E4的最小值是.

【变式9-1]（23-24九年级•浙江温州・期中）

34.如图，抛物线J=a（x+l）（x-3）与x轴交于48两点（点/在8的左侧），点C为抛

物线上任意一点（不与/,8重合），8。为△ABC的/C边上的高线，抛物线顶点£与点。

的最小距离为1,则抛物线解析式为.

试卷第8页，共10页

【变式9-2](23-24九年级•山东济宁•期末)

35.如图，已知二次函数〉=加+&+。("0)图象与x轴交于“(TO),8(3,0)两点，与y

备用图

(1)求该二次函数的解析式；

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点尸，使△P/C的周长最小？若存在，求出P点的

坐标，若不存在，请说明理由；

⑶点。在线段上(不与点。、8重合)，过点。作。Mix轴交抛物线于点交线段

BC于点、N,求线段的最大值，及此时点M的坐标.

【变式9-3](23-24九年级•江苏连云港•期末)

36.如图1,抛物线y=/+b无+c与x轴交于点4_2,0)、5(6,0).

试卷第9页，共10页

图1图2

(1)求抛物线的函数关系式.

(2)如图1,点C是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C作轴，P为垂足，

求CP+OP的最大值；

(3)如图2,设抛物线的顶点为点。，点N的坐标为问在抛物线的对称轴上是

否存在点〃，使线段龙W绕点M顺时针旋转90。得到线段MN',且点N'恰好落在抛物线上?

若存在，求出点〃•的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第10页，共10页

1.c

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知对于二次函数

y=+左（。片0）,当。＞0时，抛物线开口向上，当。＜0时，抛物线开口向下，对称

轴为直线x=〃，顶点坐标为（力，k）.

【详解】解：••・抛物线解析式为＞=-2（x-lf+3,-2＜0,

抛物线开口向下，顶点坐标为。，3）,对称轴为直线x=l,故（1）（3）正确，（2）错误，

当x=3时，＞=—2（3—1）+3=—8+3=—5＜0,故（4）错误，

故选C.

2.B

【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案.

1。

【详解】•■-y=-ix2,

=抛物线的开口向下，顶点坐标是（0,0）,经过三、四象限，故选项A错误；

函数图象有最高点（0,0）,故选项B正确；

对称轴是尤=0,故选项C错误；

抛物线的开口向下，对称轴是x=0,当x＜0时，y随x的增大而增大，故D错误；

故选：B.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在了=办2

中，对称轴为x=0,顶点坐标为（0,0）.

3.B

【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线

的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解.

【详解】①:aEVO,.•.抛物线开口向下，故本小题错误；

②令y=0,则-x2+l=0,解得xi=l,x2=-l,所以，抛物线与x轴交于点（-1,0）和点（1,

0）,故本小题正确；

③抛物线的对称轴》=-乡=0,是y轴，故本小题正确；

④抛物线的顶点坐标是（0,1）,故本小题正确；

答案第1页，共29页

⑤抛物线y=-x2+l是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；

综上所述，正确的有②③④⑤共4个.

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键.

4.B

【分析】根据二次函数图像和判别式的性质，依次对各个选项分析，即可得到答案.

【详解】•.•y=(X+3『_l顶点坐标为：

・•.①的结论错误；

•••y=(x+3)2-l的二次项系数为：1

二开口方向向上，②结论正确；

•.•当%>-3时，y随X的增大而增大

・•.③的结论错误；

•••判断片(x+3『-1和x轴有两个不同交点，即判断卜+3『-1=0有两个不相等的实数根

••,A=62-4X8=4>0

.•.(X+3)2-1=0有两个不相等的实数根

.•.y=(x+3『-1与x轴有两个不同交点

.•.④的结论正确；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程判别式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函

数图像、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解.

