导数压轴专题突破-第22讲 极值点偏移问题（含答案及解析）

第22讲极值点偏移问题【典型例题】例1．已知函数，是常数且．（1）若曲线在处的切线经过点，求的值；（2）若是自然对数的底数），试证明：①函数有两个零点，②函数的两个零点，满足．例2．已知函数．（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）若函数有两个零点，，证明．例3．已知函数且（其中为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断的单调性；（Ⅲ）若有两个不相等实根，，证明：．例4．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，，求证：．例5．已知函数，．（1）若，讨论函数的单调性；（2）是否存在实数，对任意，，，有恒成立，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由；（3）记，如果，是函数的两个零点，且，是的导函数，证明：．例6．设函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数有两个零点，．（ⅰ）求满足条件的最小正整数的值；（ⅱ）求证：．例7．设函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数有两个零点，（1）求满足条件的最小正整数的值；（2）求证：．例8．已知函数，其中为自然对数的底数，．是函数的极大值或极小值，则称为函数的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点．（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）判断函数的极值点的个数，并说明理由；（3）当函数有两个不相等的极值点和时，证明：．例9．已知函数，．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若与的图象有两个交点，，，，求证：．（取为2.8，取为0.7，取为【同步练习】1．已知函数，．（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．2．已知函数，．（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数，满足，求证：．3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．4．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，为两个不相等的正数，，证明：．5．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，；（Ⅲ）如果，且，证明：．6．已知函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：．7．已知函数（其中，为自然对数的底数，．（1）若仅有一个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，有两个零点，，且．8．已知函数为常数），是的导函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）已知有两个零点，，求证：．9．设函数，，其图象与轴交于，，，两点，且．（1）求的取值范围；（2）证明：．10．设函数其图象与轴交于，，，两点，且．（1）求的单调区间和极值点；（2）证明：是的导函数）；（3）证明：．11．已知函数在处的切线与直线平行．（1）求实数的值，并求的极值；（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：．

第22讲极值点偏移问题【典型例题】例1．已知函数，是常数且．（1）若曲线在处的切线经过点，求的值；（2）若是自然对数的底数），试证明：①函数有两个零点，②函数的两个零点，满足．【解析】（1）解：切线的斜率（1）（1），，即，解得；（2）证明：①由，得，当时，；当时，，在处取得最大值，（1），，，在区间有零点，在区间单调递增，在区间有唯一零点．由幂函数与对数函数单调性比较及的单调性知，在区间有唯一零点，从而函数有两个零点．②不妨设，作函数，，则，．，即，，又，．，，在区间单调递减，，．又，，．例2．已知函数．（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）若函数有两个零点，，证明．【解析】解：（1）由，得，设切点横坐标为，依题意得，解得，即实数的值为1．（2）不妨设，由，得，即，所以，令，则，设，则，即函数在上递减，所以（1），从而，即．例3．已知函数且（其中为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断的单调性；（Ⅲ）若有两个不相等实根，，证明：．【解析】解：（Ⅰ），解得，所以函数解析式为；（Ⅱ）函数的定义域为，，设，，在上，恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，又，则在上，在上．所以函数在上单调递增，在上单调递减；（Ⅲ）证明：构造函数，，，设，当时，，设，且，可知在上单调递减，且（e），所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上单调递增，不妨设，由（Ⅱ）知，即，因为，所以，由（Ⅱ）知在上单调递减，得，所以．例4．