专题12二次函数2

专题12二次函数二次函数是初中数学三大函数里面考点内容多，出现频率高，考查难度大的一个函数，一直深受中考各地区命题老师的青睐。此部分知识在考查形式上比较灵活多样，根据往年中考情况分析，选择、填空及解答题均有所考查，有单独知识的考查，也有跟其他知识结合着一起考查，单独考查难度一般不大，难度主要体现在综合知识的考查，特别是作为最后一道题的时候考查，往往除第一问较简单外，剩余的问答基本较难，故此在复习时必须特别熟练的掌握二次函数的图像与性质，同时强化数形结合思想，通过适当训练来提高相关题型的熟悉度，作为重难点去突破。考点知识要求考查角度1二次函数的意义和函数表达式通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义基本以选择题、填空题的形式考查二次函数的意义和函数解析式的求法1.二次函数的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式．2.二次函数的解析式：二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）（2）顶点式：y=a(xh)2+k（a，h，k是常数，a≠0）（3）两根式（交点式）：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(xx1)(xx2)．如果没有交点，则不能这样表示．3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c．（2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)．（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（）A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x C．y＝2x2﹣3x3+1 D．【分析】根据二次函数的定义，y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），判断即可．【解答】解：A、y＝5x2，是二次函数，故A符合题意；B、y＝22﹣2x，是一次函数，故B不符合题意；C、y＝2x2﹣3x3+1，不是二次函数，故C不符合题意；D、y＝，不是二次函数，故D不符合题意；故选：A．2．若函数y＝（1+m）x是关于x的二次函数，则m的值是（）A．2 B．﹣1或3 C．3 D．﹣1±【分析】利用二次函数定义可得m2﹣2m﹣1＝2，且1+m≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2，且1+m≠0，解得：m＝3，故选：C．3．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，故选：D．4．抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2+1【分析】抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关；y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．据此作答．【解答】解：抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，所以a＝．顶点在（﹣2，1），所以是y＝（x+2）2+1．故选：C．5．如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（）A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3【分析】先利用抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），则可设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出a的值即可．【解答】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），可设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝1，所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，故选：B．6．顶点是（1，3），开口方向、大小与y＝2x2完全相同的抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3．【分析】设二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，根据顶点是（1，3），即可求得h、k的值，与抛物线y＝2x2的开口方向及大小相同，即可确定a的值，即可得到抛物线的解析式．【解答】解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，∵抛物线顶点是（1，3），∴h＝1，k＝3，∵抛物线开口方向、大小与y＝2x2完全相同，∴a＝2，∴抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3，故答案为：y＝2（x﹣1）2+3．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3．【分析】根据题意设抛物线交点式，待定系数法求解可得．【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C（0，3）代入，得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3．8．已知抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（0，2），求抛物线的解析式．【分析】利用待定系数法求出该抛物线的解析式即可．【解答】解：∵抛物线过点A（﹣2，0），B（﹣1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x+1），把点C（0，2）代入上式得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x+2．9．已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）．（1）求此二次函数的关系式．（2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）利用顶点式求解二次函数解析式即可．（2）把x＝1代入函数的解析式求得函数值即可判断．【解答】解：（1）由顶点（﹣2，2），可设抛物线为：y＝a（x+2）2+2，将点（﹣1，3）代入上式可得：（﹣1+2）2a+2＝3，解得a＝1，所以二次函数的关系式y＝（x+2）2+2＝x2+4x+6．（2）点P（1，9）不在这个二次函数的图象上，理由如下：把x＝1代入y＝x2+4x+6得，y＝1+4+6＝11，∴点P（1，9）不在这个二次函数的图象上．10．下列函数中是二次函数的是（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣ C．y＝1﹣3x2 D．y＝x+3【分析】直接利用一次函数、二次函数、反比例函数的定义分别判断得出答案．【解答】解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；故选：C．11．若函数y＝（m2+m）是二次函数，那么m的值是（）A．2 B．﹣1或3 C．3 D．【分析】让x的次数为2，系数不为0即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，∴m＝3，故选：C．