专题02利用三角函数解决实际问题(原卷版+解析)(重点突围)

专题02利用三角函数解决实际问题考点一利用三角函数解决仰角俯角问题考点二利用三角函数解决方位角问题考点三利用三角函数解决坡度坡比问题考点四利用三角函数测高问题考点五构造直角三角形求不规则图形的边长或面积考点一利用三角函数解决仰角俯角问题1．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高米，已知，E、F、G在一条直线上，求树高是多少？（结果保留根号）【变式训练】1．（2022·山东·利津县东津实验中学九年级阶段练习）为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为，再沿方向前行米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为，已知测角仪的高为1.5米，求此楼的高为多少米？（结果精到0.1米，）2．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）如图所示，在大楼的正前方有一斜坡（坡角），在它们之间有一片水域，现要测量大楼的高度．小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为；当热气球探测器竖直向上上升到点F处，测得楼顶点B处的仰角为；已知米，米，其中点在同一直线上．（参考数据：，）(1)求斜坡的高度（精确到十分位）；(2)求大楼的高度（精确到十分位）．3．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？考点二利用三角函数解决方位角问题例题：（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【变式训练】1．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为千米，灯塔B到航线l的距离为千米，灯塔B位于灯塔A南偏东方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：，，，）(1)求两个灯塔A和B之间的距离；(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．3．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？考点三利用三角函数解决坡度坡比问题例题：（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求点B距水平面AE的高度BH．(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414,≈1.732）【变式训练】1．（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．(1)求水平平台DE的长度(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，3．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知，斜坡的坡度：，斜坡的坡角为．(1)点坐标为______，段关于的函数解析式为______；(2)小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段关于的函数解析式；(3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：，，）考点四利用三角函数测高问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，－楼房AB后有一－假山CD，CD的坡度为，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．(1)求点E到水平地面的距离；(2)求楼房AB的高．【变式训练】1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）2．（2022·全国·九年级课时练习）某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）（1）求点到点的水平距离的长；（2）求楼的高度．考点五构造直角三角形求不规则图形的边长或面积例题：（2022·海南·九年级专题练习）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，(1)求的距离；(2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，）【变式训练】1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）2．（2022·重庆·模拟预测）翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘，且、之间的距离为30米，经测量，，长度为42米．（参考数据：，）(1)求空地边缘的长度；（结果精确到1米）(2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度为2米的园林卵石步道，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？3．（2022·上海·九年级专题练习）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）一、选择题1．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（

）A．米 B．20米 C．米 D．米2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·平阳苏步青学校九年级阶段练习）如图，某游乐场矗立起一座摩天轮，其直径为90m，旋转1周用时15min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面68m以上的空中时间是（）A．5min B．6min C．7min D．8min4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点A的高AE＝a米，水平赛道BC＝b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点D与点A的水平距离DE为(