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，，求证：．【解析】（1）解：，当时，，函数在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增．（2）证明：由题意得，两式相减得，不妨设，由，得，令，，因为当时，，所以在上单调递减，所以当时，，又，故．例5．已知函数，．（1）若，讨论函数的单调性；（2）是否存在实数，对任意，，，有恒成立，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由；（3）记，如果，是函数的两个零点，且，是的导函数，证明：．【解析】解：（1）的定义域为，，①若，则，，在上单调递增；②若，则，而，，当时，；当及时，所以在上单调递减，在及单调递增；③若，则，同理可得在上单调递减，在及单调递增．（2）假设存在，对任意，，，有恒成立，不妨设，只要，即，令，只要在上为增函数，，只要在恒成立，只要，故存在时，对任意，，，有恒成立．（3）证明：由题意知，，两式相减，整理得，所以，又因为，所以，令，则，所以在上单调递减，故（1），又，所以．例6．设函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数有两个零点，．（ⅰ）求满足条件的最小正整数的值；（ⅱ）求证：．【解析】解：（Ⅰ）．（1分）当时，在上恒成立，所以函数单调递增区间为，此时无单调减区间．（2分）当时，由，得，，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为．（3分）（Ⅱ）．因为函数有两个零点，所以，此时函数在单调递增，在单调递减．（4分）所以的最小值，即．（5分）因为，所以．令，显然（a）在上为增函数，且，所以存在，．（6分）当时，（a）；当时，（a），所以满足条件的最小正整数．（7分）又当时，（3），（1），所以时，有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数的值为3．（8分）证明：不妨设，于是，即，．所以．（10分）因为，当时，，当时，，故只要证即可，即证明，（11分）即证，也就是证．（12分）设．令，则．因为，所以，（13分）当且仅当时，，所以在上是增函数．又（1），所以当，总成立，所以原题得证．（14分）例7．设函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数有两个零点，（1）求满足条件的最小正整数的值；（2）求证：．【解析】解：（Ⅰ），．当时，在上恒成立，所以函数单调递增区间为，此时无单调减区间；当时，由，得，，得，所以函数的单调增区间为，，单调减区间为；（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可知函数有两个零点，所以，的最小值，即，，，令，显然（a）在上为增函数，且存在，，当时，（a）；当时，（a），所以满足条件的最小正整数．又当时，（3），，（1），所以时，有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数的值为3．（2）证明：不妨设，于是，．，因为，当时，；当时，．故只要证即可，即证明．，即证．也就是证．设．令，则．，所以，当且仅当时，，所以在上是增函数．又（1），所以当，总成立，所以原题得证．例8．已知函数，其中为自然对数的底数，．是函数的极大值或极小值，则称为函数的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点．（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）判断函数的极值点的个数，并说明理由；（3）当函数有两个不相等的极值点和时，证明：．【解析】解：（1）在上恒成立，即在上恒成立，令，，，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以（1），所以．所以的取值范围为，．（2），令，则，①当时，，在上单调递增，又，，于是在上有一个零点，，0极小值于是函数的有1个极值点，②当时，单调递增，于是函数没有极值点，③当时，由，得，0，当且仅当时，取“”号，所以函数在上单调递增，所以函数没有极值点．④当时，0，，又因为，所以（a），于是，函数在和上各有一个零点，分别为，，，，00极大值极小值于是有2个极值点，综上，当时，函数有1个极值点，当时，函数没有极值点，当时，函数有2个极值点．（3）证明：当函数有两个不等的极值点和时，由（2）知且，，令，，由，得，0非极值点，即，即，因为，，在上单调递增，所以，即，又，所以．例9．已知函数，．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若与的图象有两个交点，，，，求证：．（取为2.8，取为0.7，取为【解析】（1）解：，则，在上单调递增，对，都有，即对，都有，，，故实数的取值范围是，；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，（1），故的最小值为；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，，即，不妨令，记，令，则，在上单调递增，则，，则，，又，，即，令，则时，，在上单调递增，又，，则，即．【同步练习】1．已知函数，．（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．【解析】解：（Ⅰ）因为，所以，因为在处取得极值，所以（1），解得：．