第15课时矩形的判定考点过关易错点警示及能力点拓展

第15课时矩形的判定（解析版）一、考点过关考点1灵活选用矩形的判定方法判定四边形为矩形1．（2021春•武安市期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD思路引领：由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．解：添加AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：D．总结提升：此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．2．（2022秋•丰顺县校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）A．MB＝MO B．OM=12AC C．BD⊥AC D．∠AMB思路引领：由平行四边形的性质可知，OA＝OC，OB＝OD，再证OM＝ON，则四边形AMCN是平行四边形，然后证MN＝AC，即可得出结论．解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM＝AC，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵OM=12∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．故选：B．总结提升：本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．3．（2022春•单县期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC思路引领：由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠A＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∴选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：B．总结提升：本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．4．（2022春•夏邑县期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE思路引领：先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定进行解答即可．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形DBCE为平行四边形，A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴∠BDE＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；故选：B．总结提升：本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．5．（2021春•蒙阴县期中）如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE＝CF；②AB＝DC；③S△ABE＝S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个思路引领：根据题意可以分别判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．解：∵l1∥l2，BE∥CF，∴四边形BCFE是平行四边形，∴BE＝CF，故①正确，∵l1∥l2，BA⊥l1，DC⊥l2，∴AB＝DC，故②正确，∵BE∥CF，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△DCF中，∠AEB=∠DFC∠BAE=∠CDF∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝DC，∴S△ABE＝S△DCF，故③正确，∵l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，∴四边形ABCD是矩形，故④正确，故选：D．总结提升：本题考查矩形的判断、平行线之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用矩形的性质和平行线的性质解答．6．（2019春•晋江市期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形AEDF的周长等于这个三角形的（）A．周长 B．周长的一半 C．两腰长和的一半 D．两腰长的和思路引领：由DE∥AC、DF∥AB可得出四边形AEDF为平行四边形，根据平行四边形的性质结合四边形AEDF的周长即可得到结论．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴DE＝AF，AE＝DF，∴C四边形AEDF＝AE+ED+DF+FA＝2（AE+BE）＝2AB，∵AB＝AC，∴四边形AEDF的周长等于这个三角形的两腰长的和，故选：D．总结提升：本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，根据等腰三角形的性质及平行四边形的性质找出EB＝ED是解题的关键．7．（2022春•雁塔区校级期末）如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．思路引领：利用三个内角等于90°的四边形是矩形，即可证明．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC=12∠ABC，∠HCB=1∴∠HBC+∠HCB=12（∠ABC+∠BCD）∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．总结提升：本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，难度适中．8．（2021春•饶平县校级期末）如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形；（3）当∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．思路引领：（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；（2）对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形；（3）由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝50°，由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，∠OEB=∠ODC∠BOE=∠COD∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形；理由：∵四边形BECD是平行四边形，∴当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形；（3）解：若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案是：（2）90°；（3）100°．总结提升：此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．考点2利用平行线间的距离解决问题9．如图，梯形ABCD的两条对角线交于点E，图中面积相等的三角形共有3对，分别是△ABC和△BCD，△ABD和△ACD，△ABE和△CDE．思路引领：根据等底等高的三角形的面积相等解答．