12．用配方法将二次函数y＝x2﹣4x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2﹣10 C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x+2）2﹣10【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：y＝x2﹣4x﹣6＝x2﹣4x+4﹣10＝（x﹣2）2﹣10，故选：B．13．已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（）A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2 C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2【分析】由题意知二次函数经过点（﹣1，0），（2，0），即可设两点式即可【解答】解：∵二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将点（0，2）代入得2＝﹣2a，解得a＝﹣1故函数解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣2）整理得：y＝﹣x2+x+2故选：D．14．用配方法把二次函数y＝x2﹣6x+3化成顶点式为y＝（x﹣3）2﹣6．【分析】利用配方法把二次函数的一般式变形，即可得到答案．【解答】解：y＝x2﹣6x+3＝x2﹣6x+9﹣9+3＝（x﹣3）2﹣6，故答案为：y＝（x﹣3）2﹣6．15．若二次函数y＝ax2的图象经过点（﹣1，2），则二次函数y＝ax2的解析式是y＝2x2．【分析】把已知点的坐标代入y＝ax2中求出a即可．【解答】解：把（﹣1，2）代入y＝ax2得2＝a×（﹣1）2，解得a＝2，所以抛物线解析式为y＝2x2．故答案为y＝2x2．16．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，﹣3），求该抛物线的解析式．【分析】把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组即可得到结论．【解答】解：把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．17．已知抛物线的顶点坐标为M（2，﹣5），与y轴交于点A（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）当0≤x≤5时，求y的取值范围．【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣2）2﹣5，然后把A点坐标代入求出a的值即可；（2）先分别计算出自变量为0和5所对应的函数值，然后利用二次函数的性质求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣5，把A（0，3）代入得a×（0﹣2）2﹣5＝3，解得a＝2，∴抛物线解析式为y＝2（x﹣2）2﹣5；（2）当x＝0时，y＝3；当x＝5时，y＝2×（5﹣2）2﹣5＝13，而x＝2时，y有最小值﹣5，∴当0≤x≤5时，y的取值范围为﹣5≤y＜13．考点知识要求考查角度2二次函数的图象和性质①会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；②会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴；③会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解选择题、填空题的形式考查二次函数图象的顶点、对称轴、最值、抛物线的平移、二次函数与方程的关系等基础知识，以解答题、探究题的形式考查二次函数综合能力。1.二次函数的图象：二次函数的图象是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线．（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线的对称轴是直线，顶点是（，）．当a>0时，抛物线的开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值．（2）抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．2.二次函数图象的画法：五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；（2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称D.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．3.二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a＞0时，抛物线开口向上，a＜0时，抛物线开口向下；b与对称轴有关：对称轴为；c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）．4.二次函数的最值：（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，．（2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax22+bx2+c，当x=x1时，y最小=ax12+bx1+c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大=ax12+bx1+c，当x=x2时，y最小=ax22+bx2+c．5.二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的=b24ac，在二次函数中表示图象与x轴是否有交点．当>0时，图象与x轴有两个交点；当=0时，图象与x轴有一个交点；当<0时，图象与x轴没有交点．①如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b24ac的符号方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b24ac>0两个不相等的实数根

1个b24ac=0两个相等的实数根

没有b24ac<0

没有实数根6.二次函数与不等式的关系:（1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；（2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围．7.图象的平移左加右减，上加下减1．抛物线y＝﹣（3﹣x）2+5的顶点坐标是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣（3﹣x）2+5＝﹣（x﹣3）2+5∴故其顶点坐标为：（3，5）．故选：C．2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+b的图象应该开口向上，故C错误；D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；故选：A．3．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图像上，若x1+x2＞2，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法判断【分析】根据二次项的解析式判断出函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，然后根据x1+x2＞2，x1＞x2写出大小关系即可．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∵x1+x2＞2，x1＞x2，∴y1﹣y2＝（﹣x12+2x1﹣3）﹣（﹣x22+2x2﹣3）＝﹣（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0∴y1＜y2．故选：A．4．若函数y＝（a﹣3）x2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（）A．a＝且a≠3 B．a＝ C．a＝3 D．a＝或a＝3【分析】当该函数是一次函数时，满足条件；当是二次函数时，当y＝0时，一元二次方程根据的判别式为0，进而得出结果．【解答】解：当a＝3时，y＝﹣x+1，此时一次函数y＝﹣x+1与x轴只有一个公共点，当a≠3时，当y＝0时，（a﹣3）x2﹣x+1＝0，当（﹣1）2﹣4（a﹣3）＝0时，二次函数与x轴只有一个交点，∴a＝，故选：D．5．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，则m＝（）A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或【分析】先求出对称轴为x＝1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2﹣m+2，∴对称轴为直线x＝1，①m＞0，抛物线开口向上，x＝1时，有最小值y＝﹣m+2＝﹣2，解得：m＝4；②m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，∴x＝﹣2时，有最小值y＝9m﹣m+2＝﹣2，解得：m＝﹣；故选：B．6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（）①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最大（小）值，对称性进行判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴x＝﹣＝﹣1＜0，∴a、b同号，而a＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，因此①正确；由于抛物线过点（1，0）点，∴a+b+c＝0，又∵对称轴为x＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，而a＞0，∴2a+c＜0，因此②正确；由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），而对称轴为x＝﹣1，由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，因此③正确；由二次函数的最小值可知，当x＝﹣1时，y最小值＝a﹣b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm﹣a+b≥0，因此④不正确；综上所述，正确的结论有①②③，共3个，故选：C．7．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和2，则抛物线y＝bx2﹣ax+c的对称轴为直线x＝﹣．【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到＝﹣1，再根据抛物线对称轴公式即可得到抛物线的对称轴为直线x＝＝＝﹣．【解答】解：∵﹣元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和2，∴﹣1+2＝，即＝﹣1，∴抛物线y＝bx2﹣ax+c的对称轴为直线x＝＝＝﹣，故答案为：直线x＝﹣．8．二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位．再向下平移5个单位后的解析式为y＝（x+2）2﹣5．【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位．再向下平移5个单位后的解析式为y＝（x+2）2﹣5．故答案为：y＝（x+2）2﹣5．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，比较下列各式与0的大小．①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③（a+c）2﹣b2＜0．【分析】①抛物线开口向下得到a＜0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＜0；②抛物线与x轴有2个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；③取x＝1，观察图象得到图象在x轴下方，则x＝1，y＝a+b+c＜0；取x＝﹣1，观察图象得到图象在x轴下方，则x＝﹣1，y＝a﹣b+c＜0．所以可以推知③（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）的符号．【解答】解：①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x＝﹣＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，则c＞0，∴abc＞0．故答案为：＞；②抛物线与x轴有2个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0．故答案为：＞；③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x＝1时，y＝a+b+c＜0；当自变量为﹣1时，图象在x轴上方，则x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0．则③（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0．故答案为：＜．10．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝﹣x2﹣1的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．【分析】根据二次函数图象，可得二次函数的性质．【解答】解：如图：，（1）y＝x2+1与y＝﹣x2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，y＝x2+1与y＝﹣x2﹣1的不同点是：y＝x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y＝﹣x2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：y＝x2+1当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；y＝﹣x2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．11．已知二次函数y＝2x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n）．（1）用含n的代数式表示c．（2）若二次函数y＝2x2﹣bx+c的最小值为，求n的值．【分析】（1）由抛物线经过A（1，n），B（3，n）可得抛物线解析式为y＝2（x﹣1）（x﹣3）+n，把x＝0代入解析式求解．（2）由抛物线的对称性可得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，从而可得b的值，根据函数最值为求解．【解答】解：（1）设y＝2（x﹣1）（x﹣3）+n，把x＝0代入y＝2（x﹣1）（x﹣3）+n得y＝2×（﹣1）×（﹣3）+n＝6+n．