)A．米 B．(b)米 C．(a-b)sinθ米 D．(a﹣b)cosθ米二、填空题5．（2021·广东·佛山市第十四中学九年级阶段练习）如图，在高度是18米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的仰角为45°，则这个建筑物的高度CD=__________米（结果可保留根号）；6．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为___________千米．7．（2022·上海·九年级专题练习）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点B处的俯角为45°，看到楼顶顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高________米．（结果保留根号）8．（2022·广东·深圳市观澜第二中学模拟预测）如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值：，，）三、解答题9．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得，求的长度．(结果精确到)（参考数据：）10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．求楼房AB高度．（结果保留根式）11．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）12．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：(1)坝底AB的长；(2)坡BC的长；(3)迎水坡BC的坡度．13．（2022·浙江·九年级专题练习）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求DE的长度（结果保留根号）；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．14．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）15．（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学九年级期中）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点，底座米，底座与支架所成的角，点在支架上，篮板底部支架.于点，已知米，米，米.(1)求篮板底部支架与支架所成的的度数．(2)求篮板底部点到地面的距离，（精确到0.1米）（参考数据：，）16．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73）(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________．（结果保留根号）(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号）专题02利用三角函数解决实际问题考点一利用三角函数解决仰角俯角问题考点二利用三角函数解决方位角问题考点三利用三角函数解决坡度坡比问题考点四利用三角函数测高问题考点五构造直角三角形求不规则图形的边长或面积考点一利用三角函数解决仰角俯角问题1．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高米，已知，E、F、G在一条直线上，求树高是多少？（结果保留根号）【答案】树的高是米【分析】先证明得到，解直角三角形求出的长即可得到答案．【详解】解：由题意可知：，∴，∴（米），在中，∵，∴米，∴米，答：树的高是米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，求出的长是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·利津县东津实验中学九年级阶段练习）为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为，再沿方向前行米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为，已知测角仪的高为1.5米，求此楼的高为多少米？（结果精到0.1米，）【答案】的高约为米【分析】根据正切的定义用表示出，根据等腰直角三角形的性质得到，根据题意列方程，解方程得到答案．【详解】解：由题意知：，，，，在中，，则，在中，，则，∵，∴，解得：，∴，答：的高约为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）如图所示，在大楼的正前方有一斜坡（坡角），在它们之间有一片水域，现要测量大楼的高度．小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为；当热气球探测器竖直向上上升到点F处，测得楼顶点B处的仰角为；已知米，米，其中点在同一直线上．（参考数据：，）(1)求斜坡的高度（精确到十分位）；(2)求大楼的高度（精确到十分位）．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）根据题意可得是等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得结果；（2）过点作于点，过点作于点，先证明是等腰三角形，可得，然后根据所对的直角边等腰斜边的一半可得的值，然后根据矩形的判定与性质得出，，结果可得．（1）解：∵米，，∴是等腰直角三角形，设，则根据勾股定理得：，解得：米（负值舍去），∴米；（2）过点作于点，过点作于点，∵，，，∴，，∴，即，∴米，在中，，，∴米，∵，∴四边形是矩形，∴米，同理可得：米，∴米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，所对直角边等于斜边的一半等知识点，读懂题意，熟练掌握相关定理是解本题的关键．3．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？【答案】(1)7.0(2)建筑物高约为米【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再证，推出，代入数值即可求解；（2）过点作，垂足为，利用矩形的性质求出，，，解可得，进而得出，再解，列等式求出，则．【详解】（1）解：由题意知，，，，∴设，则，由勾股定理得：，即，解得，∴，．∵，，∴，∴．由题意，，∴，又∵，∴，∴，∴，，，∴米；则平台的长为，（2）解：过点作，垂足为．在矩形中，，，∴．在矩形中，，，在中，，∴，，，解得：，（米），即建筑物高约为米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．