江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题含解析

PAGE16-江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题（含解析）一､单项选择题1.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（）X3459PA. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.【详解】，解得.故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量分布列，属于基础题.2.已知复数，则在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，∴在复平面上对应的点位于第三象限，故选C.考点：复数的运算和几何意义.3.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.4.函数y=x2㏑x的单调递减区间为A.（1,1] B.（0,1] C.[1，+∞） D.（0，+∞）【答案】B【解析】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数单调减区间为，故选B考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，留意函数本身隐含的定义域5.函数在上的最大值为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数在上的极值，结合区间端点的函数值进行比较即可求出最大值.【详解】，当时，有，因此当时，函数单调递增；当时，有，因此当时，函数单调递减，因此是函数在上的极大值点，极大值为，而，，因为，所以在上的最大值为.故选：B【点睛】本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，考查了数学运算实力.6.在的绽开式中的系数是()A. B. C. D.207【答案】C【解析】【分析】依据的产生过程，由二项绽开式的通项公式，即可简洁求得结果.【详解】的通项公式为，故可得其的系数为，的系数为，故简洁得在的绽开式中的系数为.故选：C.【点睛】本题考查由二项式定理求指定项的系数，属基础题.7.在学校的一次数学讲题竞赛中，高一、高二、高三分别有2名、2名、3名同学获奖，将这七名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有()A.12种 B.36种 C.72种 D.144种【答案】D【解析】【分析】将相邻元素捆绑，对3个元素进行排序，再进行内部排序，则问题得解.【详解】将相邻元素捆绑，对3个元素进行排序，再进行内部排序，则共有种.故选：D【点睛】本题考查简洁排列问题的求解，属基础题.8.已知函数是函数的导函数，，对随意实数都有，设则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∵对随意实数都有∴，即在上为单调减函数又∵∴∴不等式等价于∴不等式的解集为故选B点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数探讨对应函数单调性，而对应函数须要构造.构造协助函数常依据导数法则进行：如构造，，构造，构造，构造等.二､多项选择题9.已知为虚数单位，则下面命题正确的是（）A.若复数，则．B.复数满意，在复平面内对应的点为，则．C.若复数，满意，则．D.复数的虚部是3．【答案】ABC【解析】【分析】干脆运算可推断A；由复数的几何意义和复数模的概念可推断B；由共轭复数的概念，运算后可推断C；由复数虚部的概念可推断D；即可得解.【详解】由，故A正确；由在复平面内对应的点为，则，即，则，故B正确；设复数，则，所以，故C正确；复数的虚部是-3，故D不正确.故选：A、B、C【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题.10.已知函数的定义域为，部分对应值如下表：0451221的导函数的图象如图所示，关于的命题正确的是（）A.函数是周期函数B.函数在上是减函数C.函数的零点个数可能为0，1，2，3，4D.当时，函数有4个零点【答案】BC【解析】【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证即可得到答案.【详解】由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：

由图得：A为假命题，函数不能断定为是周期函数；B为真命题，因为在上导函数为负，故原函数递减；C为真命题，动直线与图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个；D为假命题，当离1特别接近时，对于其次个图，有2个零点，也可以是3个零点，故选：BC.【点睛】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系,二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减，考查了通过函数图象探讨零点的个数，属于中档题.11.有6本不同的书，按下列方式进行安排，其中安排种数正确的是（）A.分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；【答案】ABC【解析】【分析】选项，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最终的2本书给丙.依据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项，先分堆再安排.先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲､乙､丙三人.依据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.依据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项，先分堆再安排.先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人.依据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.【详解】对，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最终的2本书给丙，有种方法.所以不同的安排方法有种，故正确；对，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的安排方法有种，故正确；对，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的安排方法有种，故正确；对，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；再分给甲乙丙丁四人，所以不同的安排方法有种，故错误.故选：.【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理实力，属于中档题.12.对随意实数，有.