∴c＝6+n．（2）∵图象经过A（1，n），B（3，n），∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，解得b＝8，∴y＝2x2﹣8x+6+n，∴函数最小值为＝＝，整理得n2﹣69n+198＝0，解得n＝3或n＝66．12．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点A与点C．（1）求这个二次函数的表达式，并求出抛物线的对称轴．（2）现将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，向上平移n（n＞0）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B与点C，求m，n的值．【分析】（1）由题意可得点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再根据二次函数的性质以及B、C坐标求解即可．【解答】解：（1）由题意，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（2，2）、（0，2），将（2，0）、（0，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣3x+2，该抛物线的对称轴为直线；（2），则平移后的抛物线的表达式为，∵平移后的抛物线恰好经过点B与点C，BC∥x轴，∴平移后的对称轴为直线x＝1，则，∴，将（0，2）代入，得，解得：．13．已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得对称轴；（2）通过题意求得抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，抛物线y2的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c过点（﹣2，18），∴﹣4+12+c＝18，∴c＝10，∴抛物线y1的表达式为y1＝﹣x2﹣6x+10，∵y1＝﹣x2﹣6x+10＝﹣（x+3）2+19，∴对称轴为直线x＝﹣3；（2）∵y1＝﹣x2﹣6x+c，∴抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，∵CB＝8，∴两抛物线的对称轴间的距离为4，∴抛物线y2的对称轴为直线x＝1，∵点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，∴点M（﹣5，m）关于直线x＝﹣3的对称点为（﹣1，m），点N（3，n）关于直线x＝1的对称点是（﹣1，n），由图象可知，当x＝﹣1时，y1＞y2，∴m＞n．14．对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向下 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线x＝﹣2 D．图象的顶点坐标是（1，2）【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：二次函数y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞0，∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，函数的最小值是y＝1，故选项B正确，图象的对称轴是直线x＝2，故选项C错误，顶点坐标为（2，1），故选项D错误．故选：B．15．二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（）A．8 B．16 C．﹣8 D．﹣16【分析】对于二次函数解析式，令y＝0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出m的值．【解答】解：对于二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m，令y＝0，得到﹣2x2﹣8x+m＝0，∵二次函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象与x轴只有一个交点∴Δ＝64+8m＝0，解得：m＝﹣8．故选：C．16．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A． B． C． D．【分析】根据a、b与0的大小关系以及与x轴的交点情况即可作出判断．【解答】解：函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象交于x轴上同一点（﹣，0），A．二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的右侧，a＞0，ab＜0，则b＜0，一次函数的图象经过一、三、四象限，则a＞0，b＜0，一致，且交于x轴上同一点，不合题意；B．二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴的左侧，a＜0，ab＞0，则b＜0，一次函数的图象经过二、三、四象限，则a＜0，b＜0，一致，且交于x轴上同一点，不合题意；C．二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴的右侧，a＜0，ab＜0，则b＞0，一次函数的图象经过一、二、四象限，则a＜0，b＞0，一致，且交于x轴上同一点，不合题意；D．二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的右侧，a＞0，ab＜0，则b＜0，一次函数的图象经过一、三、四象限，则a＞0，b＜0，一致，不交于x轴上同一点，符合题意；故选：D．17．已知二次函数y＝ax2+bx+3经过点（2，3），且函数最大值为4，则a的值为（）A．﹣ B．﹣1 C．﹣2 D．﹣【分析】把（2，3）代入y＝ax2+bx+3得到﹣＝1，二次函数可化为y＝a（x﹣1）2+3﹣a，由函数最大值为4可求出a．【解答】解：把（2，3）代入y＝ax2+bx+3得4a+2b+3＝3，∴b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，∴y＝a（x﹣1）2+3﹣a，∵函数最大值为4，∴3﹣a＝4且a＜0，∴a＝﹣1，故选：B．18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（）A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②③【分析】由图象可知，开口向下，交y轴于正半轴即对称轴为直线x＝1，可判断①②是否正确，由抛物线与x轴有两个交点，可得Δ＞0，据此可判断③是否正确；由图象可知，当x＝﹣3时，函数值y＜0，则可判断④是否正确．【解答】解：由图象可知，开口向下，交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0又∵对称轴为直线x＝1，∴，即b＝﹣2a＞0∴abc＜0，故①正确；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；由图象可知，当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0∴9a+c＜3b，故④错误；综上，正确的有①③．故选：B．19．将抛物线y＝10（x+1）2﹣3向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式是y＝10（x﹣4）2﹣4．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：y＝10（x+1）2﹣3向右平移5个单位所得抛物线解析式为：y＝10（x﹣4）2﹣3；再向下平移1个单位为：y＝10（x﹣4）2﹣4．故答案为：y＝10（x﹣4）2﹣4．20．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：①对称轴为直线x＝﹣2；②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；④0＜a＜1；其中结论正确结论是①③（填写序号）．【分析】①用对称轴x＝﹣解答；②判断纵坐标大小关系，只需要确定出横坐标与对称轴距离关系，当a＞0时，离对称轴越远纵坐标越大，反之越小；③两根与对称轴距离关系；④抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，即知道有两个不等根，即b²﹣4ac＞0，又知经过点（0，3）得知c＝3，又知4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，所以可解得＜a＜1．【解答】解：①∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，所以①正确，符合题意；②∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，只能确定出m﹣2和n﹣2的大小关系，即横坐标的大小关系，而要进一步确定纵坐标y1，y2，的大小关系，是必须知道横坐标与对称轴的关系，而题目中没办法给出在对称轴的同侧还是异侧，若都在对称轴的左侧故②错误，不合题意；③由①知，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的两交点就是在点（﹣2，0）左右两侧，且关于直线x＝﹣2对称，又知道抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，所以一个根在﹣2和﹣3之间，另一个根在﹣2和﹣1之间，所以③正确，符合题意；④，解得＜a＜1，故④错误，不合题意．故答案是：①③．21．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为（1，2），且交y轴于点C（0，3）．（1）求该二次函数的表达式．（2）求该二次函数图象关于y轴对称的二次函数图象的解析式．（3）点P为二次函数图象上一动点，若点P纵坐标与点C纵坐标之差的绝对值小于或等于1，请根据图象直接写出点P横坐标x的取值范围．【分析】（1）根据点C（0，3）和顶点（1，2），利用抛物线的顶点坐标公式即可求解；（2）依据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等可得到抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式；（3）求得点P纵坐标与点C纵坐标之差的绝对值等于1时x的值，结合函数图象可得答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与y轴的交点为C（0，3）．∴c＝3，∵顶点为（1，2），∴x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∴a﹣2a+3＝2，解得：a＝1，b＝﹣2，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；（2）∵关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，∴抛物线y＝x2﹣2x+3关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝x2+2x+3；（3）设P（x，x2﹣2x+3），当x2﹣2x+3﹣3＝1时，x2﹣2x＝1，解得x＝1±，当x2﹣2x+3﹣3＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，解得x＝1，∴若点P纵坐标与点C纵坐标之差的绝对值小于或等于1，则1﹣≤x≤1+故P横坐标x的取值范围为1﹣≤x≤1+．22．抛物线C1：y＝x2﹣2ax+a的顶点A在某一条抛物线C2上，将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线C2上．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求a与b的关系式；（3）抛物线C2的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线C2上不同于顶点的任意一点，直线ED交抛物线C2于另一点M，直线EF交直线l：y＝于点N，求证：直线MN与x轴互相垂直．【分析】（1）配方即可得顶点坐标；（2）由A（a，﹣a2+a）得抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+x，再由点B仍在抛物线C2上得﹣a2+a＝﹣（a+b）2+（a+b）整理得b2+2ab﹣b＝0，求出a与b的关系即可；（3）先求出D（，0），设E（m，﹣m2+m），求出直线DE的解析式，再将抛物线C2与直线DE联立，求出点M的横坐标为x＝，再由直线EF与直线y＝的交点为N，求出点N横坐标为x＝，即可证明直线MN与x轴互相垂直．【解答】（1）解：∵y＝x2﹣2ax+a＝（x﹣a）2﹣a2+a，∴顶点A的坐标为（a，﹣a2+a）；（2）解：∵顶点A（a，﹣a2+a）在抛物线C2上，令x＝a，则抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+x，∵将抛物线C1向右平移b（b＞0）个单位，∴所得抛物线顶点B的坐标为（a+b，﹣a2+a），∵点B仍在抛物线C2上，∴﹣a2+a＝﹣（a+b）2+（a+b）整理得b2+2ab﹣b＝0，即b（b+2a﹣1）＝0，又∵b＞0，∴b+2a﹣1＝0；（3）证明：∵抛物线C2：y＝﹣x2+x①的顶点式为y＝﹣（x﹣）2+，∴顶点为F（），∴抛物线C2的对称轴与x轴的交点D的坐标为（，0），又∵点E是抛物线C2上不同于顶点F的任意一点，∴设点E的坐标为（m，﹣m2+m），其中m≠，把D（，0），E（m，﹣m2+m）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线ED解析式为y＝x+②，联立①②，整理得（x﹣m）（x﹣）＝0，解得x＝m或，∵点E与点M不重合，∴点M的横坐标为x＝，∵E（m，﹣m2+m），F（），∴直线EF解析式为y＝（﹣m）x+m，∵直线EF与直线y＝的交点为N，∴点N横坐标为x＝，∵点M的横坐标与点N横坐标相同，∴直线MN与x轴互相垂直．考点知识要求考查角度3二次函数的应用问题能用二次函数知识解决某些实际问题多以选择题、填空题、解答题的形式考查二次函数在实际生活中的应用1.二次函数的应用问题求解思路：建立二次函数模型→求出二次函数解析式→结合函数解析式、函数性质做出解答．2.列二次函数解应用题

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

3.建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：

①首先必须了解二次函数的基本性质；

②学会从实际问题中建立二次函数的模型；