考点二利用三角函数解决方位角问题例题：（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【答案】此时船C与船B的距离是海里．【分析】过点B作于点D，进而利用，，求出即可．【详解】解：过点B作于点D，由题意可知：，则，在中，，在中，．答：此时船C与船B的距离是海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．【变式训练】1．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．【答案】(1)167.79米(2)能，理由见解析【分析】（1）过点M作，交AC的延长线于D，设．解，得，解，得，进而可得，解方程即可；（2）作，交l于点F．解求出DF，进而求出AF，与AB比较大小即可．（1）解：过点M作，交AC的延长线于D，设．∵在中，，又∵在中，，∴，∵，∴．∴（米）．即轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．（2）解：作，交l于点F．在中，有：（米），∴．∴该轮船能行至码头靠岸．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为千米，灯塔B到航线l的距离为千米，灯塔B位于灯塔A南偏东方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：，，，）(1)求两个灯塔A和B之间的距离；(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．【答案】(1)14千米(2)40.7千米/小时【分析】（1）根据题意利用特殊角的三角函数值分别求出，即可得解；（2）根据三角函数值求出CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．（1）解：由题意，得，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，，由题意，得∴，∴，∴，设该轮船航行的速度是V千米/小时，由题意，得，∴（千米/小时），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时．【点睛】本题考查解直角三角形的应用：方向角问题．解题的关键是将实际问题转化为解直角三角形．3．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？【答案】(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析(2)没有触礁危险，证明见解析【分析】（1）过C作于O，通过证明，即可求出CB的长；判断C到AB的距离即CO是否大于9，如果大于则无触礁危险，反之则有；（2）过C作交BF于D，交BO于E，求出CD的长度即可作出判断．（1）过C作于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，∵在A处测得岛C在北偏东的方向，∴，又∵B处测得岛C在北偏东方向，∴，，∴，∴（海里），∵，，∴，∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；（2）过C作交BF于D，交BO于E，，∴没有触礁危险．【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．考点三利用三角函数解决坡度坡比问题例题：（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求点B距水平面AE的高度BH．(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414,≈1.732）【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米(2)广告牌CD的高度约为2.1米【分析】（1）根据山坡AB的坡度为i=1：3，可设BH=a,则AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答．【详解】（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴设BH=a,则AH=3a，∵AB=2，由勾股定理得BH=2，答:点B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中,BH=2，∴AH=6，在Rt△ADE中,tan∠DAE=.，即DE=tan60·AE=8，如图,过点B作BF⊥CE,垂足为F，BF=AH+AE=6+8=14，DF=DE-EF=DE-BH=8—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=14,∴CD=CF-DF=14—（8—2）=14—8+2≈2.1答:广告牌CD的高度约为2.1米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式训练】1．（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．(1)求水平平台DE的长度(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）【答案】(1)1.8米(2)5：4【分析】（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，从而可得∠EFG＝37°，四边形ADEF是平行四边形，进而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，即可解答；（2）根据题意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出AD的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．（1）解：延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，∴∠A＝∠EFG＝37°，∵DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD＝EF，DE＝AF，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴BF＝≈＝7.2（米），∵AB＝9米，∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），∴水平平台DE的长度约为1.8米；（2）由题意得：MN＝EG＝3米，在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），∴AD＝EF＝5米，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴CF＝＝＝9（米），∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，【答案】(1)；(2)．