第15讲最值问题之阿氏圆（PAkPB）（原卷）

第15讲最值问题之阿氏圆（PA+k·PB）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA+PB的最小值为模型特征：点p在圆上运动（和胡不归对比）解题思路：①“12PA+PB”，注意这个12，题中一定会给比值为②在CA（圆心和圆外点的连线）边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=1③k的本质是圆心和圆心和直线外的点的连线的比值，若本题改为求PA+kPB最小值，根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为2④取点方法：P为动点，假设P,D重合，因此当M时CD中点时，满足CM=1⑤题目的本质：CM问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【变式】如图，在扇形COD中，∠COD=90°，OC=3,A是OC中点，OB=2,P是弧CD上一点，则PB+2PA的最小值为。【解析】连接OP,转化2PA。故延长OC至E，使CE=2OP则△OAP∽△OPE得OAOP=APPE→PE=2AP→PB+2PA=PB+PE，即PB+2PA的最小值即为线段B一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（

A．7 B．52 C．4+10 D．二、填空题2．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为___________．3．如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限内一动点，OP=2，连接AP、BP，则BP+12AP4．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA＋PB的最小值为________．5．如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+22PC6．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是_____7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____8．如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为___________．9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.三、解答题10．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①AP+1②2AP+BP，③13④AP+3BP的最小值．11．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋22AD（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋22AD12．如图，点A、B在⊙O上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在⊙O上．求2PC＋PD的最小值．13．如图1，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求2414．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12PA15．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(3，0)，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求16．已知△CDE与△ABC有公共顶点C，△CDE为等边三角形，在△ABC中，∠BAC=120°．(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC