第11单元02基础练

第十一单元三角形一、选择题1.下列四个图中，正确画出中边上的高是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形的高的定义逐一判断，即可得到答案．【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点A向作垂线，垂足为D，纵观各图形，选项A、B、D都不符合题意，只有选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高的定义是解题关键．2.长度分别为2、5、a的三条线段能组成一个三角形，那么a的值可能是（）A.2 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边之间的关系即可判定．【详解】解：，，故只有5符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握和运用三角形三边之间的关系是解决本题的关键．3.从数学角度看下列四副图片有一个与众不同，该图片是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可．【详解】伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性.故选：C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，解题的关键是分析能否在同一平面内组成三角形．4.如图，在中，点D、E分别为的中点，点F在线段上，且，若的面积为．则的面积为___________．A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线平分三角形面积求出，进而得到，再由，即可得．【详解】解：∵是的中点，∴，∵E是的中点，∴，∴，∵，即，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．5.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．在镶嵌图案里若基本图形只有一种，则称为单元镶嵌．下面基本图形不能进行单元镶嵌的是（）A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形【答案】C【解析】【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．【详解】解：A、等边三角形的每一个内角为，是的约数，所以等边三角形能进行单元镶嵌，不符合题意；B、正方形的每一个内角为，是的约数，所以正方形能进行单元镶嵌，不符合题意；C、正五边形的每一个内角度数为，不是的约数，所以正五边形不能进行单元镶嵌，符合题意．D、正六边形的每一个内角度数为，是的约数，所以正六边形能进行单元镶嵌，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．6.若一个多边形的内角和与外角和相加是，则此多边形是（）A.四边形 B.六边形 C.八边形 D.十四边形【答案】A【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意得，，解得，∴这个多边形是四边形，故选A．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，熟知任何多边形的外角和都是是解题的关键．7.如图，已知点P是射线上一动点（不与点O重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根据“两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形”，据此求解即可．【详解】解：由三角形内角和可得：，∵，∴当与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有；当大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有．故选：D．【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键．8.如图，在正五边形中，为边延长线上一点，连接，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正多边形的外角和是，求出这个正多边形的每个内角，再根据，得出，最后根据，即可得出答案．【详解】解：∵正五边形，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的外角和内角的度数是常用的一种方法．9.将一副三角板按如图放置，其中，则下列结论正确的序号有（）①如果与互余，则，②如果，则有；③④如果，必有A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】求解，可得，证明，可得，故①符合题意；如图，记，的交点为，求解，可得，不垂直，故②不符合题意；由，可得③符合题意；求解，证明，可得，故④符合题意；从而可得答案．详解】解：∵，，∴，∵与互余，∴，∵，∴，∴，故①符合题意；如图，记，的交点为，∵，∴，∴，∴，不垂直，故②不符合题意；由∴③符合题意；∵，∴，∴，∵，∴，故④符合题意；故选B【点睛】本题考查是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定，角的和差运算，熟练的利用三角形的内角和与角的和差关系进行计算是解本题的关键．10.如图，在中，平分，于点，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据角平分线定理和三角形内角和求出，，，最后利用三角形内角和求出最后结果．【详解】解：平分，，，，，在中，，，，，在中，，．故选：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．二、填空题11.一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时问为_______．【答案】60【解析】【分析】根据流程图步骤即可知机器人一共转了，且机器人共行走了，故该机器人从开始到停止所需时间为．【详解】解：∵，依据题中的图形的步骤，可知旋转八次后机器人行走轨迹为边长为6的正八边形后回到原地，∴机器人一共行走．∴该机器人从开始到停止所需时间为．故答案为：60．【点睛】程序框图题需要注意的是要找准运算的方向，按照题中剪头的方向依次计算；若出现判断框时要注意，判断清楚满足否和是哪个路径的要求，有时会出现分类讨论进行求解；有时还会出现循序结构，需要注意循环结构结束的条件．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）12.若正n边形的一个外角为，则_____________．【答案】5【解析】【分析】正多边形的外角和为，每一个外角都相等，由此计算即可．【详解】解：由题意知，，故答案为：5．【点睛】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正n边形的外角和为，每一个外角的度数均为．13.正五边形和正方形的位置如图所示，连接，则的度数为______度.【答案】【解析】【分析】由正多边形的性质得，再结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出结论.【详解】解：∵是正五边形，是正方形，∴，，，,∴，，∴，故答案为：.【点睛】本题主要考查多边形的性质，掌握相关性质是解题的关键.14.如图，、分别是边、上的点，，，设的面积为，四边形的面积为，若，则的值为______．【答案】6【解析】【分析】根据，得，则，根据得，则，进行计算即可得．【详解】解：，，∴，∴，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．15.如图，已知五边形内部有一点，连接，，若，则_______°．【答案】【解析】【分析】根据多边形内角和公式可得五边形的内角和为：，根据，，再代入求值即可．