立体几何进阶拓展-多球堆叠相切问题（老师版）

多球堆叠相切问题立体几何进阶拓展 题型一TOC\o"13"\h\z\u求堆积球的高4题型二求堆积球的内切球半径4题型三球的内切多球6题型四圆柱的内切多球7题型五正方体的内切多球8题型六正四面体的内切多球 9题型七空隙放球的个数问题 12 1多球堆叠相切问题，非常重要的一点是连接各球的球心，通过研究球心连接成的1几何体，就可以继续解题了；2正四面体的内切球，其半径为高的12由∆AZM~∆ANO可知，ONAO=3当x∈(0,π2)3求堆积球的高111[填空题][难度:◆◆

]（2024广东茂名一模T14求堆积球的高111如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写照，被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切，若球的半径都为a，则上层的最高点离平台的距离为【参考答案】26【答案解析】连接各球的球心，可得到棱长为2a的正四面体，如右图，我们不难算出，PE=233所以所求的最高点到平台的距离为GP+2a=211[单选题][难度:◆◆

]（2023浙江嘉兴高一下期中T8）11将3个半径为1的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（）A．32+63 B．3+26【参考答案】A【答案解析】连接各球的球心，可得到底面边长为2，侧棱长为2正三棱柱，我们不难算出，PE=2GP=63，所以最高点到桌面的距离为求堆积球的内切球半径121[填空题][难度:◆◆◆◆

]（2023山东高二下期末改编）求堆积球的内切球半径121把4个半径为2的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个，下层放三个，四个球两两相切，现在放入一个小球在这四个小球所形成的空隙中，则此小球的最大半径为．【参考答案】6-2【答案解析】连接各球的球心，可得到棱长为4的正四面体，其实这里比较难发现，这个正四面体的外接球球心就是要放入空隙的那个小球的球心，先算出正四面体的外接球半径，可得R=6图，即OE=6，故OK=6-2，11[多选题][难度:◆◆◆◆◆]（2023浙江嘉兴高一下期中T8）11如图，四个半径为2的实心小球两两相切，则（）A．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为6-B．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为62-43C．存在一个侧面积为(20-D．这四个实心小球可以放入一个半径为6【参考答案】BCD【答案解析】我建议这道题目老老实实地看答案解析，把三维视图看清楚了，然后记住结论就好，因为很难想象出来这个图形。首先是A选项，因为条件和前一题是一模一样的，所以可以放入的球的最大半径为6-2，而6-D选项，按照前面的思路，先把球心连在一起得到一个棱长为4的正四面体，只要求出这个正四面体外接球的半径即可，解得为6，所以如右图OE=6，所以OM=2+62+6的大球内部，D对；考，能放入的最大的正方体应该长什么样，因为A选项不是放了个球吗，只要求出这个球的内接正方体就可以了，半径为6内接正方体可以通过计算得边长为6方体是可以放进去的，这里你可能会产生疑惑，为什么莫名其妙要算出小球的内接正方体，难道这个正方体就是能放入空隙中的最大的正方体吗，凭什么赌内接正方体算出来就是C选项的数，针对这个疑惑，解答如下，因为本身这个空隙空间就很抽象，我们只能借助特殊的图形来帮助我们判断，如放个正四面体、球体，至于这个是不是所有能放入的正方体中最大的一个，特认真也没办法保证，但是题目考查的内容不可能是如此极限，难到无法想象的地步，所以就要赌内接正方体，如果算出来比C选项要小，那就放手别选了，此题抽象程度不是人能做的；D选项，要放圆柱了，我们也是一样，求出小球的内接圆柱就可以了，假设NM=r，ON=h2，则2π(6-2)21[单选题][难度:◆◆◆◆◆]（2018江西上饶二模T11）21现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是（）A．611 B．311 C．411【参考答案】A【答案解析】这题很难，没有好的方法，只能画出图来分析计算，如右图，RD=2，SJ=3，设第五个小球的半径为r，球心为T，则TD=r+2，股定理可以分别算出TR=TDTS=TJ2-9在Rt∆SRJ中，RJ=21，即r来会方便一点，(r2+4r)2球的内切多球131[单选题][难度:◆◆◆◆

]（202球的内切多球131水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A．4 B．22+2 C．23+2【参考答案】C【答案解析】根据题目的意思，摆成半球形容器内壁与四个小球均相切即可，不难发现，四个球与桌面的切点和四个球的球心之间连线会围成一个长宽为4，高为2的立方体，而立方体底面的正中心H正是半球形容器的球心，若要半球形容器内壁的半径有最小值，则半径即为HM=211[填空题][难度:◆◆◆◆

]（2023广东深圳高一下期中T16）11水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切．若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是．【参考答案】2【答案解析】这题和上一题如出一辙，根据题目的意思，摆成如右图的样子，不难发现，这次三个球与桌面的切点和三个球的球心之间连线会围成一个高为2，底面边长为4的正三棱柱，正三棱柱底面的正中心H正是半球形容器的球心，故所求半径最小值为HM=221[单选题][难度:◆◆◆◆

