全等三角形基本模型综合训练(五)(原卷版+解析)

全等三角形基本模型综合训练（五）1．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（

）A． B．2 C．4 D．3．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.54．如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（

）A．点O与的距离为4B．C．S四边形AOBO′ D．5．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④6．如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．7．等腰直角三角形ABC中，，，且△ABC的面积为16，过点B作直线，点G是直线EF上的一个动点，连接AG，将AG绕点A顺时针旋转，得到线段AH，连接BH，则线段BH的最小值为______．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接BC'，BC'的延长线交AB'于点D，则BD的长为_____．9．如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为时，则_________．10．如图，在中，分别以、为边向外作正方形、，连接、、、，若，则四边形的面积__________．11．(1)【初步探索】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(2)【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．12．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上的一个动点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt．(1)如图1，若，则点的坐标为______；(2)如图2，若，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt，连接，求证：；(3)如图3，以为直角顶点，为直角边在第三象限作等腰Rt．连接，交轴于点，求线段的长度．全等三角形基本模型综合训练（五）1．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故选：B．2．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，的面积，故选：A．3．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【答案】C【详解】解：过作的平行线交于，，是等边三角形，，，是等边三角形，，∵CQ＝PA，∴在中和中，，≌，，于，是等边三角形，，，，，，故选：C．4．如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（

）A．点O与的距离为4 B．C．S四边形AOBO′ D．【答案】D【详解】解：如图1，连接OO′，由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴，又∵∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4．故A正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故B正确；S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4，故C正确；如图2将绕点顺时针旋转60°到位置，同理可得，故D错误；故选D．5．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC，，同理可得，，，又，，，故①正确②如图，延长至，使，连接，，，，如图，取的中点，连接并延长至，使得，是的中点，，，，，，，，，又，，，，③如图，由①可知，故不一定等于故③不正确④如图，由②可知，，，，故④正确，综上所述，故正确的有①②④故选B6．如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．【答案】7【解析】【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中，∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案为：7．7．等腰直角三角形ABC中，，，且△ABC的面积为16，过点B作直线，点G是直线EF上的一个动点，连接AG，将AG绕点A顺时针旋转，得到线段AH，连接BH，则线段BH的最小值为______．【答案】【详解】如图所示：连接CG．由旋转的性质可知：，．∵，∴，即．在和中，，，∴要让最小，也就是要最小，∴时，最小．∵，，∴∵，∴四边形ABGC时矩形，∵，∴矩形ABGC是正方形．，∴．∵△ABC的面积为16，∴，解得：．∴．故答案为：8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接BC'，BC'的延长线交AB'于点D，则BD的长为_____．【答案】【详解】解：如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB＝BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′＝∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝＝2=AB’，∴AD=∴BD＝，故答案为：9．如图，点C为线段的中点，E为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为时，则_________．【答案】2【详解】解：如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC．∵∠DAE＝∠HAC＝90°，∴∠DAH＝∠EAC，∵DA＝EA，HA＝CA，∴△DAH≌△EAC（SAS），∴DH＝CE，∵CD≤DH＋CH，，∴当D，C，H共线时，DC最大值=，如图2中，设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH=，∴+x=，解得：x=1，∴AB=2AC=2．故答案是：2．10．如图，在中，分别以、为边向外作正方形、，连接、、、，若，则四边形的面积__________．【答案】18【详解】解：连接FD，设CF与AD交于点M，CF与AB交于点N，如图：∵四边形ABFG、BCED是正方形，∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠ABD＝∠CBF，在△ABD和△FBC中，，∴△ABD≌△FBC（SAS）；∴AD＝FC，∠BAD＝∠BFC，∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣(∠BFC+∠BNF)＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥CF，∵AD＝6，∴FC＝AD＝6，四边形ACDF的面积．故答案为：18．11．(1)【初步探索】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(2)【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．【答案】(1)；(2)成立，理由见解析；(3)，证明见解析【解析】(1)解：．理由：如图1，延长到点，使，连接，根据可判定，进而得出，，再根据可判定，可得出．故答案为：；(2)解：仍成立，理由：如图2，延长到点，使，连接，，，，又，，，，，，，；(3)解：．证明：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，，，，又，，，，，，，，，，，即，．12．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上的一个动点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt．(1)如图1，若，则点的坐标为______；(2)如图2，若，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰Rt，连接，求证：；(3)如图3，以为直角顶点，为直角边在第三象限作等腰Rt．连接，交轴于点，求线段的长度．【答案】(1)点C（3，7）；(2)证明见详解过程；(3)2．【解析】(1)如图1，过点C作CH⊥y轴于H，∴∠CHB=∠ABC=∠AOB=90°，∴∠BCH+∠HBC=90°=∠HBC+∠ABO，∴∠ABO=∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH（AAS），∴CH=OB=3，BH=AO=4，∴OH=7，点C（3，7），故答案为：（3，7）；(2)过点E作EF⊥x轴于F，∴∠EFD=∠BDE=∠BOD=90°，∴∠BDO+∠EDF=90°=∠BDO+∠DBO，∴∠DBO=∠EDF，在△BOD