专题5.4分式方程及应用（知识解读）

专题5.4分式方程及应用（知识解读）【学习目标】1.了解解分式方程的基本思路和解法．2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法．3.体会解分式方程过程中的化归思想．4.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型【知识点梳理】考点1：分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.注意：分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.考点2：分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.考点3：分式方程应用类型一：工程问题类型二：行程问题类型三：销售问题类型四：方案问题【典例分析】【考点1分式方程定义】【典例1】（2022春•方城县期中）给出下列方程：，，，，其中分式方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：根据分式方程的定义可知：分式方程有＝2，＝，共有2个．故选：B．【变式11】（2021秋•鱼台县期末）下列方程中不是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意；B、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意；C、分母中不含未知数，不是分式方程，故此选项符合题意；D、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意．故选：C．【变式12】（2021秋•西峰区期末）下列关于x的方程是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；选项C，是分式方程，符合题意；故选：C．【变式13】（2020秋•南岗区期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．+＝1 B．x+＝2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1【答案】B【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【考点2解分式方程】【典例2】（2022春•雁塔区校级期末）解方程：（1）；（2）＝1．【解答】解：（1）﹣1＝，方程两边都乘x﹣2，得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，x﹣2≠0，所以x＝﹣是原方程的解，即原方程的解是x＝﹣；（2）﹣＝1，﹣＝1，方程两边都乘（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣18＝（x+3）（x﹣3），解得：x＝3，检验：当x＝3时，（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝3是增根，即原分式方程无解．【变式21】（2022春•淮安期末）解分式方程：+3＝﹣．【解答】解：去分母得：2﹣x+3（x﹣3）＝﹣1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：x﹣3＝0，∴x＝3是增根，分式方程无解．【变式22】（2022春•洪泽区期末）解方程：﹣＝1．【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），整理得：x2+2x﹣5x+10＝x2﹣2x，解得：x＝10，检验：把x＝10代入得：x（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝10．【变式23】（2022春•海州区期末）解分式方程：（1）；（2）．【解答】解：（1）两边乘（x﹣3）（3x﹣1），得2（3x﹣1）＝3（x﹣3），解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x﹣3）（3x﹣1）≠0，所以x＝﹣是原方程的解．（2）方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得（x+1）2﹣4＝x2﹣1．解得：x＝1，检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+1）＝0，所以x＝1是增根，原方程无解．【变式24】（2022春•溧阳市期末）解下列分式方程：（1）＝；（2）＝﹣3；（3）﹣＝2；（4）+＝．【解答】解：（1）去分母得：6﹣2x＝4+x，解得：x＝，检验：把x＝代入得：2（x+4）≠0，∴分式方程的解为x＝；（2）去分母得：2x﹣5＝3x﹣7﹣3x+6，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，∴x＝2是增根，原方程无解；（3）去分母得：x2+x（x+2）＝2x2﹣8，解得：x＝﹣4，检验：把x＝﹣4代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣4；（4）去分母得：3x﹣9+2x＝x+3，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，∴x＝3是增根，原方程无解．【考点3分式方程应用类型】类型一工程问题【典例3】（2022春•闵行区校级期末）某工程队承担了修建地铁两个站点间2400米的隧道工程任务，由于采用了新技术，现在每个月比原计划多掘进了180米，因而比原计划提前3个月完成任务．（1）求完成此项工程原计划每个月掘进多少米？（2）如果每天的施工费用为2.5万元，那么该工程队现在完成此项工程共需多少万元？（每个月按30天算）【解答】解：（1）设完成此项工程原计划每个月掘进x米，则现在每个月掘进（x+180）米．根据题意，得：﹣＝3，整理，得：x2+180x﹣144000＝0．解得：x1＝﹣480，x2＝300．经检验：x1＝﹣480，x2＝300都是原方程的解，但x1＝﹣480不符合题意，舍去．答：完成此项工程原计划每个月掘进300米．（2）×2.5×30＝375（万元）．答：该工程队现在完成此项工程共需375万元．【变式31】（2022春•涟水县期末）某校为美化校园环境，计划对面积为1200m2的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360m2区域的绿化时，甲队比乙队少用2天．求甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少m2？【解答】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5xm2，依题意，得：，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解．∴1.5x＝90．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是90m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是60m2．【变式32】（2022春•瑶海区期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若甲、乙两工程队合做20天可完成；若让两队合做15天后，剩下的工程由甲队独做，还需15天才能完成．（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费10000元，乙工程队施工每天需付施工费26000元，此项工程若由甲工程队先独做若干天后，乙工程队再加入共同完成剩下的工程，则甲工程队至少要独做多少天，才能使施工费不超过680000元？【解答】解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，由题意得：×15+＝1，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∵﹣＝﹣＝，∴乙工程队单独完成此项工程需要30天，答：甲队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天；（2）设甲工程队要独做a天，乙工程队做了b天，由题意得：+＝1，整理得：a+3b＝60，∴b＝20﹣a，∵施工费不超过680000元，∴10000（a+b）+26000b≤680000，∴10000（a+20﹣a）+26000（20﹣a）≤680000，解得：a≥20，答：甲工程队至少要独做20天．【变式33】（2022•桂林模拟）为了进一步丰富市民的休闲生活，某区政府决定在漓江沿岸扩建5400米绿道并进行招标，根据招标结果，该工程由甲、乙两个工程队参与建设．已知：甲工程队每天完成的工程量是乙队的1.2倍，甲队单独完成工程比乙队单独完成少用10天．（1）求乙队每天能完成多少米？（2）若甲、乙两个工程队合作20天后，剩余工程由乙工程队单独完成，求乙工程队还需多少天？【解答】解：（1）设乙队每天能完成x米．则甲工程队每天完成1.2x米，由题意可得：，解得：x＝90，经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意．