2025届高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形作业试题1含解析新人教版

PAGE第四章三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形练好题﹒考点自测1.[2024全国卷Ⅲ,5分]在△ABC中,cosC=QUOTE,AC=4,BC=3,则cosB= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.[2017山东,5分]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满意sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形 ()A.无解 B.有一解C.有两解 D.解的个数不确定4.[多选题]已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 ()A.若A>B,则必有sinA>sinBB.若A=60°,a=4QUOTE,b=4QUOTE,则B=45°或B=135°C.若满意条件C=60°,AB=QUOTE,BC=a的△ABC有两个,则实数a的取值范围是(QUOTE,2)D.若acosB=bcosA,则△ABC是等腰三角形5.[2024全国卷Ⅱ,5分]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=QUOTE,则△ABC的面积为.

6.[2024浙江,6分]在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.

7.[2016全国卷Ⅱ,5分]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,a=1,则b=.

8.[2024深圳市高三统一测试]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(a-c)sinC,b=2,则△ABC的外接圆面积为.

9.[湖北高考,5分]如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,到A处时测得马路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.

图4-4-1拓展变式1.(1)[2024江淮十校联考]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asinA-bsinB=2csinC,cosA=QUOTE,则QUOTE= ()A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形ABC中,b=2,a+c=QUOTE(a>c),且满意2asinBcosC+2csinBcosA=QUOTEb,则a-c=.

2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(1)若QUOTE<cosA,则△ABC的形态为.

(2)若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形态为.

3.[2024河南洛阳4月模拟]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若△ABC的面积S满意4QUOTES+c2=a2+b2,c=QUOTE,a=4,且b>c,求b的值;(2)若a=QUOTE,A=QUOTE,且△ABC为锐角三角形,求△ABC周长的取值范围.4.[2024全国卷Ⅰ,12分]在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2QUOTE,求BC.5.(1)[解三角形与数列、基本不等式综合]设△ABC的角A,B,C成等差数列,且满意sin(A-C)-sinB=-QUOTE,BC延长线上有一点D,满意BD=2,则△ACD面积的最大值为()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE(2)[新课标全国Ⅰ,5分]在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.

6.[2024山东,5分]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=QUOTE,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