【分析】（1）在中，，可得，根据解直角三角形进行求解即可；（2）根据求解即可．（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，，则为坡顶B到所在直线的距离，则，，在中，，∴，∵，∴；（2）由题意得，四边形是矩形，由勾股定理得：，∵，∴，∴，在中，，，∴，答：塔架高度约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，根据题意构造直角三角形是解本题的关键．3．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知，斜坡的坡度：，斜坡的坡角为．(1)点坐标为______，段关于的函数解析式为______；(2)小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段关于的函数解析式；(3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：，，）【答案】(1)，(2)，(3)9秒【分析】（1）通过三角函数值和已知题意信息可以解出A点坐标，再通过A点坐标和原点进而确定段的函数解析式．（2）通过段对应的无人机飞行的路程和速度求出小明所花的时间，再由三角函数和（1）问得到小明所走的路程，进而解出小明在段的速度，由A，点确定段解析式．（3）通过段和段的函数解析式分别求出无人机与小明之间距离为时所用的时长，进而计算出无人机与小明之间距离不超过的时长．（1）解：如图，过A点作于点，，，，斜坡的坡度：：，，，点A坐标为，设段关于的函数解析式为，代入，，解得：，段关于的函数解析式，故答案为：；．（2）解：在中，，，，，，，在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为，小明在斜坡上跑步的时间为：，小明在斜坡上的跑步速度是：，，，，，设段关于的函数解析式为：代入，，得：，解得：，段关于的函数解析式为；故答案为：．（3）解：在段上无人机与小明之间的距离为时，则有：，解得：，无人机飞行的时间为；在段上，无人机与小明之间距离为时，则有：，解得：，无人机飞行的时间为，无人机与小明之间距离不超过的时长为：．【点睛】本题主要考查一次函数应用和解直角三角形，关键在于一次函数的应用和对题意的推断能力．考点四利用三角函数测高问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，－楼房AB后有一－假山CD，CD的坡度为，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．(1)求点E到水平地面的距离；(2)求楼房AB的高．【答案】(1)8米(2)48米【分析】（1）过点E作EF⊥BC的延长线于F，根据CD的坡度为i=1：2得CF=2EF，再由勾股定理可得：EF∶CF∶CE＝1∶2∶，可得EF=8米，CF=16米；（2）过E作EH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质求出AH的长，进而可得AB的长．（1）解：过点E作EF⊥BC的延长线于F．在Rt△CEF中，∵CD的坡度i＝EF∶CF＝1∶2，∴占（份），∴EF∶CF∶CE＝1∶2∶，∵CE＝8米，∴EF＝8米，CF＝16米∴点E到水平地面的距离为8米．（2）作EH⊥AB于点H，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴四边形BFEH为矩形；∴BH＝EF＝8（米），HE＝BF∵BC＝24（米），CF＝16（米），∴HE＝BF＝BC＋CF＝24＋16＝40（米）在Rt△AHE中，∵∠HAE＝90°－45°＝45°，∴AH＝HE＝40（米），∴AB＝AH＋HB＝48（米）．∴楼房AB的高为48米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）【答案】6.4米【分析】延长，交于点，则，解，求出的长，解，求出的长，进而求出的长．【详解】延长，交于点，则，由题意：，，米，米，由于四边形是矩形，∴米，在中，，∴米，∵米，∴米，在中，，∵，∴，∴(米)．答：显示屏的高度约为米．【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数知识解直角三角形，构造合适的直角三角形求出相应的线段是解本题的关键．2．（2022·全国·九年级课时练习）某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）【答案】20米【分析】延长EF交AB于点G，设AB为x，利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、AC，根据CD=EG﹣AC列出方程求出x即可．【详解】延长EF交AB于点G，如图，设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米，在Rt△BGE中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG=，在Rt△BAC中CA=AB÷tan∠ACB=，则CD=EG﹣AC=，解得：．答：大树AB的高约为20米．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）（1）求点到点的水平距离的长；（2）求楼的高度．【答案】（1）米；（2）楼的高度为米．【分析】（1）由的坡度，可得设则由勾股定理可得再列方程解方程可得答案；（2）如图，过作于先证明四边形是矩形，可得设证明可得由建立方程，再解方程检验即可得到答案．【详解】解：（1）的坡度，设则（2）如图，过作于四边形是矩形，设由解得：经检验：符合题意，所以：建筑物的高为：米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．考点五构造直角三角形求不规则图形的边长或面积例题：（2022·海南·九年级专题练习）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，(1)求的距离；(2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，）【答案】(1)16cm(2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG⊥EF，，证明EF=EG+QC+CP，再分别运用解直角三角形求出EG、QC、CP即可．