专题04勾股定理基本应用(原卷版+解析)

专题04勾股定理基本应用专题说明专题说明勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一。勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。解题思路解题思路考点1求线段长直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.考点2求面积类型一直角三角形中求斜边上的高类型二结合乘法公式巧求面积或长度类型三巧妙割补求面积类型四“勾股树”及其拓展类型求面积考点3解直角三角形①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题【典例分析】【考点1求线段长】【典例1-1】（2022八下·德阳期末）已知△ABC中，BC＝4，AB＝5，∠C＝90°，则AC＝（）A．6 B．41 C．4 D．3【典例1-2】（2021八上·龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是()A．13B．13或119C．119 D．12或13【变式1-1】（2021八上·丹东期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AB=8，BC=6，那么AC的长是（）．A．10 B．27 C．10或27【变式1-2】（2021八上·槐荫期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（）A．13 B．14 C．89 D．1【变式1-3】（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（）A．10 B． C．10或 D．14【考点2求面积】【典例2】（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6 B．36 C．64 D．8【变式2-1】（2021八上·临漳期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（）A．25 B．175 C．600 D．625【变式2-2】（2021秋•和平区期末）如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S1＝9π，S2＝16π，则S3＝．【变式2-3】（2021八上·渠县期中）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积和是cm2.【典例3】（2021八上·佛山月考）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A．255 B．355 C．【变式3-1】（2021八上·通州期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D．如果AC=6，BC=3，则BD的长为（）A．2 B．32 C．33 【变式3-2】（2021八上·六盘水月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A．2 B．2 C．5 D．3【考点3解直角三角形】【典例4】（2021秋•紫金县期中）如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的长．【变式4-1】（2021八上·北镇期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8，求CD的长．【变式4-2】（2021八上·连南期中）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．【夯实基础】1．（2022秋•城关区校级期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．642．（2022秋•渝中区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（）A．20 B．26 C．30 D．523．（2022秋•绥中县校级期末）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或164．（2022秋•青岛期末）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（）A． B． C． D．5．（2022春•灵宝市校级月考）如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3的图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022春•潜山市月考）如图，点E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°．若AE＝2，BE＝3，则正方形ABCD的面积为（）A．10 B．13 C．36 D．1697．（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（）A．18 B．48 C．65 D．728．（2022秋•徐汇区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为．【答案】24cm29．（2022秋•邢台期末）已知平面直角坐标系中，点P（m﹣2，4）到坐标原点距离为5，则m的值为．10．（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC边上的高的长．11．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的长；（2）AD的长．12．（2022秋•茂南区期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C恰好在格点（网格线的交点）上．（1）求△ABC的周长．（2）求△ABC的面积．【能力提升】13．（2022秋•二七区校级期末）如图，已知直角三角形ABC的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边AB的长为．14．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．14．（2022秋•佛山校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．15．（2022秋•二道区校级期末）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割．（1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝30，AM＝5，求BN的长．16．（2022秋•通川区校级期末）已知，如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE．（1）求证：AB＝AE；（2）求等腰三角形的腰长CD．专题04勾股定理基本应用专题说明专题说明勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一。勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。解题思路解题思路考点1求线段长直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.考点2求面积类型一直角三角形中求斜边上的高类型二结合乘法公式巧求面积或长度类型三巧妙割补求面积类型四“勾股树”及其拓展类型求面积考点3解直角三角形①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题【典例分析】【考点1求线段长】【典例1-1】（2022八下·德阳期末）已知△ABC中，BC＝4，AB＝5，∠C＝90°，则AC＝（）A．6 B．41 C．4 D．3【答案】D【解答】解：由题可知ΔABC为直角三角形，∴AC=A故答案为：D.【典例1-2】（2021八上·龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是()A．13 B．13或119 C．119 D．12或13【答案】D【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12；

②当12是直角边时，它的斜边长=122+52=13.

故答案为：D.

【变式1-1】（2021八上·丹东期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AB=8，A．10 B．27 C．10或27【答案】B【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=8，BC=6，∴AC=故答案为：B【变式1-2】（2021八上·槐荫期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（）A．13 B．14 C．89 D．1【答案】A【解答】解：由题意得，该直角三角形的斜边长为：5故答案为：A.【变式1-3】（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（）A．10 B． C．10或 D．14【答案】C【解答】解：设第三边为x，①当8是斜边，则62+x2＝82，②当8是直角边，则62+82＝x2解得x＝10，解得x＝2．∴第三边长为10或2．故选：C．【考点2求面积】【典例2】（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6 B．36 C．64 D．8【答案】B【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8，由勾股定理得，正方形A的边长＝＝6，∴正方形A的面积为36，故选：B．【变式2-1】（2021八上·临漳期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（）A．25 B．175 C．600 D．625【答案】D【解答】解：在ΔABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：AC∴225+400=S，∴S=625．故答案为：D．【变式2-2】（2021秋•和平区期末）如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S1＝9π，S2＝16π，则S3＝．【答案】25π【解答】解：设面积为S1的半圆的直径为a，面积为S2的半圆的直径为b，面积为S3的半圆的直径为c，由勾股定理得：a2+b2＝c2，由题意得：×π×（）2＝9π，×π×（）2＝16π，则a2＝72，b2＝128，∴c2＝200，∴S3＝×π×（）2＝25π，故答案为：25π．【变式2-3】（2021八上·渠县期中）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积和是cm2.【答案】49【解答】解：如图，设正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，设标有S1，S根据勾股定理可得a则x∴故答案为：49.【典例3】（2021八上·佛山月考）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A．255 B．355 C．【答案】C【解答】解：由题意可得：S△ABC∵BD是△ABC的高，AC=2∴S解得：BD=4故答案为：C．