答：乙队每天能完成90米；（2）设乙工程队还需y天．由题意可得：1.2×90×20+90（20+y）＝5400，解得：y＝16，答：乙工程队还需16天．类型二行程问题【典例4】（2021•北碚区校级开学）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度；（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？【解答】解：（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意得：﹣＝+，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，则1.5x＝9，答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；（2）小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9＝（小时），小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60＝（小时），设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：1.5+（﹣﹣）m≥4.5，解得：m≥7.2，答：小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为7.2千米每小时．【变式41】（2020秋•安丘市期末）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．【解答】解：设小芳的速度是x米/分钟，则小明的速度是1.2x米/分钟，根据题意得：﹣＝6，解得：x＝50，经检验x＝50是原方程的解，答：小芳的速度是50米/分钟．2．（2012•山西模拟）列方程或方程组解应用题：为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15千米，因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时走多少千米．【解答】列方程或方程组解应用题：解：设肖老师骑自行车每小时走x千米．根据题意得：，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解，并符合实际意义，答：肖老师骑自行车每小时走15千米．【变式42】（2021•扬州模拟）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．【解答】解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）xkm/h，依题意，得：﹣＝，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴（1+50%）x＝75．答：走路线B的平均速度为75km/h．类型三：销售问题【典例5】（泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有+30＝，解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，1.5x＝60．答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；（2）＝160，160﹣30＝130（元），130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）＝4680+1920﹣640＝5960（元）答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．【变式51】（2022春•田东县期末）“芒果正宗，源自田东”．田东的桂七芒果，皮薄肉细，多汁香甜、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，果之上品”．现某芒果园有甲、乙两支专业采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600公斤芒果，甲队采摘28800公斤芒果所用的天数与乙队采摘19200公斤芒果所用的天数相同．问甲、乙两队每天分别可采摘芒果多少公斤？【解答】解：设乙队每天可采摘芒果x公斤，则甲队每天可采摘芒果（x+600）公斤，依题意得：＝，解得：x＝1200，经检验，x＝1200是原方程的解，且符合题意，∴x+600＝1200+600＝1800．答：甲队每天可采摘芒果1800公斤，乙队每天可采摘芒果1200公斤．【变式52】（2022春•锦州期末）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3600元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少了10件．（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价是多少元；（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为80元，求该商店两次购进的“冰墩墩”玩具全部售完的总利润是多少元？【解答】解：（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为（1+20%）x元，依题意得：﹣＝10，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为60元．（2）第一次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3600÷60＝60（件），第二次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3600÷[60×（1+20%）]＝50（件）．80×（60+50）﹣3600﹣3600＝1600（元）．答：两次的总利润为1600元．【变式53】（2022春•大观区校级期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？【解答】解：（1）设每个甲商品的进价为x元，则每个乙商品的进价为（x+2）元，依题意得：＝，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝8+2＝10．答：每个甲商品的进价为8元，每个乙商品的进价为10元．（2）设购进m个乙商品，则购进（3m﹣5）个甲商品，依题意得：3m﹣5+m≤95，解得：m≤25．答：商场最多购进乙商品25个．类型四方案问题【典例6】（2021春•桐城市期末）某社区准备建造A，B两类摊位共80个，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．（1）求每个B类摊位占地面积．（2）要求建A类摊位的数量不少于26个，且建造两类摊位的总费用不超过18320元．①共有哪几种建造方案？②最少费用是元．【解答】解：（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，依题意得：＝×，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．答：每个B类摊位占地面积为6平方米．（2）每个A类摊位的建造费用为40×（6+2）＝320（元），每个B类摊位的建造费用为30×6＝180（元）．①设建造m个A类摊位，则建造（80﹣m）个B类摊位，依题意得：，解得：26≤m≤28．又∵m为整数，∴m可以为26，27，28，∴共有3种建造方案，方案1：建造26个A类摊位，54个B类摊位；方案2：建造27个A类摊位，53个B类摊位；方案3：建造28个A类摊位，52个B类摊位．②建造方案1所需费用为320×26+180×54＝8320+9720＝18040（元）；建造方案2所需费用为320×27+180×53＝8640+9540＝18180（元）；建造方案3所需费用为320×28+180×52＝8960+9360＝18320（元）．∵18040＜18180＜18320，∴最少费用是18040元．故答案为：18040．【变式61】（2021秋•德江县期中）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？【解答】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得﹣＝10，解得：x＝40．经检验：x＝40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x＝60．答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．【变式62】（2021•龙马潭区模拟）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，＝x＝15，经检验x＝15是原方程的解．∴40﹣x＝25．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜24．因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23