25.4解直角三角形的应用仰角与俯角（第1课时）（作业）（夯实基础能力提升）

25.4解直角三角形的应用—仰角与俯角（第1课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海·九年级单元测试）无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置B处的俯角是50°，那么小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是（

）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】根据仰角是向上看的视线与水平线所成的角、俯角是向下看的视线与水平线所成的角以及平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，由题意，∠A=50°，AC∥BD，∴∠B=∠A=50°，故小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是50°，故选：B．【点睛】本题考查仰角、俯角、平行线的性质，熟知仰角、俯角的概念是解答的关键．2．（2022·上海·九年级单元测试）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（

）米A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【详解】解：如图所示，BD=20米，DE=1.5米在Rt△ABD中，∠ADB=α∴又四边形BCED是矩形，∴BC=DE=1.5米∴AC=AB+BC=所以，旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．二、填空题3．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为θ，那么楼底到这十字路口的水平距离是____________米．【答案】100cotθ【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义直接进行解答即可．【详解】解：因为俯角是，则在直角△ABC中，，∵，∴．故答案是：100cotθ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．4．（2022·上海静安·九年级期末）如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点处观察A点的俯角为_______（用含的式子表示）【答案】【分析】根据题意作出图形，然后找出相应的仰角和俯角，利用平行线的性质即可求解．【详解】解：如图所示：在A点处观察B点的仰角为，即，∵，∴，∴在B点处观察A点的俯角为，故答案为：．【点睛】题目主要考查仰角和俯角及平行线的性质，理解题意，作出相应的图形是解题关键．5．（2022·上海·九年级单元测试）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为______米．【答案】3.2【分析】根据三角函数定义可知，可得的长，再根据，即可解答．【详解】解：由题意可得：，解得故答案为3.2【点睛】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是利用三角函数的定义求得的长．三、解答题6．（2022·上海崇明·九年级期末）如图，小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用无人机测量他所住小区的楼房BC的高度，当无人机在地面A点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的仰角为30°，当无人机垂直向上飞行到距地面60米的D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．(1)求小区楼房BC的高度；(2)若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置（计算结果保留根号）【答案】(1)米(2)秒【分析】（1）过点C作CE⊥AD于点E，可得四边形ABCE为平行四边形，从而得到AB=CE，AE=BC，∠ACE=30°，然后在和中，利用锐角三角函数，可得，DE=CE，即可求解；（2）设直线DM交AC延长线于点F，则DF∥AB，可得∠F=∠BAC=30°，在中，可得米，再除以速度，即可求解．（1）解：如图，过点C作CE⊥AD于点E，根据题意得：AD⊥AB，BC⊥AB，AD=60米，∠BAC=30°，∠CDE=45°，∴AD∥BC，AB∥CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AB=CE，AE=BC，∠ACE=30°，在中，∠ACE=30°，∴，在中，∠CDE=45°，∴∠DCE=45°，∴∠CDE=∠DCE，∴DE=CE，∴，解得：米，即小区楼房BC的高度为米；（2）如图，设直线DM交AC延长线于点F，则DF∥AB，∴∠F=∠BAC=30°，在中，米，∴秒，即经过秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角锐角三角函数值，并构造直角三角形是解题的关键．【能力提升】一、填空题1．（2022·上海·九年级单元测试）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为_____米．【答案】1200【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．【详解】解：作交于点，如图所示，，，，，，故答案为：1200．【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．二、解答题2．（2022·上海·九年级单元测试）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度【答案】(1)atanα+b米(2)3.8米【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα=，即可得到AB的高度；（2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到联立得到二元一次方程组解之即可得；（1）解：如图由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α∠B=∠D=∠CEB=90°∴四边形CDBE为矩形，则BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，tanα=，得AE=CE=CE×tanα=atanα而AB=AE+BE，故AB=atanα+b答：灯杆AB的高度为atanα+b米（2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8由于AB∥ED，∴∆ABF~∆EDF，此时即①，∵AB∥GC∴∆ABH~∆GCH，此时，②联立①②得，解得：答：灯杆AB的高度为3.8米【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．3．（2022·上海长宁·二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼，已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）(1)冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？(2)若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【答案】(1)居民住房会受影响，理由见解析(2)45米【分析】（1）首先沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G．在Rt△AFG中，利用正切求得AG的长，进而根据CF=BG=ABAG求得CF的高度．通过比较CF与超市高度6米，可得到中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响．（2）首先沿着光线作射线AE交直线BC于点E．在Rt△ABE中，利用正切求得BE的长，即为使得超市采光不受影响，两楼应至少相距的米数．（1）居民住房会受影响，理由如下，沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，由题意，在Rt△AFG中，GF=BC=20，∠AFG=29°，∴AG=GF•tan29°=20×0.55=11米，∴GB=FC=2511=14米，∵14＞6，∴居民住房会受影响（2）沿着光线作射线AE交直线BC于点E．