5.D

【分析】本题考查抛物线的性质，根据点(T,机)和点(-2,“)在抛物线了=姓2+加上得到

a-b=m,4a-26=〃，表示出以一%，%%一°，了2-°，结合心<〃判

断式子与0的关系即可得到答案；

【详解】解：•••点(一1,〃?)和点(-2,〃)在抛物线夕=«?+6上，

:,a-b=m,4a-2b=n,

•：m<n,a<0,

答案第2页，共29页

・•・b-3〃<0,b<3a<a<0

：(-3，M),(1,%),(4,%)在该抛物线上，

y^-0=9a-3b-0=9a-3b>0,y2-0=a+b-0=a+b<0

%一%=9a-3b-(a+b)=8。-4b=12。-4b-4Q〉0,

yx—y3=9a-36-(14。+4b)=-5a-lb>0,y2—y3=a+6-(14a+4b)=-13a-3b>0,

二外>%，%>%，%>%，M<°，

%<%<0<乂，

故选：D.

6.A

【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线x=-2,然后根据二次函数的性质可进行求

解.

【详解】解：由二次函数了=-2/-8x+加可知对称轴为直线=-2,

,:xl<-2<x2,|xj+2|>\x2+2|,

...卜-(-2)卜|X2-(-2)|,

•••点A离二次函数的对称轴更远，

•••二次函数的开口向下，离抛物线对称轴越近其所对的函数值越大，

二必<力；

故选A.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

7.B

【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点

与对称轴的距离，结合开口方向分析即可.

【详解】解：在>-2ax-3a(aH0)中，

对称轴为直线x=-1£=1,

2a

令a-—2QX-3a=0,解得：再二-1,x2=3,

答案第3页，共29页

.•涵数图像与X轴交于（-1,0）,（3,0）,

v-1<<0,1<x2<2,x3>3,

（%，力）离对称轴最远，区，％）离对称轴最近，

当。>0时，开口向上，

•••%>%>%;

当。<0时，开口向下，

•••%和人可能最大，也可能最小，

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴

交点，利用性质进行分析.

8.C

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=-（x-4）2+机的开口向下，有最大值为优,对

x

称轴为直线x=4,根据占<4<々，i+X2>8,设/（再,“）的对称点为4（%必），得出

%+/=8,则在对称轴右侧，》随x的增大而减小，贝1|当4〈尤。时，m>y1>y2.

【详解】解："y=-（x-4）2+m,

•••Q=—1<0,

・•・当x=4时，有最大值为片加，

••・抛物线开口向下，

・•・抛物线了=-（%-4丫+加对称轴为直线》=4,

设/（国，必）的对称点为4（%必），即%>4,

.%+x。

"2'

%+/=8,

•・,+x2>8,

答案第4页，共29页

M+%>石+/,

*（•工2>X。,

：.4<x0<x2,

・•・m>y}>y2.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数了=办2+云+4。*0）的图象

为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当。<0,抛物线开口向下；对称轴为直线

x=w,在对称轴左侧，v随x的增大而增大，在对称轴右侧，>随天的增大而减小.

2a

9.A

【分析】由当占=1,9=3时，%="可得抛物线对称轴为直线x=2,从而可得抛物线解

析式，将函数解析式化为顶点式可得力+力的最小值，进而求解.

【详解】,・,当天=1,%2=3时，%=%.

••・抛物线对称轴为直线X=-1=2,

■■b=-4,

■•■y—x2-4x+c—（x-2）2+c-4,

••・抛物线开口向上，顶点坐标为（2,c-4）,

二当为="=。-4时,乃+外取最小值为2c-8,

■■-2c-8>2,

解得仑5.

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次

函数与方程及不等式的关系.

10.D

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数

的性质.根据题意和二次函数的性质，可以求得加的取值范围本题得以解决.

【详解】解：・抛物线>=〃吠2_Q加2_〃?卜+7〃，

答案第5页，共29页

••・抛物线的对称轴为直线X=_\一加=卫二，

2m2m2

•.•当再+々＞4且无]＜工2时，都有必＜%,

；.2-尤1cx2-2且再时，都有%＜%,

2m—15

解得0＜加4±；

22

■■m的取值范围为。〈加wg,

故选：D.