③借助二次函数的性质来解决实际问题.1．如图，一位运动员推铅球，铅球运行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣．问：此运动员能把铅球推出多远？（）A．12m B．10m C．3m D．4m【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y＝0，求x的正数值．【解答】解：把y＝0代入y＝﹣x2+x+得：﹣x2+x+＝0，解之得：x1＝10，x2＝﹣2．又x＞0，解得x＝10．故选：B．2．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度关系为y＝ax2+bx．若此炮弹在第5秒与第10秒时的高度相等，则高度达到最高时为（）A．第6秒 B．第7秒 C．第7.5秒 D．第8.5秒【分析】根据第5秒与第10秒时的高度相等，则在这两个时刻对应的位置关于抛物线的对称轴对称，从而可以求得对称轴，然后即可得到高度达到最高时的时间．【解答】解：∵此炮弹在第5秒与第10秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是直线：x＝．∴炮弹位置达到最高时，时间是第7.5秒．故选：C．3．某种商品每天的销售利润y元与单价x元（x≥2）之间的函数关系式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+50．则这种商品每天的最大利润为（）A．0.1元 B．3元 C．50元 D．75元【分析】利用函数解析式y＝﹣0.1（x﹣3）2+50可知函数由最大值，进而得到最大利润为50．【解答】解：∵销售利润y元与单价x元（x≥2）之间的函数关系式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+50，∴﹣0.1＜0，∴销售利润y有最大值，最大值为50，∴这种商品每天的最大利润为50（元）．故选：C．4．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OD是4m时，水面的宽度AB为20m．【分析】根据题意可得B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入解析式确定A、B的坐标，进而求得AB的长即可解答．【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m．故答案为：20．5．用总长为a米的铝合金材料做成如图1所示的“日”字形窗框（材料厚度忽略不计），窗户的透光面积y（米2）与窗框的宽x（米）之间的函数图象如图2所示，则a的值是6．【分析】依据长方形的面积公式求得y与x的函数关系式，再利用待定系数法求得y与x的函数关系式，依据对应的项的系数相等解答即可得出结论．【解答】解：由题意得：“日”字形窗框的高度为：（米），∴y与x的函数关系式为y＝x•＝﹣ax．设抛物线的解析式为y＝m（x﹣1）2+1.5，∵抛物线经过点（2，0），∴m+1.5＝0，∴m＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣1.5＝+3x，∴a＝3，∴a＝6．故答案为：6．6．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设矩形花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；（2）当花圃的面积为54m2时，求AB的长；（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？【分析】（1）根据AB为xm，BC就为（24﹣2x），利用长方体的面积公式，可求出关系式．（2）将S＝54m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长．（3）将（1）中所求的解析式配方变为顶点式，再根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积．【解答】解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣2x），即所求的函数解析式为：S＝﹣2x2+24x，又∵0＜24﹣2x≤10，∴7≤x＜12；（2）由S＝54得，﹣2x2+24x＝54，整理，得x2﹣12x+27＝0，解得x1＝9，x2＝3，∵7≤x＜12，∴x＝9，∴AB＝9；（3）S＝24x﹣2x2＝﹣2（x﹣6）2+72，∵﹣2＜0，当7≤x＜12，S随x的增大而减小，∴x＝7m，最大面积＝70m2．7．某超市经销一种商品，每千克的成本为10元，经试销发现，该种商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的两组对应值如表所示：销售单价x（元/千克）1214销售量y（千克）8060（1）请直接写出y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式y＝﹣10x+200；（2）为保证某天获得240元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（12，80）、（14，60）代入得：，解得：，∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣10x+200；故答案为：y＝﹣10x+200．（2）由题意得：（x﹣10）（﹣10x+200）＝240，整理得x2﹣30x+224＝0，解得x1＝16，x2＝14，答：为保证某天获得240元的销售利润，则该天的销售单价应定为16元/千克或14元/千克；（3）解：设当天的销售利润为w元，则：w＝（x﹣10）（﹣10x+200）＝﹣10（x﹣15）2+250，∵﹣2＜0，∴当x＝15时，w最大值＝250．答：当销售单价定为15元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是250元．8．用三根同样长的铁丝围成长方形，正方形，圆，（）面积最大．A．长方形 B．正方形 C．圆 D．三角形【分析】根据周长相等的长方形，正方形，圆中，圆的面积最大，进行解题即可．【解答】解：由题意，得：长方形，正方形和圆的周长相等，因为在平面图形中，若周长一定，则围成的图形越接近于圆，其面积就越大，所以圆的面积最大；故选：C．9．我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+5x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A．4.5米 B．5米 C．6.25米 D．7米【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+5x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+5x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+6x的顶点坐标的纵坐标，∴y＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣2.5）2+6.25，∴顶点坐标为：（2.5，6.25），∴喷水的最大高度为6.25米，故选：C．10．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（）A．1554元 B．1556元 C．1558元 D．1560元【分析】将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴，根据二次函数图象的增减性即可求解．【解答】解：∵y＝﹣2x2+80x+758＝﹣2（x﹣20）2+1558，∴二次函数的对称轴为x＝20，开口向下，∴当x＜20时，y随x的增大而增大，∵15≤x≤19，∴x＝19时，y取最大值，此时y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1556，即一周可获得最大利润是1556元，故选B．11．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为2米．