（1）∵，，AB=32cm∴(cm)（2）如图，作DG⊥EF于点G，过点C作，交DG于点Q，交AB于点P，∵DG⊥EF，AF⊥EF，∴DG⊥PQ，AF⊥PQ，∴四边形FPQG是矩形，FG=PQ，∴(cm)，(cm)，∵∴∠EDG=75°-60°=15°∴(cm)∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=(cm)故E到地面的距离EF为105cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形，作辅助线构造相等线段，熟练运用解直角三角形求线段长度是解题关键．【变式训练】1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）【答案】点B到桌面得距离为28.78cm【分析】点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，在Rt△ABC中，解直角三角形求得AB，继而求得，在Rt△AOD中，解直角三角形求得OD，继而即可求解．【详解】如图，过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，由题意可知：OD⊥AC，AC=10cm，，∵∠AOM=160°，∴∠AOD=20°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∴∠OAD=70°，∵∠OAB=115°，∴∠BAC=45°，∴∠ABC=∠BAC=45°，∴AC=BC=10cm，在Rt△ABC中，cos∠BAC=，∴，∵，∴，在Rt△AOD中，cos∠AOD=，∴，∴点B到桌面的距离为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，熟练掌握并应用三角函数定义．2．（2022·重庆·模拟预测）翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘，且、之间的距离为30米，经测量，，长度为42米．（参考数据：，）(1)求空地边缘的长度；（结果精确到1米）(2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度为2米的园林卵石步道，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？【答案】(1)空地边缘的长度为64米；(2)此次修建费用足够【分析】（1）过作交于，过作交的延长线于，证得四边形是矩形，从而，分别在和中，利用正切三角函数求得AK、BH的值，即可求解；（2）分别求出和梯形ABCD的面积，从而，再求出总费用，比较即可.（1）解：（1）如图，过作交于，过作交的延长线于，，，，，，，∴四边形是矩形，，，在中，，，，，在中，，，，（米）答：空地边缘的长度为64米．（2）解：由题得，四边形为平行四边形，，，，∴总花费为：（元），答：此次修建费用足够．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造出含有特殊角的直角三角形，属于中考常考题型．3．（2022·上海·九年级专题练习）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm．【分析】过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，由平行线的性质可得，得出，在与中，分别利用锐角三角函数求解得出，，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出．【详解】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为．【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用锐角三角函数是解题关键．一、选择题1．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（

）A．米 B．20米 C．米 D．米【答案】A【分析】根据坡度意思可知，设米，则米，由勾股定理可得：，即，求出h即可．【详解】解：如图：由题意可知：，米，设米，则米，由勾股定理可得：，即，解得：米，米（舍去）．故选：A【点睛】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC，AC之间的关系．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，∴OB=AB=0.8，在Rt△OCB中，sin∠OBC=，∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°，故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2022·浙江·平阳苏步青学校九年级阶段练习）如图，某游乐场矗立起一座摩天轮，其直径为90m，旋转1周用时15min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面68m以上的空中时间是（）A．5min B．6min C．7min D．8min【答案】A【分析】设小明在点和点时距离地面，利用三角函数求出的角度即可求出时间．【详解】解：如图，设小明在点和点时距离地面，延长交于，即，小明在上时即为所求，由题知，，，，，，，，摩天轮旋转1周用时，小明在离地面以上的空中时间是，故选：A．【点睛】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点A的高AE＝a米，水平赛道BC＝b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点D与点A的水平距离DE为(