11.加＜1或加＞5

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关

键.

根据抛物线了=办2+/+°（。＞0）经过点/（2,0）,5（4,0）,求出对称轴誓=3,再根据抛

物线性质即可解答.

【详解】解：•••抛物线片"2+乐+。（八0）经过点/（2,0）,8（4,0）,

2+4

・•.对称轴为、=亍=3,

Q＞0,

・・・当％＜3时，歹随x增大而减小，当x＞3时，歹随x增大而增大，

・♦・P（5）J,。（加,%）是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且多＜/，

・•・根据对称性可得P点对称点夕'（1,必），

・••加＜1或加＞5.

故答案为：加＜1或冽＞5.

12.-13＜H＜3##3＞H＞-13

【分析】根据抛物线的对称轴，求出,的值，进而得到〃关于加的二次函数，再根据二次函

数的性质，进行求解即可.

[i¥WlW：Vy=--x2+mx-m2-4m+3,

4

m

・•・对称轴为：*-一二-2%,

~2

答案第6页，共29页

•.•点4（4加+-1,〃），点8（f+3,〃）都在抛物线上，且函数值相同，

二两个点关于对称轴对称，

4m+/-1+/+3=2-2m,解得：t=-1；

12

：.n=--x22+2m-m2-4m+3=-（m+1）+3,

v-1<0,对称轴为加=一1,

・•・抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，

-2<m<3,

，当加=—1时，〃有最大值为3,当加=3时，〃有最小值为：-16+3=-13；

故答案为：-13<〃43.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性求出，的值.

9

13.2<m<—

4

【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式,

得出0<加-241,顶点坐标为（加-2,4加一7）,最小值为4加-7,确定2c加（3,再由/22,

得出4加-7W2,然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

［详解］­,­y=x2-（2m-4）x+m2-3

=x2—（2m—4）x+（m-2）2—（m-2）2+m2-3

=［x—（加一2）］—m2+4m—4+m2—3

二［x-（m—2）T+4m-7,

二对称轴为x=m-2,

•・,对称轴在歹轴右侧，当x21时，歹随x增大而增大，开口向上，

/.0<m-2<l,顶点坐标为（加-2,4加-7）,最小值为4加-7,

2<m<3,

v/>2,

・•.4m-7<2,

答案第7页，共29页

：.m<—,

4

9

2<m<—,

4

Q

故答案为：2<m<—.

4

13

14.m<—

2

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性.先求

出对称轴，再根据当x>2时，y随x的增大而减小，得出三?42,求出结果即可.

6

[详解】解：•••y=_3x2+（2/_l）x+l,

・•・对称轴为'=2受m—」1，且抛物线开口向下，

6

2m—1

.•.当时，y随X的增大而减小，

0

・•・当x>2时，了随x的增大而减小，

也32,

6

13

解得：m<-.

13

故答案为：m<y.

15.m>-1##-1<m

【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线1=2〃，再根据当、之2

时，）随1的增大而增大，可得根据题意有加=F—441+/+1,即

加=『_4QX1+/+1=（。_2）2—2,问题随之得解.

【详角星】解：y=x2-4ax+（72+1=（x-2tz）2-3a2+1,

••・抛物线的对称轴为直线x=2〃，

・・,当xN2时，V随工的增大而增大，

••・2QW2,BPtz<1.

•・•点4（1,加）在二次函数>=，-4办+/+1的图象上，

，加=1.2—4。X1++],即加=1.2—4〃X1++1=（〃—2）—2,

a<\,

Q—2W—1,

答案第8页，共29页

•••(4-2)2之1,

m=(a—2)—22—1,

故答案为：m>-l.

16.D

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关

键.

依据题意，可得抛物线的对称轴是直线》=-g=1,又当x=0时，，>=-1,从而

2a

必=-1,且当x=l+l=2时，歹=-1,故%=-1,然后分。〉0和。<0两种情形讨论，结合

贝，歹2,歹3,歹4四个数中有且只有一个大于零，即可判断得解.