（结果可带根号）【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线解析式为y＝ax2+c，把（2，0）和（0，2）代入得，，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2，把y＝0.5代入得：x＝±，则水面的宽度是2米．故答案为：2．12．某初三学生对自己某次实心球训练时不慎脱手，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该考生此次实心球训练的成绩为2米．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：当y＝0时，﹣x2﹣x+＝0，解得：x1＝10（舍去），x2＝2，∴小红此次实心球训练的成绩为10米．故答案为：2．13．福建某公司经销一种红茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量p（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，其关系式为p＝﹣3x+300．设这段时间内，销售这种红茶总利润为y（元）．（1）求y与x的函数关系式．（2）求这段时间内，销售这种红茶可获得的最大总利润．【分析】（1）由总利润等于每千克红茶的利润乘以销售量即可得到答案；（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣40）p＝（x﹣40）（﹣3x+300）＝﹣3x2+420x﹣12000，∴y与x的关系式为：y＝﹣3x2+420x﹣12000．（2）∵y＝﹣3x2+420x﹣12000＝﹣3（x2﹣140x+702﹣702）﹣12000＝﹣3（x﹣70）2+2700，∴当x＝70时，销售利润y的值最大，最大值为为2700元．14．为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为AE）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在AB边上，两区通道在CD边上，出口通道在EF边上，通道宽均为1米．设AB＝x，矩形ABFE的面积为w．（1）BF可表示为36﹣3x；（2）当x为何值时，w有最大值？最大值是多少？（3）所围成矩形ABFE的面积能否达到96平方米？如果能，求出AB的长；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出BF的长；（2）根据二次函数的性质即可求出最大值；（3）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值．【解答】解：（1）根据题意得：BF+（3AB﹣3）＝33，∴BF+3x﹣3＝33，∴BF＝（36﹣3x）米，则BF可表示为：36﹣3x，故答案为：36﹣3x；（2）根据题意得：w＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵﹣3＜0，∴当x＝6时，w有最大值，最大值是108；（3）能，理由如下：∵x⋅（36﹣3x）＝96，∴x2﹣12x+32＝0，∴（x﹣4）（x﹣8）＝0，∴x＝4或x＝8，答：能围成96平方米的面积，此时AB的长为4米或8米．一．选择题1．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．2．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y＝﹣5．【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可画出上图，∵抛物线对称轴x＝＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．故选：A．3．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；故选：A．4．（2022•广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（）A．a＜0 B．c＞0 C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小 D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小【分析】根据图象得出a，c的符号即可判断A、B，利用二次函数的性质即可判断C、D．【解答】解：∵图象开口向上，∴a＞0，故A不正确；∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，故B不正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故C正确，D不正确；故选：C．5．（2020•广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．6．（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A．abc＞0 B．4ac﹣b2＜0 C．3a+c＞0 D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x＝1时，y＜0，可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对D进行判断．【解答】解：A．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故A正确；B．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故B正确；C．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，∵b＝2a，∴3a+c＜0，故C错误；D．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），∴函数有最大值n，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，故D正确．故选：C．7．（2018•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．abc＞0 B．2a+b＜0 C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，进而解答即可．【解答】解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，A、abc＜0，错误；B、2a+b＝0，不是2a+b＜0，错误；C、当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴3a+c＝a﹣b+c＜0，所以C正确；D、由图可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3有一个交点，可得：ax2+bx+c﹣3＝0，此方程有一个实数根，错误；故选：C．二．填空题8．（2018•广州）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大（填“增大”或“减小”）．【分析】根据二次函数的二次项系数a以及对称轴即可判断出函数的增减性．【解答】解：∵二次函数y＝x2，开口向上，对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．9．（2021•广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+4x．【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x故答案为y＝2x2+4x．