【详解】解：∵五边形的内角和为：，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查多边形内角和，三角形的内角和，正确理解题意是解题的关键．三、解答题16.有两个多边形，其中一个多边形的边数比另外一个多边形边数2，但内角和却是它的2倍，求这两个多边形的边数．【答案】4，6【解析】【分析】设边数少的一个多边形的边数为，则另一个多边形的边数为；根据多边形内角和（为正整数）列出方程求解即可．【详解】解：设边数少的一个多边形的边数为，则另一个多边形的边数为；根据题意：，解得：，则．【点睛】本题考查了多边形内角和，熟记多边形内角和（为正整数）和方程思想是解题的关键．17.如图，在中，是中线，是的高，且，．（1）___________（填数字）；（2）求及的长；（3）若，求和的周长差．【答案】（1）2（2），（3）1【解析】【分析】（1）根据三角形的中线的性质即可求解；（2）根据三角形的中线的性质可得，根据三角形的面积公式即可求得；（3）根据三角形的周长公式，结合（1）（2）中结论即可求得．【小问1详解】∵是中线，∴，即，故答案为：2．【小问2详解】∵是中线，∴，又∵，且，故．小问3详解】∵的周长为，的周长为，且，故和的周长差为即和的周长差为1．【点睛】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积公式，三角形的周长公式等，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．18.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的．（2）画出的边上的高．（3）画出边上的中线．（4）若连接、，则这两条线段之间的关系是______．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）平行且相等【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点、平移后的对应点、的位置，然后与点顺次连接即可；（2）根据三角形的高线的定义作出图形即可；（3）根据三角形的中线的定义作出图形即可；（4）根据平移的性质，对应点的连线平行且相等解答即可．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】如图，即为所求；【小问3详解】如图，即为所求；【小问4详解】由平移的性质可得：与平行且相等．【点睛】本题考查了利用平移变换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．19.（1）如图①，在线段上找点O，连结，使平分的面积．（2）如图②，在线段上找点Q，连结，使．（3）如图③，已知线段是的边上的高，直接写出．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据三角形的中线平分三角形的面积得：延长边上的中线与的交点即为所求；（2）根据得：边上高的延长线与的交点即为所求；（3）根据可知：方格中小正方形的边长为1，然后根据面积相等即可求出．【详解】解：（1）设的中点为R，作射线交于点O，则点O为所求作的点．理由如下：∵点R为的中点，∴，∴和等底同高，∴和的面积相等，即：平分的面积．（2）过点F作，垂足为T，的延长线交于点Q，则点Q为所求的点．（3）．理由如下：∵，∴方格中小正方形的边长为1，∵，又∵，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了作图：作射线平分三角形面积，作已知线段的垂线，利用面积相等求高，三角形中线的性质等知识，掌握这些知识是关键．20.请把下面的证明过程补充完整．已知：如图，是的高，点在上，在上，，．求证：证明：∵是的高．∴（三角形高线的定义）．∴（）．∴（直角三角形两个锐角互余），又∵（已知），∴（）．又∵（已知），∴（）．∴（）．【答案】垂直的定义；；同角的余角相等；等量代换：内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据垂线的定义得到，可得，利用同角的余角相等得到，等量代换可知，最后根据内错角相等，两直线平行即可证明．【详解】证明：∵是的高．∴（三角形高线的定义）．∴（垂直的定义）．∴（直角三角形两个锐角互余），又∵（已知），∴（同角的余角相等）．又∵（已知），∴（等量代换）．∴（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，余角的性质，三角形高的定义，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．21.（1）求出图中x的值（2）若多边形的所有内角与它的一个外角的和为，求边数和内角和．（3）如图，，，若，，求，，的度数．【答案】（1）①；②；③；（2）内角和为，边数为5；（3），，【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理与多边形的内角和定理列方程解答即可；（2）根据多边形的内角和是的整数倍，从而可得答案；（3）先求解，，证明，可得，再利用三角形的外角性质可求解．【详解】解：（1）①由三角形的外角的性质可得：，解得：，②由四边形的内角和定理可得：，解得：，③由五边形的内角和公式，可得：，解得：；（2）由，∴这个外角的大小为，多边形的内角和为，∴，解得：，∴这个多边形的变数为：5；（3）∵，，∴，，∵，，∴，而，∴，∴．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质的应用，多边形的内角和问题，平行线的性质，熟记多边形的内角和定理是解本题的关键．22.如图，在五边形中，，，．（1）若，请求的度数；（2）试求出的度数．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可进行求解；（2）根据多边形内角和及平行线的性质可进行求解．【小问1详解】解：∵，∴，∴；【小问2详解】解：五边形中，，∵，，，∴．【点睛】本题主要考查多边形内角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键．23.四边形中，，．（1）如图1，若，试求出的度数；（2）如图2，若的角平分线交于点E，且，试求出的度数；（3）如图3，若和的角平分线交于点，试求出的度数．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到，，由的角平分线交于点，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（3）根据四边形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论．【小问1详解】解：，，，；【小问2详解】，，，，，的角平分线交于点，，；【小问3详解】，，，和的角平分线交于点，，．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键．24.如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接．（1）当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长；（2）当为的角平分线时，①若，求的度数；②若，则．【答案】（1）；（2）①的度数为；②【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求出的长，再根据中线的性质即可解决问题；（2）①根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，从而求解；②设，则，然后根据三角形内角和用含x的式子表示出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，从而求解．【小问1详解】解：由题意可知：，，的面积为24，∴，∴，∴，∵是的中线，∴；【小问2详解】解：①在中，，在中，∵，∴，∵为的角平分线，∴，∴的度数为；②设，则，在中，，在中，∵，∴，∵为的角平分线，∴，∴的度数为，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的角平分线与三角形内角和定理，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题．