【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线X=-『=：!.

又当x=0时,>=一1,

••・必=-1,且当％=1+1=2时,y=-1.

・•・%=T.

①若。〉0,贝!!当x〉l时，y随x的增大而增大.

・•・%<%.

•.•必，%,%,歹4四个数中有且只有一个大于零，

又必二歹2=-1<°，

・・・歹340，y4>0・

[9Q-6a-1«0

[16。-8Q-1>0

1,1

—<aW—

83

②若a<0,

则当x>l时，歹随x的增大而减小.

•••2<3<4,

答案第9页，共29页

­,•%=%=T>%>以.

二%，%，%，为四个数中没有一个大于0，不合题意.

故选：D.

17.C

【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数

了=0卜+加）（工+加-左）与苫轴的交点坐标是（-加，0）,（-加+七0）.得到二次函数的对称轴是直

一切丁丝二^.根据开口方向进一步求出最值即可.

22

【详解】解：由题意，令＞=0,

Q（x+加）（％+加一左）=0,

西=-m,x2=-m+k.

.•.二次函数V=a（x+»t）（x+m-后）与无轴的交点坐标是（-加，0）,（-加+左，0）.

-m-m+k-2m+k

二二次函数的对称轴是：直线无

22

a<0,

有最大值.

-2m+k口।

当x---，y最大,

-2m+k]—2m+k7、k1

即y=a------------\-mz(-------------\-m-k)=-----a

2「24

当人=4时，函数y的最大值为-4a；

当左=2时，函数了的最大值为一。

综上，C选项正确.

故选：C.

【分析】本题考查二次函数的最值.根据对称轴公式求出a=-2,把?。,"）代入解析式得

n=t2-2t+4,用含，的式子表示出找到最大值即可.

【详解】解：••二次函数了=/+亦+4的对称轴为直线尤=1,

答案第10页，共29页

・•・歹=x-2x+4,

才巴2”,〃)代入>=12一2%+4,得〃=*一2/+4,

-r+3/-4

7

4

37

.•・当£=彳时，，-〃取最大值，最大值为一二，

24

7

故答案为：一二.

4

19.-1

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，由题意得出。<0,当工=-二

时，y最大，为-竺+3,从而得出土=-2,将>=-a(x+2023)2-6(x+2023)+l化为

4a^a

7=-«[(x+2023)+—T+—+1,利用二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数

的性质是解此题的关键.

【详解】解：.•・二次函数了="2+云+3有最大值,

Q<0,

・「y=ax+bx+3=a

.,.当x=--时，J最大,为-^-+3

•・.二次函数歹="2+区+3的最大值是5,

y——a(x+2023)—b(x+2023)+1=—a

答案第11页，共29页

-a>0,抛物线开口向上,

.,.当尤+2023=------时，V最小，为？—I-1=—2+1=—1,

2a4。

故答案为：-1.

20.B

【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下,

对称轴为》轴是解题的关键.

12

由题意可知对称轴为V轴，贝幅数为y=af+c,利用待定系数法求得尸-尸2+左+由

63

1?

当04加加+1时，该函数有最大值?和最小值9,即可得出p=--m1+k+-,

o3

q=(m+1)2+k+—,进一步求的p~q=~—m2+—(m+1)2=—m+—,

636636

得到。-q的最小值为!，无最大值.

6

【详解】•••二次函数广尔+6x+c("0)的图象经过点/(-4,"2),8(-2㈤,C(2㈤,

・••对称轴为直线x=与-2+£2=o,

*'•-----=0,b=0,

2a

「•y=ax2+c,

16a+c=k-2

把，(-4,"2),8(-2㈤代入得

4a+c=k

i2

角军得：y--T%2+^+~•

63

・•・当ov加vxw加+1时，该函数有最大值?和最小值q,

i2

=时，取最大值〃=一』"2+左+:，

63

122

x=m+l时，取最小值q=-q(m+l)+k+—,

,0-仁」/+4加+1)2=3〃+L

66V736

X'-'m>Q,

二。-4的最小值为无最大值.

