导数压轴专题突破-第25讲 零点差问题（剪刀模型）（含答案及解析）

第25讲零点差问题（剪刀模型）【典型例题】例1．已知函数，若关于的方程有两个正实数根，且．（1）求实数的取值范围；（2）求证：．例2．已知函数，，其中，且．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（Ⅲ）若关于的方程为实数）有两个正实数根，，求证：．例3．已知函数（1）求曲线在原点处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程有两个正实数根，，求证：．例4．已知函数．（1）当时，求的最值；（2）当时，若的两个零点分别为，，证明．例5．已知函数为常数）的最大值为0．（1）求实数的值；（2）设函数，当时，求证：函数有两个不同的零点，，且．例6．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若，证明：在上恒成立；（3）若方程有两个实数根，，且，求证：．例7．已知函数．（1）求在点，处的切线方程；（2）若，证明：在，上恒成立；（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．【同步练习】1．已知函数，为自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）关于的不等式在恒成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）关于的方程有两个实根，，求证：．2．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若方程有两个实根，，且（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求证：．3．已知函数的两个零点记为，．（1）求的取值范围；（2）证明：．4．已知函数（1）求在点，（1）处的切线方程，并证明（2）若方程有两个正实数根，，求证：．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，是的两个零点，求证：．6．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．7．已知函数．（1）讨论函数的极值点的个数；（2）已知函数有两个不同的零点，，且证明：．8．已知函数．（1）求在点，处的切线方程；（2）已知在上恒成立，求的值．（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．9．已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；（2）设方程有两个实数根，，求证：．10．已知函数，．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当，时恒有成立，求满足条件的的范围；（3）当时，令方程有两个不同的根，，且满足，求证：．11．已知函数，是的极值点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；（Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．12．已知函数，曲线在原点处的切线为．（1）证明：曲线与轴正半轴有交点；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；（3）若关于的方程为正实数）有不等实根，，求证：．13．已知函数，其中，，．（1）当，时，讨论函数的单调性；（2）已知，，，且函数有两个零点，，求证：对任意的正实数，都存在满足条件的实数，使得成立．14．已知函数，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线与直线有交点，求的最小值；（Ⅱ）（ⅰ）设，问：是否存在最大整数，使得对任意正数都有（1）（1）成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若曲线与直线有两个不同的交点，，求证：．15．已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；（2）若方程有两个实数根，，求证：．16．已知函数为自然对数的底数）．（1）求曲线在点，处的切线方程：（2）若方程有两个不等的实数根，，求证：．

第25讲零点差问题（剪刀模型）【典型例题】例1．已知函数，若关于的方程有两个正实数根，且．（1）求实数的取值范围；（2）求证：．【解析】解：（1）由，得，令，则或，当或时，；当时，，在和上单调递减，在上单调递增，且有两个正根，（1），，的取值范围为．（2）关于的方程有两个正实数根，且．由（1）知，设，，则，在上单调递减，（1），，又在上单调递减，，，要证，只需证，即证，且，成立．例2．已知函数，，其中，且．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（Ⅲ）若关于的方程为实数）有两个正实数根，，求证：．【解析】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由，可得，其中，且．下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时，令，解得，或，当变化时，，的变化情况如下表：所以，在，上单调递减，在单调递增．（2）当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；所以，在单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）证明：设点的坐标为，，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则．由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当，时，，所以在内单调递增，在，上单调递减，所以对应任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有．（Ⅲ）证明：不妨设，由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得，由（Ⅱ）知，可得．类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，，设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此，由此可得：，因为，所以，故：．