由题意，在Rt△ABE中，AB=20，∠AEB=29°，∴BE＝≈45米，∴至少要相距45米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．4．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．(1)求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；(2)依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）【答案】(1)6米(2)24米【分析】（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；（2）过点D作DG⊥BC于点G，设BC=x米，用x表示出BG、DG，根据tan∠BDG=列出方程，解方程得到答案．（1）解：作DH⊥AE于H，如图所示：在Rt△ADH中，∵，∴AH＝2DH，∵AH2+DH2＝AD2，∴（2DH）2+DH2＝（）2，∴DH＝6（米）．答：乙同学从点A到点D的过程中，他上升的高度为6米；（2）如图所示：过点D作DG⊥BC于点G，设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝x，由（1）得AH＝2DH＝12，在矩形DGCH中，DH＝CG＝6，DG＝CH＝AH+AC＝x+12，在Rt△BDG中，BG＝BC﹣CG＝BC﹣DH＝x﹣6，∵tan∠BDG＝，∴，解得：x≈24，答：大树的高度约为24米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，作辅助线DH和DG构造直角三角形ADH和直角三角形BDG是解决本题的关键．5．（2022·上海·二模）如图，已知电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，身高1.2米的小明在点C处时，他的影子是CD，他从C处沿BC方向行走2.1米，到点E处时，他的影子是EF．在A处测得D、F的俯角分别是53°、37°．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）(1)影子长CD、EF分别是多少米？(2)求电线杆AB的高度．【答案】(1)，(2)【分析】（1）标记两点，直接利用正切函数的知识进行求解；（2）先表示出，根据建立等式进行求解．（1）解：如下图：根据题意得：，（米），，，，（米）；（2）解：，（米），，，解得：（米）．【点睛】本题考查了利用锐角三角函数解直角三角形的过程，解题的关键是构造直角三角形，及熟练掌握正切函数的定义，即对边与邻边的比值．6．（2022·上海·九年级单元测试）为了维护南海的主权，我国对相关区域进行海空常态化立体巡航．如图，在一次巡航中，预警机沿方向飞行，驱护舰沿方向航行，且航向相同．当预警机飞行到处时，测得航行到处的驱护舰的俯角为，此时距离相关岛屿恰为60千米；当预警机飞行到处时，驱护舰恰好航行到预警机正下方处，此时千米，当预警机继续飞行到处时，驱护舰到达相关岛屿且测得处的预警机的仰角为求预警机的飞行距离．（结果保留整数）（参考数据：．）【答案】预警机的飞行距离为95千米【分析】过B作BH⊥AE于H，过E作EF⊥BP交延长线于F，利用锐角三角函数解直角三角形求得AH、PF即可．【详解】解：过B作BH⊥AE于H，过E作EF⊥BP交延长线于F，则∠AHB=∠EFP=90°，由题意，∠A=45°，∠EPF=22°，BH=CD=EF=10千米，EH=BF，BP=60千米，在Rt△AHB中，∠A=45°，BH=10千米，∴AH=BH=10千米，在Rt△EFP中，∠EPF=22°，EF=10千米，∴，∴AE=AH+HE=10+60+25=95（千米），答：预警机的飞行距离为95千米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形，作垂线构造直角三角形是解答的关键．7．（2022·上海徐汇·九年级期末）如图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．(1)当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；(2)点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，）【答案】(1)4m(2)不会，理由见解析【分析】（1）过点作，垂足分别为，交于点，过点作于点，根据即可解决问题；（2）过点作于点，同理求得，进而勾股定理求得，根据平行线分线段成比例求得，进而判断是否大于即可判断该货车是否会发生车辆倾覆安全事故．（1）如图，过点作，垂足分别为，交于点，过点作于点，则四边形是矩形，斜坡AB的坡角为37°，即,，，（2）该货车不会发生车辆倾覆安全事故，理由如下，如图，过点作于点，同理求得在中，四边形是矩形,该货车不会发生车辆倾覆安全事故．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，正确的作出辅助线是解题的关键．8．（2022·上海青浦·九年级期末）如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C（ACBD）处测得教学楼顶部D的仰角为27°，教学楼底部B的俯角为13°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=20米．求教学楼BD（BD⊥AB）的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【答案】教学楼BD的高度约为14.8米．【分析】由题意过点C作CH⊥BD，垂足为点H，进而依据和以及BD=HD+HB进行分析计算即可得出答案.【详解】解：过点C作CH⊥BD，垂足为点H，由题意，得∠DCH=27°，∠HCB=13°，AB=CH=20（米），在Rt△DHC中，∵，∴，在Rt△HCB中，∵，∴，∴BD=HD+HB10.2+4.6=14.8（米）．答：教学楼BD的高度约为14.8米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．9．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，小杰在湖边高出水面约的平台A处发现一架无人机停留在湖面上空的点P处，该无人机在湖中的倒影为点，小杰在A处测得点P的仰角为，点的俯角为60，求该无人机离开湖面的高度（结果保留根号）．【答案】【分析】连接，过点作于点，交于点，根据俯角与仰角求得，解直角三角形即可求得，根据轴对称的性质列出方程进而求得，根据即可求得该无人机离开湖面的高度．【详解】如图，连接，过点作于点，交于点,，，设,则，、关于对称即即该无人机离开湖面的高度【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出图形是解题的关键．10．（2022·上海金山·九年级期末）如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机在位于点时距离地面MN的高度CH为30米，测得旗杆顶部点的俯角为，测得旗杆底部点的俯角为，求旗杆的高度。【答案】旗杆高度为米．【分析】作，垂足为点D．根据题意易判断米，再根据，即可利用正切求出CD的值，最后根据，即可求出旗杆高度．【详解】解：如图，作，垂足为点D．根据题意，得：，，在中，，，∴米．∵，∴四边形ABHD是矩形，∴米，．在中，，，∴米，∴米．故旗杆高度为米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用．作出常用的辅助线是解答本题的关键．11．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图是位于奉贤南桥镇解放东路866号的“奉贤电视发射塔”,它建于1996年,在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物,该记录一直保持到2017年,历了25年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．某数学活动小组在学习了“解直角三角形的应用”后,开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．测量方案：如图,在电视塔附近的高楼楼顶处测量塔顶处的仰角和塔底处的俯角．