导数压轴专题突破-第32讲 导数中的距离问题（含答案及解析）

第32讲导数中的距离问题【典型例题】例1．若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是A． B． C． D．，例2．已知函数，若对任意的正实数，在上都是增函数，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，例3．点是曲线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，则的最小值为A． B． C． D．例4．已知是曲线上的点，是直线上的一点，则的最小值为A． B． C． D．例5．已知点，点在曲线上，点在直线上，为线段的中点，则的最小值为A． B． C． D．例6．已知实数，，，，满足（其中是自然对数的底数），那么的最小值为．例7．若不等式对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是．【同步练习】一．选择题1．若存在，．使得成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，2．若存在，，使得成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．，3．设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是A． B． C． D．14．已知函数，若关于的不等式有解，则实数的值为A． B． C．1 D．25．已知，函数是自然对数的底数），当取得最小值时，则A． B． C． D．4二．填空题6．设表示自然对数的底数，函数，若关于的不等式有解，则实数的值为．7．已知函数，点为曲线在点，处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为．8．已知函数，点为曲线在点，处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为．9．已知是曲线上的动点，是直线上的动点，则的最小值为．10．设，，当，变化时的最小值为．11．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点．设点为线段的中点，为原点，则的最小值为．12．已知实数，，满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为

第32讲导数中的距离问题【典型例题】例1．若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是A． B． C． D．，【解析】解：在上都是增函数，在上恒成立，，，令，则，上，，上，，时，，的最小值为，，故选：．例2．已知函数，若对任意的正实数，在上都是增函数，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：，，又对任意的正实数，在上都是增函数，在上恒成立，即在上恒成立，的几何意义为动点到直线，即上点的距离的平方，其最小值为．令，，当时，，当时，，（1），则的最小值为．实数的取值范围是．故选：．例3．点是曲线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：因曲线与关于直线对称．所求的最小值为曲线上的点到直线最小距离的两倍．对求导，可得，设与直线平行的切线的切点为，则，解得，可得切点，，则到直线的最小距离．可得的最小值是．故选：．例4．已知是曲线上的点，是直线上的一点，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：得，，曲线是圆心为，半径的左半圆，曲线上的点到直线的距离，即为的最小值，故选：．例5．已知点，点在曲线上，点在直线上，为线段的中点，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：的导数为，令，解得或2，可得与直线平行，且与图象相切的直线为或，可得中点所在直线的方程为或，由图象可得到直线的距离为，到直线的距离为．即有的最小值为，故选：．例6．已知实数，，，，满足（其中是自然对数的底数），那么的最小值为．【解析】解：由，得，，即点的轨迹方程为，点的轨迹方程为：，则的几何意义为，设斜率为的直线与曲线相切且切点为，，由，则，解得，，由点到直线的距离公式得，即，故答案为：．例7．若不等式对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是．【解析】解：设，，，在直线上．不等式左边的几何意义是两点距离的平方．只要到的距离平方大于，即可．或分离常数可得：．在，恒成立用基本不等式解得：故答案为：．【同步练习】一．选择题1．若存在，．使得成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：存在，．使得成立，设，，则．点在直线上运动，点在曲线上运动．由得，令得，，令，则到直线的距离就是的最小值．，，，故选：．2．若存在，，使得成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．，【解析】设，，则．点在直线上运动，点在曲线上运动．由得，令得令，则到直线的距离就是的最小值．，，，故选：．3．设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是A． B． C． D．1【解析】解：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，，解得，曲线上点到直线的距离，则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，由，解得．故选：．4．已知函数，若关于的不等式有解，则实数的值为A． B． C．1 D．2【解析】解：设，，则，令，；将直线平移到与曲线相切，由得或（舍去），所以切点为，由切点到直线的距离为，所以，又因为关于的不等式有解，则，此时点满足，解之得，综上可得，故选：．5．已知，函数是自然对数的底数），当取得最小值时，则A． B． C． D．4【解析】解：，则函数的几何意义是函数上一点到直线上一点上一点距离的平方，结合图象可知，当曲线在点处的切线与直线平行，且点为为切点向直线所作垂线的垂足点时，函数取到最小值，对函数求导得，令，得，所求切点坐标为，过点且与直线垂直的直线方程为，联立直线与直线的方程得，解得，因此，．故选：．二．填空题6．设表示自然对数的底数，函数，若关于的不等式有解，则实数的值为．【解析】解：，若关于的不等式有解，即为有解，由，可得函数的几何意义为点和点的距离，由于两点在曲线和直线运动，当直线与曲线相切，设切点为，可得切线的斜率为，解得，则切点为，可得切点到直线的距离为，可得有解，且等号成立，由和联立，可得交点为，，即有，故答案为：．7．已知函数，点为曲线在点，处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为．【解析】解：，可得，即有，解得，则，，则切线，的导数为，过的切线与切线平行时，距离最短．由，可得，即切点，则到切线的距离为．故答案为：．8．已知函数，点为曲线在点，处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为．【解析】解：，可得，即有，解得，则，，则切线，的导数为，过的切线与切线平行时，距离最短．由，即，由，的图象可得，即切点，则到切线的距离为．故答案为：．9．已知是曲线上的动点，是直线上的动点，则的最小值为．【解析】解：函数的定义域为，由的导数为，令，可得，所以切点为，它到直线即的距离．即点到直线的距离的最小值为．故答案为：．10．设，，当，变化时的最小值为．【解析】解：设，则表示函数上一点与函数上一点之间的距离，又函数表示焦点为，准线为的抛物线，由抛物线的定义可得，，的几何意义即为，作出示意图如下，由图观察可知，当点运动至点，且垂直于过点的函数的切线，点为线段与函数的交点时，最小，设，，，则，解得，即，的最小值为．故答案为：．11．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点．设点为线段的中点，为原点，则的最小值为．【解析】解：如图：在直线的下方在抛物线上，（反之，的中点到原点的距离不会有最小值）；直线，