所以：．例3．已知函数（1）求曲线在原点处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程有两个正实数根，，求证：．【解析】解：（1），，，故曲线在原点处的切线方程为．（2）①当时，；②当时，问题等价于恒成立．设，则，在上单调递增，且（1）在递减，在递增．在的最小值为（1）；③当时，问题等价于恒成立．设，则，在上单调递减，且时，．，综上所述：．（3）依（2）得时，，曲线在原点处的切线方程为设，，，令，解得，或．在，递增，在递减．，时，，递增，而，当时，，设，分别与，交点的横坐标为，，，．则，，（证毕）例4．已知函数．（1）当时，求的最值；（2）当时，若的两个零点分别为，，证明．【解析】解：（1），，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得最小值（1）；（2），因为时，单调递增且（1），所以时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得最小值（1），又，所以在上存在一个零点，因此．例5．已知函数为常数）的最大值为0．（1）求实数的值；（2）设函数，当时，求证：函数有两个不同的零点，，且．【解析】解：（1），，当时，恒成立，故在上单调递增，无最大值；当时，时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，，令（a），则，易得，当时，（a），（a）单调递减，当时，（a），（a）单调递增，所以当时，（a）取得最大值，又因为（1），所．（2），所以，，所以在上单调递增，又因为（1），所以在上单调递减，在上单调递增，又（1），所以存在，，又因为，（e），所以，．故．例6．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若，证明：在上恒成立；（3）若方程有两个实数根，，且，求证：．【解析】（1）解：函数的定义域为，又，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明：令（a），下面证明：，令，则，当时，，则单调递减，当，，则单调递增，所以当时，函数取得最小值，所以，即，故在上恒成立；（3）证明：先证右半部分不等式：．曲线在和处的切线分别为和，设直线与直线，函数的图象和直线分别交于，，，，则，则，因此；再证左半部分不等式：．设，，我们用割线和来估计的下界，即直线与函数图象的交点的横坐标分别为，，设直线与直线，的交点的横坐标分别为，，即，，则，因此．综上可得，．例7．已知函数．（1）求在点，处的切线方程；（2）若，证明：在，上恒成立；（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．【解析】解：（1）函数，由，由，，所以切线方程为，（2）当，时，，所以．故只需证，构造，，又在，上单调递增，且（1），知在，上单调递增，故（1）．因此，得证．（3）由（1）知在点，处的切线方程为．构造，，．当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以．设方程的根．又，由在上单调递减，所以．另一方面，在点处的切线方程为．构造．，．当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增．又，，（1），所在上单调递减，在上单调递增．所以（1）．设方程的根．又，由在上单调递增，所以．，，，所以，得证．【同步练习】1．已知函数，为自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）关于的不等式在恒成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）关于的方程有两个实根，，求证：．【解析】解：（Ⅰ）对函数求导得，，又，曲线在处的切线方程为，即；（Ⅱ）记，其中，由题意知在上恒成立，下面求函数的最小值，对求导得，令，得，当变化时，，变化情况列表如下：，0递减极小值递增，，记，则，令，得，当变化时，，变化情况列表如下：10递增极大值递减（1），故当且仅当时取等号，又，从而得到；（Ⅲ）证明：先证，记，则，令，得，当变化时，，变化情况列表如下：，0递减极小值递增，恒成立，即，记直线，分别与交于，，，，不妨设，则，从而，当且仅当时取等号，由（Ⅱ）知，，则，从而，当且仅当时取等号，故因等号成立的条件不能同时满足，故．2．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若方程有两个实根，，且（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求证：．【解析】解：（1），曲线在处的切线的斜率为，切点坐标为，所以切线方程为．（2）（Ⅰ），的增区间为，减区间为，的最小值为，又时，，时，，的取值范围为．．（Ⅱ）下面证明切线始终在曲线下方，即证明恒成立，令，，在递减，在，递增，最小值为，恒成立，恒成立得证，即切线始终在曲线下方．切线与联立解得，显然，因此，要证，只要证即可，即证，即证即可，又因为，，所以只要证，令，，恒成立，在单调递增，（1），得证，原命题得证．3．已知函数的两个零点记为，．（1）求的取值范围；（2）证明：．【解析】解：（1）由，得，令，，当，，递增；当，，递减；有最大值，又，，故函数有两个不同的零点，；（2）先证明，不妨设，由（1）知，，构造函数，，当时，，递增，（1），，所以，即，所以，由，由（1）知，当，递减；所以，即，要证明，只需证明，即，，只需证明，，构造函数，，当，，递增；，，递减；当，时，，（1），所以当，，故原命题成立．4．已知函数（1）求在点，（1）处的切线方程，并证明（2）若方程有两个正实数根，，求证：．【解析】证明：（1），（1），（1），在点，（1）处的切线方程，设，则，，令，可得或，函数在，上单调递增，在上单调递减，，，，单调递减；，，，，单调递增，（1），；（2）在处的切线方程为，则又，设与和的两个交点的横坐标为，，，．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，是的两个零点，求证：．【解析】解：（1）的定义域为，且，①当时，，的单调递减区间为；②当时，由得，故的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明：有两个零点，由（1）知且，，要证原不等式成立，只需证明，只需证明，只需证明．一方面，，，，且在单调递增，故；另一方面，令，，则，当时，；当时，；故，故即时恒成立，令，则，于是，而，故，且在单调递减，故；综合上述，，即原不等式成立．