)A．米 B．(b)米 C．(a-b)sinθ米 D．(a﹣b)cosθ米【答案】B【分析】如图，过B作，过C作，解直角三角形，根据进行计算即可．【详解】解：过B作，过C作由题意得：，，∴，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加合适的辅助线构造直角三角形．二、填空题5．（2021·广东·佛山市第十四中学九年级阶段练习）如图，在高度是18米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的仰角为45°，则这个建筑物的高度CD=__________米（结果可保留根号）；【答案】##【分析】作于点E，则和都是等腰直角三角形，即可求得的长，然后在直角三角形中国利用三角函数求得的长，进而求得的长．【详解】解：作于点E．在中，，（米）．在中，（米）．∴（米）．故答案为：．【点睛】本题考查应用直角三角形解决仰角和俯角问题，要求学生能够借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形．6．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为___________千米．【答案】2【分析】过该建筑物的顶端点作，交的延长线于点，可得，即，则千米，在中，，即可求得．【详解】解：如图，过该建筑物的顶端点作，交的延长线于点，由题意得，，，千米，，，千米，在中，，解得，该建筑物离地面的高度为2千米．故答案为：2．【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．7．（2022·上海·九年级专题练习）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点B处的俯角为45°，看到楼顶顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高________米．（结果保留根号）【答案】【分析】过点A作于点D．则米，在Rt△ACD中，，解得，在中，，解得，由可得出答案．【详解】解：过点A作于点D．则米，，，在中，，解得，在中，，解得，∴米．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．8．（2022·广东·深圳市观澜第二中学模拟预测）如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值：，，）【答案】否【分析】求出长，比较大小即可．【详解】解：根据天花板与地面平行，可知，（米）．因为，所以小敏不会有碰头危险．故答案为：否．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数求解．三、解答题9．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得，求的长度．(结果精确到)（参考数据：）【答案】【分析】过点作交于点．构造直角三角形，在中，计算出，在中，计算出.【详解】解：如图所示：过点作交于点．在中，又∵在中，答：的长度为【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．求楼房AB高度．（结果保留根式）【答案】（15+5）米【分析】)过点D作DF⊥BC，垂足为F，设AB=x，AG=x-5，则，，根据DG＝FC+CE+BE，列出方程，即可求解.【详解】解：过D作DF⊥BC，垂足为F，∵i＝1：，∴DF：FC＝1：，CD＝10，∴DF＝5，CF＝5，过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AB＝x，则AG＝x﹣5，在Rt△ABE中，，在Rt△ADG中，，由DG＝FC+CE+BE得，（x﹣5）＝5+10+x，解得，x＝15+5，答：AB的高度为（15+5）米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，根据特殊角的三角函数的定义，列出方程是解题的关键．11．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）【答案】(1)(2)米【分析】（1）过点A作交于点，根据且，可得，利用外角的性质根据可求出结果（2）过点B作BG⊥AD于G，则有，可得，，，可求得，再根据可得结果．（1）如图示，过点A作交于点，∵且∴∵且∴；（2）过点B作BG⊥AD于G．∵∴在中，，在中，∵∴∴答：两颗银杏树B、C之间的距离为米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键．12．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：(1)坝底AB的长；(2)坡BC的长；(3)迎水坡BC的坡度．【答案】(1)米(2)9米(3)【分析】（1）过D点作DE⊥AB于E点，先证明四边形CDEF是矩形，即有CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，根据∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，可得，AE=1.2DE=5.4，则问题得解；（2）根据即可求解；（3）利用坡比的定义，即可得出迎水坡BC的坡比的值．（1）解：过D点作DE⊥AB于E点，如图，根据题意有：，，∠B=30°，∵，∴四边形CDEF是矩形．∴CF=DE，EF=CD，∵CF=4.5，CD=2.5，∴CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，∵CF=4.5，CD=2.5，∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，∴，AE=1.2DE=5.4，∴AB=BF+EF+AE=+2.5+5.4=+7.9（米），故坝底AB的长为：米；（2）∵∠B=30°，CF=4.5，∴（米），即坡BC长为9米；（3）∵CF=4.5，，∴迎水坡BC的坡度为：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了坡度与坡角问题，通过构造直角三角形，矩形，利用直角三角形的性质和矩形的性质，锐角三角函数的概念求解是解题关键．13．（2022·浙江·九年级专题练习）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求DE的长度（结果保留根号）；(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．【答案】(1)（20+20）cm(2)（20+20）cm【分析】（1）过点F作FH⊥CD，垂足为H，在Rt△DFH中，求出FH，DH，再在Rt△CFH中，求出CH，从而求出CD，进而求出CE，然后进行计算即可解答；（2）过点A作AG⊥ED，交ED的延长线于点G，根据题意可得AC＝40+40，然后在Rt△AGC中，利用锐角三角函数求出AG即可解答．（1）解：过点F作FH⊥CD，垂足为H，在Rt△DFH中，∠D＝30°，DF＝30，∴FH＝DF＝15cm，DH＝DFcos30°＝30×＝15cm，在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，∴CH＝FH＝15cm，∴CD＝CH+DH＝（15+15）cm，∵CE：CD＝1：3，∴CE＝CD＝（5+5）cm，∴DE＝CE+CD＝（20+20）cm，∴DE的长度为（20+20）cm；（2）解：过点A作AG⊥ED，交ED