6

故选B.

答案第12页，共29页

21.D

【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点8与顶点(1,4)重

合时；②当点48对称时；③当点48不对称时；分别求出。的范围，最后可得。的取

值范围.

本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图像的特征是解题

的关键.

【详解】由了=-X2+2X+3=-(X-1『+4,得抛物线的对称轴为X=1,顶点坐标为。,4).

由题意得A点在B点的左边.

如图3,当点2与顶点(1,4)重合时，0+2=1,解得。=-1；

当点8对称时，<7=0.此时若函数的最大值为4,最小值为4；

当点3不对称时，/点离对称轴远，2点离对称轴近，

/.1—6Z>(Q+2)—1,

解得"0,

”的取值范围是-"Q<0.

故选D.

22.-4<m<0

【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴，再求出(。,-4)对称点

(-4,-4),根据二次函数的性质求出机的取值范围.

【详解】解：二次函数的对称轴》=-¥=-2,

2a

令y=o,y=-4,

•••点(0,-4)关于直线X=-2的对称点为(-4,-4),

如图：

答案第13页，共29页

・二开口向上，

,・,当加<%V0时，函数〉值的最大值为-4,

-4<<0,

故答案为：-4<7W<0.

515

23.9或一

7

【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质.先求出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的

性质四种情况讨论，即可求解.

【详解】解：y=x2-2ax+2x+a—2

=x~-（2a-2）x+a-2

=（x—a+1）—4~+34—3,

••・抛物线的对称轴为直线x=a-l，

当x=0时，y=（0-a+l）2-a2+3a-3=a-2,

当x=4时，y=（4++3。-3=-7。+22,

•.・在0WxW4有最大值7,抛物线开口向上，

.•.当。一1<0,即时，一7。+22=7,

此时，a=*（舍去）；

当0（〃一1<4,即1«〃<5时，

若〃-1-024-（a-1）,即3工〃<5,

止匕时。一2=7,解得：a=9（舍去）；

若a-1-0<4-（a-1）,即1<Q<3,

止匕时〃一2=7,解得：a=9（舍去）；

答案第14页，共29页

此时-7。+22=7,解得：a=—；

1

当°一124,即.25时，

此时。-2=7,解得：a=9；

综上所述，。的值为9或

故答案为：9或亍

24.B

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式等知识,

利用数形结合和分类讨论是解题的关键.

由完美点的概念和根的判别式求出。和c的值，再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标

轴的交点坐标，根据函数值，即可求得x的取值范围.

【详解】解：令"2+4%+0=工，即办2+3%+。=0,

由题意可得，图象上有且只有一个完美点，

A=9-4ac=0,贝U4ac=9,

又方程根为=_£_=1,

2a2a2

।9

•••Q=-1,C=----,

4

3

・•・函数＞=ax2+4x+。——=-x2+4%-3,

该二次函数图象如图所示，顶点坐标为(2,1),

与V轴交点为(0,-3),根据对称规律，点(4,-3)也是该二次函数图象上的点，

在X=2左侧，V随X的增大而增大；在尤=2右侧，V随X的增大而减小；且当04x4加时,

答案第15页，共29页

函数y=-x2+4x-3的最大值为1,最小值为-3,则2V/wV4.

故选：B.

25.A

【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标,

根据顶点坐标设抛物线的解析式.根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线

x^m-\.故设抛物线解析式为y=(x-〃?+l)2,直接将♦(",")代入，通过解方程来求〃的

值.

【详解】解：；抛物线V=x2+Z?x+c过点/(%")、B(m-2,n),

对称轴是直线x=m-\,

又,:抛物线》=苫2+云+。与*轴只有一个交点，

，顶点为(仅TO),

•••设抛物线解析式为y=(x-加+了，

把4m,〃)代入，得：

»=(/„-m+1)2=