图4-4-6答案第四讲正、余弦定理及解三角形1.A由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=16+9-2×4×3×QUOTE=9,AB=3,所以cosB=QUOTE=QUOTE,故选A.2.A由题意可知sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),即2sinBcosC=sinAcosC,又cosC≠0,故2sinB=sinA,由正弦定理可知a=2b.故选A.3.C∵bsinA=12QUOTE<a<b,∴三角形有两解.4.ACD对于A,在△ABC中,若A>B,则a>b,由QUOTE=QUOTE,得sinA>sinB,A正确;对于B,由QUOTE=QUOTE得sinB=QUOTEsinA=QUOTE×QUOTE=QUOTE,因为a>b,所以B<A,所以B=45°,B错误;对于C,由条件可得BC·sinC<AB<BC,即QUOTEa<QUOTE<a,解得QUOTE<a<2,C正确;对于D,由acosB=bcosA得sinAcosB=sinBcosA,即sin(A-B)=0,又A,B为三角形的内角,所以A=B,故△ABC是等腰三角形,D正确.故选ACD.5.6QUOTE因为a=2c,b=6,B=QUOTE,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccosQUOTE,得c=2QUOTE,所以a=4QUOTE,所以△ABC的面积S=QUOTEacsinB=QUOTE×4QUOTE×2QUOTE×sinQUOTE=6QUOTE.6.QUOTEQUOTE在Rt△ABC中,易得AC=5,sinC=QUOTE=QUOTE.在△BCD中,由正弦定理得BD=QUOTE×sin∠BCD=QUOTE×QUOTE=QUOTE,sin∠DBC=sin[180°-(∠BCD+∠BDC)]=sin(∠BCD+∠BDC)=sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.又∠ABD+∠DBC=90°,所以cos∠ABD=sin∠DBC=QUOTE.7.QUOTE解法一因为cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,所以sinA=QUOTE,sinC=QUOTE,从而sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得b=QUOTE=QUOTE.解法二因为cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,所以sinA=QUOTE,sinC=QUOTE,从而cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得c=QUOTE=QUOTE.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b=QUOTE.解法三因为cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,所以sinA=QUOTE,sinC=QUOTE,由正弦定理QUOTE=QUOTE,得c=QUOTE=QUOTE.从而b=acosC+ccosA=QUOTE.8.QUOTEπ利用正弦定理将已知等式转化为(a+b)(a-b)=(a-c)c,即a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cosB=QUOTE=QUOTE,因为0°<B<180°,所以B=60°.设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理知,2R=QUOTE=QUOTE,R=QUOTE,所以△ABC的外接圆面积S=πR2=QUOTEπ.9.100QUOTE由题意,得∠BAC=30°,∠ABC=105°.在△ABC中,因为∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠ACB=45°.因为AB=600m,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即BC=300QUOTEm.在Rt△BCD中,因为∠CBD=30°,BC=300QUOTEm,所以tan30°=QUOTE=QUOTE,所以CD=100QUOTEm.1.(1)D因为△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2asinA-bsinB=2csinC,利用正弦定理将角化为边可得2a2-b2=2c2①,由①及余弦定理可得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,化简得QUOTE=1,即QUOTE=1,故选D.(2)QUOTE因为2asinBcosC+2csinBcosA=QUOTEb,所以2sinAsinBcosC+2sinCsinBcosA=QUOTEsinB.在锐角三角形ABC中,sinB>0,所以2sinAcosC+2sinCcosA=QUOTE,即sin(A+C)=QUOTE,所以sinB=QUOTE,cosB=QUOTE.因为b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,所以ac=1.因为(a-c)2=(a+c)2-4ac=7-4=3,且a>c,所以a-c=QUOTE.2.(1)钝角三角形已知QUOTE<cosA,由正弦定理,得QUOTE<cosA,即sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,即B为钝角,所以△ABC是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形因为c-acosB=(2a-b)cosA,所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,又C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B),所以sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以cosA(sinB-sinA)=0,所以cosA=0或sinB=sinA,所以A=QUOTE或B=A(B=π-A舍去),所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为4QUOTES=a2+b2-c2,所以4QUOTE×QUOTEabsinC=2abcosC,所以tanC=QUOTE,又0<C<π,所以C=QUOTE.由余弦定理及c=QUOTE,a=4,得cosQUOTE=QUOTE,解得b=3QUOTE或b=QUOTE.因为b>c=QUOTE,所以b=3QUOTE.(2)由正弦定理及a=QUOTE,A=QUOTE得QUOTE=QUOTE=QUOTE,故b=2sinB,c=2sinC=2sin(QUOTE-B).则△ABC的周长为QUOTE+2sinB+2sin(QUOTE-B)=QUOTE+QUOTEcosB+3sinB=QUOTE+2QUOTEsin(B+QUOTE).由题意可知QUOTE解得QUOTE<B<QUOTE.所以QUOTE<B+QUOTE<QUOTE,故QUOTE<sin(B+QUOTE)≤1,因此三角形ABC周长的取值范围为(3+QUOTE,3QUOTE].4.(1)在△ABD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE.由题设知,QUOTE=QUOTE,所以sin∠ADB=QUOTE.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=QUOTE=QUOTE.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=QUOTE.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2×BD×DC×cos∠BDC=25+8-2×5×2QUOTE×QUOTE=25,所以BC=5.5.(1)B因为△ABC的角A,B,C成等差数列,所以B=QUOTE,又sin(A-C)-sinB=-QUOTE,所以A=B=C=QUOTE,设△ABC的边长为x,由已知有0<x<2,则S△ACD=QUOTEx(2-x)sinQUOTE=QUOTEx(2-x)≤QUOTE(Q