解：面积相等的三角形共有3对，分别是△ABC和△BCD，△ABD和△ACD，△ABE和△CDE．故答案为：3；△ABC和△BCD，△ABD和△ACD，△ABE和△CDE．总结提升：本题考查了梯形，三角形的面积，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．10．（2021•永嘉县校级模拟）已知平面上四点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），直线y＝mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为﹣1．思路引领：根据A、B、C、D四点坐标得到四边形ABCD为矩形，根据矩形的性质当直线y＝mx﹣m+2过矩形的对角线的交点时，直线把矩形的面积分成相等的两部分，然后把中点坐标（2，1）代入y＝mx﹣m+2即可计算出m的值．解：∵点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），∴四边形ABCD为矩形，∵直线y＝mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y＝mx﹣m+2过矩形的对角线的交点，而矩形的对角线的交点坐标为（2，1），∴2m﹣m+2＝1，∴m＝﹣1．故答案为﹣1．总结提升：本题主要考查了矩形的判定与性质，熟知过矩形中心的直线把矩形分成面积相等的两部分是解本题的关键．二、拔尖提优训练11．（2011春•雁江区期末）如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足AB＝AD（关系）时，四边形EFGH为矩形．思路引领：利用矩形ABCD的四个内角都是直角的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理推知△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．又由矩形EFGH的对边FG＝EG推知ED＝BF，则AD＝AB．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°．∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°．又∵EH⊥EF，FG⊥EF∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB又∵AE＝AF，∴AD＝AB．故答案是：AD＝AB．总结提升：本题考查了矩形的判定与性质．平行四边形具有的性质矩形都具备，并且矩形的四个内角都是直角．12．（2022春•盐城期末）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是AC⊥BD．（只需写出一个符合要求的条件）思路引领：根据平行公理的推论求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四边形EFGH，证出∠E＝90°即可．解：添加的条件是AC⊥BD，∵BD∥EF，BD∥GH，∴EF∥GH，同理EH∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥AC，∵EH∥AC，∴EF⊥EH，∴∠E＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形，故答案为：AC⊥BD．总结提升：本题主要考查对矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出平行四边形EFHGH和∠E＝90°是解此题的关键．13．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点．设AM的长为x，则x的取值范围是2.4≤x＜4．思路引领：连接AP，首先根据勾股定理的逆定理可求出△ABC是直角三角形，进而得出四边形AEPF是矩形，由矩形的性质求出AM=12EF=12AP，然后根据垂线段最短的性质，利用直角三角形的面积公式可求出AP的最小值，结合点P不与点B，解：连接MP，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝36+64＝100，又∵BC2＝100，∴AB2+AC2＝BC2．∴∠BAC＝90°．∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP．∵M是EF的中点，∴AM=12EF=当AP⊥BC时，AP最短，此时S△BAC=12×6×8=解得AP＝4.8．即AP的范围是AP≥4.8．当P和C重合时，AP＝8，∴4.8≤AP＜8．∴2.4≤AM＜4．即2.4≤x＜4．故答案为：2.4≤x＜4．总结提升：本题考查了勾股定理，掌握勾股定理及勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质的应用是解题的关键．14．（2022春•柳州期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AE=12（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．思路引领：（1）证△AGF≌△DGC（ASA），得出AF＝CD，则AF＝AB，证AE是△BDF的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论；（2）证四边形是ACDF平行四边形，得出FG＝CG，证△AFG是等边三角形，得出AG＝GF，则AD＝CF，再利用矩形的判定方法得出结论．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AE＝CE，∴∠FAG＝∠CDG，∵点G是AD的中点，∴GA＝GD，在△AGF和△DGC中，∠FAG=∠CDGAG=DG∴△AGF≌△DGC（ASA），∴AF＝CD，∴AF＝AB，∵AE＝CE，∴AE是△BDF的中位线，∴AE=12（2）解：四边形ACDF是矩形．理由如下：由（1）得AF＝CD，AB＝AF，又∵AB∥CD，∴四边形是ACDF平行四边形，∴FG＝CG，又∵AG＝AB，∴AG＝AF，∴AB＝AG＝AF，∵∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°，∴△AFG是等边三角形，∴AG＝GF，∵AG＝GD，∴AD＝CF，∴四边形ACDF是矩形．总结提升：此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键．15．（2017•达州）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．思路引领：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，证出OE＝OC＝OF，∠ECF＝90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=C∴OC＝OE=12（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．总结提升：此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF＝90°是解题关键．16．（2014春•沂水县期末）数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样，往往起源于猜测中的发现，我们所发现的不一定对，但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后，当所发现的在逻辑上没有矛盾之后，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．（1）尝试证明：等腰三角形的探索中借助折