浙江省衢州二中2025届高三数学下学期6月模拟考试试题含解析

PAGE25-浙江省衢州二中2025届高三数学下学期6月模拟考试试题（含解析）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，，．故选C．考点：集合的运算．2.双曲线的实轴长为（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】分析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.【详解】由可得：，，即，实轴长，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简洁几何性质，属于简洁题.3.若实数x，y满意约束条件，则的最小值是（）A. B.5 C.-1 D.-2【答案】C【解析】【分析】作出可行域及的图象，数形结合即可求解.【详解】作可行域如图，由可得，作图象，

由图象可知，当向上平移过点A时，最大，即最小，令，由可得，所以，故选：C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题.4.若a，b为正实数，则是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】（1）由，可得，依据不等式的性质可得，即充分性成立；通过举反例说明必要性不成立，即可得解；【详解】解：因为，a，b为正实数，所以，所以，即，所以，所以是的充分条件，当时，所以，，所以，即，当，时满意，但故必要性不成立，故是的充分不必要条件，故选：A【点睛】考查时，的大小关系，以及充分条件，必要条件，充要条件的概念，属于中档题．5.将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题首先可依据诱导公式以及二倍角公式将函数转化为，然后依据三角函数平移的相关性质得出平移后的函数为，最终依据函数为偶函数即可得出结果.详解】令，则，设向右平移个单位长度后得到的函数为，则，因为函数为偶函数，所以，解得，因为，所以的最小值为，故选：D.【点睛】本题考查诱导公式、二倍角公式、三角函数图像的平移以及三角函数的奇偶性，考查的公式有、，考查计算实力，考查化归与转化思想，是中档题.6.已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）

A. B.20 C. D.【答案】C【解析】【分析】先还原几何体，再结合各侧面形态求面积，最终求和得结果.【详解】还原几何体得，如图，几何体的表面积为故选：C【点睛】本题考查三视图、几何体表面积，考查空间想象实力以及基本分析求解实力，属基础题.7.已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】依据数学期望以及方差的公式求解即可.【详解】设原来7个数分别为由，则由则所以故选：B【点睛】本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.8.将含有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂医疗队平均分成两组支配到武汉的A、B两所医院，其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A医院，且甲、丁不在同一所医院，则满意要求的不同支配方法共有（）A.36种 B.32种 C.24种 D.20种【答案】A【解析】【分析】从甲、乙、丙3人在A医院的人数进行分类，逐类求解，留意关注丁的限制条件.【详解】从甲、乙、丙3人在A医院的人数进行分类：若三人中只有一人在A医院，则甲在A医院时有种方案，乙、丙两人之一在A医院时有种方案；若三人中只有两人在A医院，则含有甲时有种方案，乙、丙两人同时在A医院时有种方案；若三人均在A医院，则有种方案；所以共有36种支配方案.故选：A.【点睛】本题主要考查组合在实际问题中的应用，合理分类是求解问题的关键，优先关注特别元素的限制条件，侧重考查数学运算的核心素养.9.正三棱锥中，，M为棱PA上的动点，令为BM与AC所成的角，为BM与底面ABC所成的角，为二面角所成的角，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，不妨令为的中点，利用空间向量法求异面直线的角与线面角；【详解】解：设正三棱锥的底面边长为6，高为，如图所示建立空间直角坐标系，不妨令为的中点，