【变式3-1】（2021八上·通州期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D．如果AC=6，BC=3，则BD的长为（）A．2 B．32 C．33 【答案】D【解答】解：∵∠ABC=90°，AC=6，BC=3，∴根据勾股定理AB=A∵BD⊥AC，∴S△ABC=12AB⋅BC=1解得：BD=3故答案为：D．【变式3-2】（2021八上·六盘水月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A．2 B．2 C．5 D．3【答案】B【解答】解：由勾股定理得：AB=22+42∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴S△ABC=1∴5×2∴AD＝2，故答案为：B.【考点3解直角三角形】【典例4】（2021秋•紫金县期中）如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC＝15，BD＝9，求AD的长．【答案】AD=16【解答】解：在Rt△BDC中，由勾股定理得：CD＝＝＝12，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AD＝＝＝16．【变式4-1】（2021八上·北镇期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8，求CD的长．【解答】解：∵AB＝5，BD＝3，AD＝4，∴AB∴AB∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，AC=8，∴DC=A【变式4-2】（2021八上·连南期中）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．【解答】解：在Rt△CDA中，∵AC=AB=5，CD=3，∴AD=A∴BD=AB-AD=5-4=1，在Rt△CBD中，BC=C【夯实基础】1．（2022秋•城关区校级期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．64【答案】D【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．2．（2022秋•渝中区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（）A．20 B．26 C．30 D．52【答案】B【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，即S3＝6+10+4+6＝26．故选：B．3．（2022秋•绥中县校级期末）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【答案】C【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，当b＝4为直角边时，第三边的平方为32+42＝25，当b＝4为斜边时，第三边的平方为42﹣32＝7，故选：C．4．（2022秋•青岛期末）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：四边形DEFA是正方形，面积是4；△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2＝1．△BCE的面积是：×1×1＝．则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣＝．在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC＝＝．设AC边上的高线长是x．则•AC•x＝x＝，解得：x＝．故选：C．5．（2022春•灵宝市校级月考）如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3的图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：由勾股定理得a2+b2＝c2，第一个图形中，，，，满足S1+S2＝S3；第二个图形中，，，，满足S1+S2＝S3；第三个图形中，，，，满足S1+S2＝S3；第四个图形中，，，满足S1+S2＝S3；综上所述，满足题意的图形有4个，故选：D．6．（2022春•潜山市月考）如图，点E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°．若AE＝2，BE＝3，则正方形ABCD的面积为（）A．10 B．13 C．36 D．169【答案】B【解答】解：∵∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2+BE2＝22+32＝13，∴正方形ABCD的面积＝AB2＝13，故选：B．7．（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（）A．18 B．48 C．65 D．72【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝82﹣42＝48，∴正方形ABDE的面积为48，故选：B．8．（2022秋•徐汇区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为．【答案】24cm2【解答】解：∵一个直角三角形两条直角边的比是3：4，∴设两条直角边分别为3x，4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝102，∴x＝2，∴两条直角边分别为6cm和8cm，∴这个直角三角形面积为×8×6＝24（cm2），故答案为：24cm2．9．（2022秋•邢台期末）已知平面直角坐标系中，点P（m﹣2，4）到坐标原点距离为5，则m的值为．【答案】5或﹣1．【解答】解：点P（m﹣2，4）到两坐标轴的距离分别是|m﹣2|、4，则由勾股定理，得（m﹣2）2+42＝52，解得：m＝5或﹣1．故答案为：5或﹣1．10．（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC边上的高的长．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，∴AD＝＝＝3，即BC边上的高的长为3．11．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的长；（2）AD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝25，∵CD⊥AB，∴S，∴CD＝＝12；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD＝＝＝9，AD＝25﹣9＝16．12．（2022秋•茂南区期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C恰好在格点（网格线的交点）上．（1）求△ABC的周长．（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）根据题意可得，AB＝＝＝2，AC＝＝，BC＝＝＝5，AB+AC+BC＝2++5＝5+3，∴△ABC的周长为5+3；（2）∵AB＝2，AC＝，BC＝5，∴BC2＝25，AB2+AC2＝20+5＝25，∴BC2＝AB2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC•AB＝××＝5，∴△ABC的面积为5．【能力提升】13．（2022秋•二七区校级期末）如图，已知直角三角形ABC的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边AB的长为．【答案】10【解答】解；∵直角三角形ABC的周长为24，∴AB+AC+BC＝24，AC2+BC2＝AB2，∴AC2+BC2﹣AB2＝0，∵阴影部分的面积为24，∴（）2＝24，∴+＝24，∴AC•BC＝48，∴AC•BC＝＝＝48，∴AB＝10，故答案为：10．14．（2022秋•卧龙区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．【答案】20【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．14．（2022秋•佛山校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得