6．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．【解析】解：（1），．（3分）当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（5分）（2）由（1）（1），若函数有两个不同的零点，，则（1），解得：，（8分）不妨设，因为．令，．令，则，，所以单调递增，又因为，所以单调递增．因为，所以，故单调递增．又因为（e），所以，．（12分）由可知令，所以．（15分）7．已知函数．（1）讨论函数的极值点的个数；（2）已知函数有两个不同的零点，，且证明：．【解析】（1）解：函数，故的定义域为，则，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值（1），当时，（1），则，所以在上单调递减，此时无极值点；当时，（1），因为，，所以在上有且只有一个零点，所以在上有且只有一个极值点，又，，所以在上有且只有一个零点，所以在上有且只有一个极值点．综上所述，当时，无极值点；当时，有2个极值点．（2）证明：函数，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值（1），因为函数有两个不同的零点，，且，所以（1），即，所以，又，令，则，令，则，所以单调递增，所以（e），所以，所以单调递增，所以（e），所以，所以，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取到最大值为（1），所以，即，所以，令，则，所以，所以．8．已知函数．（1）求在点，处的切线方程；（2）已知在上恒成立，求的值．（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．【解析】解：（1）函数，则，所以，，所以在点，处的切线方程为；（2）令，则，令，则，所以在单调递减且，在单调递增，又，即且，故只能在处取得最小值，若，此时，在上，故单调递减，在上，故单调递增，故，满足题意；若，有解，，在上单调递减，与矛盾；若，有解，，在，上单调递减，与矛盾；综上所述，；（3）证明：，所以在单调递减且，在单调递增，故最多一根，又因为，，设的解为，因为，故，所以在上单调递减，在上单调递增，因为方程有两个实数根，，故，结合（1）（2）有，在上恒成立，设的解为，则，设的解为，则，故，，所以，得证．9．已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；（2）设方程有两个实数根，，求证：．【解析】解：（1）由，得，函数的零点，，，．曲线在处的切线方程为，，（1），曲线在处的切线方程为；（2）证明：，当时，；当时，．的单调递增区间为，单调递减区间为．由（1）知，当或时，；当时，．下面证明：当时，．当时，．易知，在，上单调递增，而，对恒成立，当时，．由得．记．不妨设，则，．要证，只要证，即证．又，只要证，即．，即证．令，．当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数．，，．10．已知函数，．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当，时恒有成立，求满足条件的的范围；（3）当时，令方程有两个不同的根，，且满足，求证：．【解析】（1）解：由题意，当时，，．，．（1），（1）．函数在处的切线方程为：．（2）解：由题意，当，时恒有成立，即对任意，成立．当，时，恒成立，对任意，恒成立．．的取值范围为，．（3）证明：由题意，当时，，．，．①令，即，根据下面图象：根据图，很明显交点的横坐标在1与之间，设为，即的解为，，且．②令，即，解得；③令，即，解得．在上单调递减，在，上单调递增，在处取得极小值．（1），（e）．根据题意，画图如下：由图，①设函数在处的切线为，（1）．直线的直线方程：，令，解得；②设函数在处的切线为，（e）．直线的直线方程：，令，解得．．11．已知函数，是的极值点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；（Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．【解析】（Ⅰ）解：；由题意知，；；（Ⅱ）证明：设曲线在，处切线为直线；令；；；在上单调递增，在，上单调递减；；，即，即上的点都不在直线的上方；（Ⅲ）由（Ⅱ）设方程的解为；则有，解得；由题意知，；令，；；在上单调递增；；的图象不在的下方；与交点的横坐标为；则有，即；；关于的函数在上单调递增；．12．已知函数，曲线在原点处的切线为．（1）证明：曲线与轴正半轴有交点；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；（3）若关于的方程为正实数）有不等实根，，求证：．【解析】证明：（1）因为，由已知得：，解得，即，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，（2），所以，存在，使得．即曲线与轴正半轴有交点，；（2）曲线在点处的切线，令，，则，又当时，，单调递增，当，时，，单调递减，所以对任意实数都有，即对任意实数都有，故曲线上的点都不在直线的上方；（3）因为，所以为减函数，设方程的根为，由（2）可知，所以记，则，当时，，单调递增，当时，，，单调递减，所以，对任意的实数，都有，即设方程的根，则，所以于是，令，又，则，所以在，上为增函数，又，所以，，所以．13．已知函数，其中，，．（1）当，时，讨论函数的单调性；（2）已知，，，且函数有两个零点，，求证：对任意的正实数，都存在满足条件的实数，使得成立．【解析】解：（1）的定义域为，．令，即．①当时，△，设的根，则，，解得或（舍，在上是减函数，在上是增函数．②当时，若，则恒成立，在上是减函数；若，解得，在上是减函数，在上是增函数．综上所述，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是．当时，若，的单调递减区间是，无增区间；若，的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）证明：因为，，所以，则．因为，所以，所以方程在上有唯一的实数根，记为，所以，所以．且当时，，单调递减．当，时，，单调递增．因为函数有两个不等的零点，所以，即，将代入上式可得：，显然，则．取，则．另取，则．令，则，则函数单调递增，所以，即，所以对于，所以当时，函数有两个零点．因为，所以．下证：对任意的，都存在，使得．因为，对于任意的，令，则，即对于任意的正实数，都存在满足条件的实数，使得．14．已