则下列结论成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】分析】依据题意，将整理为的表达式，得到的二项绽开式，从而可以依据二项绽开式的通项公式和赋值法，即可推断正误.【详解】对随意实数x，有，∴故A正确；故令，可得，故B不正确；令，可得，故C正确；令，可得，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题考查了二项式定理，考查了赋值法求和，考查了转化思想，属于较难题.三､填空题13.已知其中为虚数单位，则____．【答案】1【解析】【分析】依据复数的除法先对等式化简，然后依据复数相等的充要条件可得关于的方程组，解出可得．【详解】，即，由复数相等的条件，得，解得，∴.故答案为：．【点睛】本题考查复数的除法和复数相等的充要条件，属基础题．14.将四个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有______种(结果用数字表示).【答案】【解析】【分析】依据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：依据题意，四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；则没有空盒的放法有种；故答案为：【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.已知函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】求导得，转化条件为在区间内恒成立，令，求导后求得即可得解.【详解】，，函数在区间内是减函数，在区间内恒成立，即在区间内恒成立，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，，，.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解实力与推理实力，属于中档题.16.已知在的绽开式中，第6项为常数项，则______.【答案】【解析】【分析】在二项式的绽开式的通项公式中，令，可得的次数为0，求得的值．【详解】解：二项式的绽开式的通项公式为，令，可得，求得．故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.四､解答题17.已知复数.（1）当实数为何值时，复数为纯虚数；（2）当时，计算.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由复数为纯虚数得出其实部为零，虚部不为零，进而可解得实数的值；（2）当时，由复数的四则运算法则可计算得出的值.【详解】（1）复数为纯虚数，则，解得；（2）当时，，.【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了复数的计算，考查计算实力，属于基础题.18.已知函数，曲线在点处的切线为.（1）求的值；（2）求函数的极值.【答案】（1）；（2）微小值为，无极大值.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用，可得．（2）由（1）可得函数的解析式，利用导数探讨函数的单调性，从而得到函数的极值；【详解】解：（1）因为，所以因为曲线在点处的切线为.所以，解得（2）由（1）可得，所以，令解得，即函数在上单调递增，令解得，即函数在上单调递减，故函数在处取得微小值，所以，无极大值.【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算实力，属于中档题．19.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问（1）能够组成多少个五位奇数？（2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】【分析】（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可；（2）依据题意，按数字的位数分5种状况探讨，求出每种状况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可；【详解】解：（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有种，其余4个数全排列有种，依据分步乘法计数原理可得有个五位奇数；（2）依据题意，若组成一位数，有5种状况，即可以有5个一位数；若组成两位数，有种状况，即可以有20个两位数；若组成三位数，有种状况，即可以有60个三位数；若组成四位数，有种状况，即可以有120个四位数；若组成五位数，有种状况，即可以有120个五位数；则可以有个正整数；（3）依据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种状况；在剩下的4个数，支配在后面四位，共有种状况，则有个比40000大的正整数；【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．20.已知二项式的绽开式中前三项的系数成等差数列．(1)求的值；(2)设．①求的值；②求的值.【答案】(1)n＝8;(2)①,②.【解析】【详解】（1）由题设，得，即，解得n＝8，n＝1（舍去）．(2)①,令，②在等式的两边取,得.【点睛】解决此类问题，要留意二项绽开式的系数和二次项系数不是一回事，要区分对待，解决二项绽开式的系数问题，通常用“赋值法”.21.已知某校有歌颂和舞蹈两个爱好小组，其中歌颂组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校支配从两爱好小组中各选2名同学参与演出.（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记为选出的4名同学中女生的人数，求的分布列.【答案】（1）56种；（2）的分布列为：0123【解析】【分析】（1）依据组合的定义分别求出从两爱好小组中各选2名同学参与演出的选派方法数、选出的4名同学中有3名女生的选派方法数，最终利用减法进行求解即可.（2）的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列即可.【详解】（1）从两爱好小组中各选2名同学参与演出的选派方法数为：种，选出的4名同学中有3名女生的选派方法数为：种，因此选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为种；（2）的可能取值为，，，，，所以的分布列为：0123点睛】本题考查了组合问题，考查了离散型随机变量分布列，考查了数学运算实力.22.已知函数．(I)探讨的单调性；(II)若时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过探讨a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过探讨a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【详解】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为，，①当时，，f(x)在上为增函数.②当a>0时，由得；由得,所以f(x)在上为减函数，在上为增函数.综上所述，①当时，函数f(x)在上