10．（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝10.0mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小．【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，∵a＝3＞0，∴当x＝﹣＝10.0时，y有最小值，设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+（x12+x22+…+xn2），∵n＞0，∴当x＝﹣＝时，w有最小值．故答案为10.0，．三．解答题11．（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？【分析】（1）通过表格数据可以判断y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设出函数解析式用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；（2）设该产品的销售利润为w，由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，∵﹣5＜0，∴当x＝13时，w最大，最大值为125（万元），答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．12．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，则，解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵x＜70时，y随x的增大而增大，∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．13．（2022•广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．①求m的取值范围；②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；（2）①设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣3，再由a＝＜0，求m的取值即可；②由题意求出Q点的横坐标为m+，联立方程组，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得m+m+＝2m﹣，可求a＝﹣2，从而可求m＝2或m＝﹣，确定抛物线的解析式后即可求解．【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+7；（2）①∵点P（m，n）在直线l上，∴n＝﹣m+7，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，∵抛物线经过点（0，﹣3），∴am2+7﹣m＝﹣3，∴a＝，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴a＝＜0，∴m＜10且m≠0；②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，∴Q点与Q'关于x＝m对称，∴Q点的横坐标为m+，联立方程组，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，∴m+m+＝2m﹣，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，解得m＝2或m＝﹣，当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，此时抛物线的对称轴为直线x＝2，图象在≤x≤上的最高点坐标为（2，5）；当m＝﹣时，y＝﹣2（x+）2+，此时抛物线的对称轴为直线x＝﹣，图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；综上所述：G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．14．（2020•深圳）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y＝作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME﹣MF＝？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（﹣3，0）、B（1，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组即可；（2）分三种情况：①0＜t＜1时，②1≤t＜时，③≤t≤3时，可由面积公式得出答案；（3）令F（﹣1，t），则MF＝，ME＝﹣n，得出，可求出t＝．则得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①0＜t＜1时，如图1，若B'C'与y轴交于点F，∵OO'＝t，OB'＝1﹣t，∴OF＝3OB'＝3﹣3t，∴S＝×（C'O'+OF）×OO'＝×（3+3﹣3t）×t＝﹣+3t，②1≤t＜时，S＝；③≤t≤3时，如图2，C′O′与AD交于点Q，B′C′与AD交于点P，过点P作PH⊥C′O′于H，∵AO＝3，O'O＝t，∴AO'＝3﹣t，O'Q＝6﹣2t，∴C'Q＝2t﹣3，∵QH＝2PH，C'H＝3PH，∴PH＝C'Q＝（2t﹣3），∴S＝（2t﹣3），∴S＝﹣，综合以上可得：S＝．（3）令F（﹣1，t），则MF＝，ME＝﹣n，∵ME﹣MF＝，∴MF＝ME﹣，∴，∴m2+2m+1+t2﹣2nt＝﹣．∵n＝﹣m2﹣2m+3，∴m2+2m﹣3＝﹣n，∴3﹣n+1+t2﹣2nt＝﹣，∴t2﹣2nt+＝0．当t＝时，上式对于任意n恒成立，∴存在F（﹣1，）．15．（2018•广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：，解得：，所以二次函数的解析式为：y＝x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°＝，设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，∴∠OCE＝60°，∴OE＝OC•tan60°＝3，设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k＝，联立两个方程可得：，解得：，所以M2（，﹣2），综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．16．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝1．【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时该抛物线解析式为y＝x2﹣4x+9，顶点坐标为：（2，5）；（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x+1，由得：或，∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段EF上，∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．17．（2020•广州）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+．（1）用含a的式子表示b；（2）求点E的坐标：（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x