25.阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做对顶三角形．解决问题：如图，与是对顶三角形．（1）试说明：；（2）试利用上述结论解决下列问题：若、分别平分与，，，①求的度数（用含m、n的代数式表示）；②若、分别平分与，，求的取值范围．【答案】（1）见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）利用三角形内角和结合“8”字型模型证明即可；（2）①由（1）中的结论推导可得；②先根据角平分线得到，再利用四边形内角和结合求得，最后解不等式即可．【小问1详解】解：在中，，在中，，又，．【小问2详解】①、分别平分与，，.与是对顶三角形，是对顶三角形①.与是对顶三角形，②由①+②，得，，②、分别平分与，，，同理可求得在四边形中，，，.由（1）①证得，则，，解得．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．一、选择题（2023·湖南·统考中考真题）26.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.1，3，4 B.2，2，7 C.4，5，7 D.3，3，6【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可．【详解】解：，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）27.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为，∴，故选A【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）28.如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可求，由，即可求解．【详解】解：如图，由题意得：，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关键．（2023·广东深圳·统考中考真题）29.如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（）A.70° B.65° C.60° D.50°【答案】A【解析】【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∵，∴，∴；故选A．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．（2023·四川达州·统考中考真题）30.如图，，平分，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．二、填空题（2023·浙江杭州·统考中考真题）31.如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________．【答案】##90度【解析】【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可．【详解】∵，，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．（2023·湖南·统考中考真题）32.《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．【答案】####．【解析】【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．【详解】解：由题意可知，矩，欘宣矩，，故答案为：．【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．（2023·吉林·统考中考真题）33.如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．【答案】三角形具有稳定性【解析】【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．（2023·重庆·统考中考真题）34.若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为________．【答案】##800度【解析】【分析】根据多边形的内角和公式即可得．【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为，∴其余六个内角之和为，故答案为：．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．（2022·江苏镇江·统考中考真题）35.一副三角板如图放置，，，，则_________．【答案】105【解析】【分析】根据平行性的性质可得，根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：如图，∵，∴，，，，，故答案为：105．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（2022·四川攀枝花·统考中考真题）36.同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°．【答案】答案见解析【解析】【分析】如下图，连接，，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：连接，，五边形的内角和等于，，的内角和的和，五边形的内角和．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键．（2022·北京·统考中考真题）37.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，,求证：方法一证明：如图，过点A作方法二证明：如图，过点C作【答案】答案见解析【解析】【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为．方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和为．【详解】证明：方法一：过点作，则，．两直线平行，内错角相等）∵点，，在同一条直线上，∴．（平角的定义）．即三角形的内角和为．方法二：如图，过点C作∵CD//AB，∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，∴∠B+∠ACB+∠A=180°．即三角形的内角和为．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（2023·江苏扬州·校考二模）38.已知，如图，于，于，，，（1）求证：．（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，则，进而得出，等量代换得出，即可得证；（2）根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，结合已知条件得出，根据平行线的性质即可求解．【小问1详解】证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．【小问2详解】∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．（2023·浙江·校联考三模）39.在中，平分交于点D，点E是射线上的动点（不与点D重合），过点E作交直线于点F，的角平分线所在的直线与射线交于点G．（1）如图1，点E在线段上运动．①若，，则__________°；②若，求的度数；（2）若点E在射线上运动时，探究与之间的数量关系．【答案】（1）①；②（2）若点在射线上运动时，与之间的数量关系为：或【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定