则，，，，，，，，，，所以，过作交于点，所以，即为BM与底面ABC所成的角，所以，所以，所以明显面的法向量可为，设面的法向量为，所以令，则，，即，所以，当时，；当时，；当时，，故CD不成立；故选：B【点睛】本题考查利用空间向量法求空间角，属于中档题.10.若函数有零点，则b的取值范围是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将函数的零点问题转化为函数与的图象的交点问题，得出，构造函数，利用导数得出的取值范围.【详解】函数有零点，则方程有解，则方程有解即函数与的图象在上有交点；在上单调递减，在上单调递增在上单调递增函数与的图象在上有交点，即当时，；当时，，则令，在上单调递减，且则时，即故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数探讨函数的零点问题，属于难档题.11.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传闻中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，则甲壳上全部阴阳数之和__________；若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三个数之和等于15概率是__________．【答案】(1).45(2).【解析】【分析】由洛书上全部数相加即得和，用列举法列出从五个阳数中随机抽取三个数全部基本领件，求和后知和为15的基本领件的个数，从而可得概率．【详解】甲壳上全部阴阳数之和为（或），五个阳数是1,3，5,7，9，任取3个数所得基本领件有：135,137,139,157,159,179,357,359,379,579共10个，其中和为15的有159,357共2个，所求概率为．故答案为：45；．【点睛】本题考查数学文化，考查古典概型，用列举法是解决古典概型的常用方法．通过中国古代数学文化激发学生的学习爱好，激发学生求知欲和创新意识，拓展学生的思维，培育学生的爱国情怀．12.设复数z满意（i为虚数单位），则复数z的实部为__________；__________．【答案】(1).－1(2).2【解析】【分析】由复数的除法运算求得，可得其实部，得其共轭复数，然后由乘法运算计算．【详解】由题意，实部为－1，．故答案为：－1；2．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的概念、共轭复数的概念，属于基础题．13.已知，则__________；__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】依据的绽开式的通项，得出，再令，得出其次空答案.【详解】的绽开式的通项为令，解得，此时的绽开式中的系数为则令，则即故答案为：；【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题.14.设，是椭圆的左、右焦点，过的直线l与C交于A，B两点，若，，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】设，，由椭圆的定义和直角三角形求出（用表示），然后再由勾股定理建立的等式，求得离心率．【详解】∵，∴可设，，由得，又，∴，化简得，明显，∴，∴，，在中，，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等式，本题中焦点三角形是直角三角形，因此利用椭圆定义结合勾股定理列式求解．15.已知函数的值域为，则实数t的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先分类求值域A,再依据为A的子集求实数t的取值范围.【详解】令，当时，，因为在上单调递增，因此值域为为的子集，所以；当时，，为的子集，所以；当时，，当且仅当时取等号，因为为的子集，所以；综上，故答案为：【点睛】本题考查函数值域、利用基本不等式求值域，考查分类探讨思想方法以及基本求解实力，属中档题.16.若且满意，令，则M的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】由得，代入其次个等式整理后，作为关于的方程有实数解，由得的取值范围，此方程作为的二次方程有实数解，同样由得的范围，假如消去代入得二次方程，由得取值范围，可确定值．最终比较大小确定最大值.【详解】因为，所以，代入整理得，作为的二次方程它有实数解，所以，解得，此方程整理为，关于的方程有实数解，则，解得，若由代入整理得，同理由得，∵，∴由得的最大值是，此时或．故答案为：．【点睛】本题考查新定义，理解新定义数是解题关键，解题时通过消元法得一个一元二次方程，利用一元二次方程有实数解，判别式分别求出的取值范围，然后求得最大值，只要取这个最大值时，有对应的取值即可．17.已知平面对量，，，满意，，，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】不妨设，则可得对应点在上，依据得对应点在上，依据点与圆位置关系确定的最大值取法，最终依据柯西不等式求最值.【详解】设，则因为，所以对应点在上，设因此，当且仅当时取等号因此的最大值为故答案为：【点睛】本题考查向量模的坐标表示、柯西不等式求最值、向量数量积坐标表示，考查综合分析求解实力，属较难题.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设BC若中点为D，且，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理的角化边公式化简得到，结合余弦定理解出角的大小；（Ⅱ）设，在中，由正弦定理得出，，利用两角差的正弦公式以及协助角公式化简得出，结合，利用正弦函数的性质得出的取值范围．【详解】（Ⅰ）由正弦定理的角化边公式得，即（Ⅱ）设，则中，由可知由正弦定理及可得所以，所以由可知，，【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，涉及了正弦型函数求值域，属于中档题.19.如图，矩形ABCD中，，E为CD中点，以BE为折痕把四边形ABED折起，使A达到P的位置，且，M，N，F分别为PB，BC，EC的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线ND与平面MEC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依据计算可得,再依据线面垂直判定得平面,即得结果；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用空间向量求直线ND与平面MEC所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）设,即；平面,平面,平面,,（Ⅱ）平面,所以以为坐标原点，所在直线为轴，平行直线为轴建立如图所示空间直角坐标系:则因为设平面MEC一个法向量为由得令得因此直线ND与平面MEC所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直推断与性质定理、利用空间向量求线面角，考查综合分析论证与求解实力，属中档题.20.已知等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．设、的前n项和分别为、，若，．（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：．【答案】（1），（2）详见解析【解析】【分析】（1）首先可以令得到，然后令求出，令求出，再依据数列是等比数列即可求出以及，最终依据即可求出；（2）首先可依据（1）得出，然后令证得，最终令，依据等比数列前项和公式即可证得.【详解】（1）令，则，当时，；当时，，因为数列是等比数列，所以，解得，故，，，当时，；当时，，因为数列是等差数列，所以，综上所述，，，（2）因为，所以，当时，；当时，，故成立.【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列不等式恒成立问题，考查数列的项与数列的前项和之间的关系，若数列的前项和为，则，考查等比数列前项和公式，考查计算实力，考查转化与化归思想，是难题.21.已知抛物线，焦点为F，过外一点Q（不在x轴上），作的两条切线，切点分别为A，B，直线QA，QB分别交y轴于C，D两点，记的外心为M，的外心为T．（1）若，求线段CF的长度；（2）当点Q在曲线上运动时，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由确定切点的坐标，设方程为，由和点在切线上求出切线方程，则点坐标可求，从而线段CF的长度可求.（2）设、方程，联立抛物线方程，表示出的坐标，求出线段的中垂线方程，求出，求出线段的中垂线方程，由两中垂线方程求出的坐标，采纳同样的方法确定的外心为，表示出，用换元法可求最大值.【详解】解：，由题意知，直线，的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，设方程为，不妨设，，，设，(1)，，，则，，所以，，，所以线段CF的长度为.(2)，设，设方程为，，同理，，的中点，，中垂线方程为，，即，线段的中点，线段的中垂线方程为，，，所以，，，线段的中垂线方程为，的中点，，中垂线方程为，，，，在上，所以，令，，，，令，，开口向下，，所以的最大值为.【点睛】以直线、三角形的外心、抛物线和椭圆为载体，求向量数量积的最大值，综合考查学生的运算求解实力、逻辑思维实力以及换元的思想方法，运算量大，变量多，属于难题.22.已知函数，，.（1）当时，探讨函数的零点个数．（2）的最小值为，求的最小值．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数推断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2），求导得，可以推断存在零点，可以求出函数的最小值为，可以证明出：，，可证明在上有零点，的最小值为，结合，可求的最小值为.【详解】（1）的定义域为，.①当时，，单调递增，又，，所以函数有唯一零点；②当时，恒成立，所以函数无零点；③当时，令