验证：当时，，易得在处取得极大值．（Ⅱ）因为，所以，①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当，时，，函数在，上单调递减．②若，，当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减．（Ⅲ）证明：当时，，因为，所以，即，所以，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为1．所以，即，所以或，因为，为正实数，所以当时，，此时不存在，满足条件，所以．2．已知函数，．（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数，满足，求证：．【解析】（1）解：因为，所以，因为在处取得极值，所以（1），解得：．验证：当时，，易得在处取得极大值．（2）解：因为，所以，①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当，时，，函数在，上单调递减．②若，，当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减．（3）证明：当时，，因为，所以，即，所以，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为1．所以，即，所以或，因为，为正实数，所以，因为当时，，不满足，所以．3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．【解析】（1）解：由函数的解析式可得，，，单调递增，，，单调递减，则在单调递增，在单调递减．（2）证明：由，得，即，由（1）在单调递增，在单调递减，所以（1），且（e），令，，则，为的两根，其中．不妨令，，则，先证，即证，即证，令，则在单调递减，所以（1），故函数在单调递增，（1）．，，得证．同理，要证，（法一）即证，根据（1）中单调性，即证，令，，则，令，，，单调递增，，，，单调递减，又时，，且（e），故，（1）（1），恒成立，得证，（法二），，又，故，，故，，令，，，在上，，单调递增，所以（e），即，所以，得证，则．4．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，为两个不相等的正数，，证明：．【解析】解：，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，证明：由，得，令，，则，是的两根，不妨令，，则，，要证，即证，即，令，则，所以在单调递减，（1），所以，所以，5．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，；（Ⅲ）如果，且，证明：．【解析】解：（Ⅰ）解：令，解得当变化时，，的变化情况如下表10增极大值减所以在内是增函数，在内是减函数．函数在处取得极大值（1）且（1）．（Ⅱ）证明：由题意可知，得令，即于是当时，，从而，又，所以，从而函数在，是增函数．又（1），所以时，有（1），即．（Ⅲ）证明：（1）若，由及，则．与矛盾．（2）若，由及，得．与矛盾．根据（1）（2）得，不妨设，．由（Ⅱ）可知，，则，所以，从而．因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数在区间内是增函数，所以，即．6．已知函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：．【解析】解：（1）的导数为，则函数在处的切线斜率为，又切点为，则切线的方程为，即；（2）设函数，与函数具有相同的零点，，知函数在上递减，上递增，当，；可证当时，，即，即此时，当时，，有两个零点，只需（1），即；证明：方法一：设函数，则，且对恒成立即当时，单调递减，此时，（1），即当时，，由已知，则，则有由于函数在上递增，即，即．方法二：故．设，则，且，解得，，要证：，即证明，即证明，设，，令，，则，在上单调增，（1），在上单调增，则（1）．即时，成立，7．已知函数（其中，为自然对数的底数，．（1）若仅有一个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，有两个零点，，且．【解析】（1）解：，由得到或由于仅有一个极值点，关于的方程必无解，①当时，无解，符合题意，②当时，由得，故由得，由于这两种情况都有，当时，，于是为减函数，当时，，于是为增函数，仅为的极值点，综上可得的取值范围是，；（2）证明：由（1）当时，为的极小值点，又对于恒成立，对于恒成立，对于恒成立，当时，有一个零点，当时，有另一个零点，即，，且，所以，下面再证明，即证，由得，由于，为减函数，于是只需证明，也就是证明，，借助代换可得，令，则，为的减函数，且，在恒成立，于是为的减函数，即，，这就证明了，综上所述，．8．已知函数为常数），是的导函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）已知有两个零点，，求证：．【解析】证明：（Ⅰ）．当时，则，即在上是增函数，当时，由，得．当时，；当，时，．即在上是减函数，在上是增函数，（Ⅱ）证明：设，，当且仅当时等号成立，但，，即在上是增函数，所以不等式恒成立．（Ⅲ）由知，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，故，从而的最小为，且．设，，，，，则．由得．，，且在上是增函数又，．于是，在上减函数，．9．设函数，，其图象与轴交于，，，两点，且．（1）求的取值范围；（2）证明：．【解析】解：（1），