]（2015浙江二模T7）21半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径A．32+3R B．11+3R【参考答案】C【答案解析】摆成如右图这个形状，四个小球两两相切且与大球相切，此时小球的半径最大，连接四个小球的球心可得到一个棱长为2r四面体，不难算出其外接球半径为62rR=OM=62r+r圆柱的内切多球141[填空题][难度:◆◆◆◆◆]（2021重庆高一上期末T15）圆柱的内切多球141将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为．【参考答案】2+【答案解析】首先要想第二层应该怎么放，错误放法如右图，第一层放三个球，第二层在三个球的上面放一个球，这样的话，接下来再放进去的球都会被卡在上面，下不来，正确的摆法应该是第二层和第一层平行，第二层的球都座落在第一层相邻两个小球的凹陷处，你可能会疑惑，都座落在凹陷处了，第二层的三个小球能保证相互之间是紧贴在一起？答案是必然的，你可以理解为把第一层小球复制一份放在第二层，然后将第二层绕着圆柱的中轴线转动到使三个小球都位处凹陷处就行了，如右图所示，上下两个分别是边长为2的正三角形，KR=KF设U和P分别是上下两个三角形的中心，则UP必垂直于这俩三角形所在的平面，RP=13RP=33，∴SR=KR2-11[填空题][难度:◆◆◆◆◆]（2014山西高二上月考T16）11将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．【参考答案】2+4【答案解析】这一题其实和上一题方法是一样的，如右图，RQ=22ST=2，RU=RW-SV=2-1，定理可得SU=RS221[填空题][难度:◆◆◆◆

]（2014山西高二上月考T16）21底面半径为1的圆柱形容器里放有四个半径为底层两球与容器底面相切，现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则容器中水高为．【参考答案】1+【答案解析】把球心连接起来，可以得到一个边长为1的正四面体，要求出水的高度，就要求出如右图SR的长度，即该正四面体的对棱之间的距离，在直角三角形SRD中，SD=32，求出SR=22，所以水的高度为正方体的内切多球151[填空题][难度:◆◆◆

]（2013贵州高三月考T16正方体的内切多球151球O是棱长为2的正方体的内切球（与正方体的各个面均相切），现在要在正方体内放置一个小球O'，使球O'与正方体的三个面及球O均相切，则球O'的半径为．【参考答案】2-【答案解析】如右图，把球心连接之后，整个大正方体的体对角线由三个部分组成，边长为1的正方体的体对角线、两球心的距离、边长为2-3，根据题目已知条件，我们知道如右图KG=3，所以AG-KG=23-3=3ZK=r+1，故3r+r+1=311[单选题][难度:◆◆◆◆

]（2021河南高三上开学考T11）11设一正方体内部有两个球O1和O2，已知球O1与正方体的三个面相切，球O2与正方体的六个面均相切，球O1与球O2也相切，设球O1，O2的半径分别为r2，r2A．3-2 B．2-3 C．【参考答案】B【答案解析】这题背景和上一题只能说是一模一样，所以我就不作图了，也不做解释了，若正方体边长为2a，则r2=a所以r21[单选题][难度:◆◆◆◆

]（2020重庆二诊T12）21两球O1和O2在棱长为2的正方体ABCD-A1点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O面积之和的最小值为（）A．3(2-3)π B．4(2-3)π【参考答案】C【答案解析】设球O1和O2的半径分别为r1和rO1A=3r1，即r1+rr22)≥8πr131[填空题][难度:◆◆◆◆

]（2022湖南师大附中高一下期中T16）31在棱长为42交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为；大球体积的最小值为．【参考答案】2；125【答案解析】如果小球半径要最大，那就如右图所示，小球之间相邻小球是相切的，所以小球的半径为2球心连起来可得到一个正四棱锥，设大球半径为R，则WG=R+2，WB=42-R-2(R+2)2=4+(3正四面体的内切多球161[填空题][难度:◆◆◆◆

]（2023江苏连云港高一期末T8正四面体的内切多球161已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，则球O2的体积为．【参考答案】6π【答案解析】我们要记住一个结论，就是正四面体的内切球半径为高的14，由于正四面体棱长为12，我们可以计算出高为以内切球O1的半径为6可以理解为内切球O14×26=611[单选题][难度:◆◆◆◆

]（2024贵州新高考协作体高二入学考T8）11如图，O1是正四面体的内切球，球O2，O3，O4，O5分别是四个角处与球O1及正四面体的三个侧面都相切的球，则球O1的体积与球O2，O3，O4，O5的体积之和的比为（）A．1：2 B．1：1 C．3：2 D．2：1【参考答案】D【答案解析】这题目和上一题的框架是一致的，正四面体的内切球半径为高的1球O1的半径是高的14，然后我们又可以将球O3看成其在高为原来的高的正四面体中，所以不难得出球O3的半径与球O1的半径之比为1：2，球O2，O4，O5和球O3是一样的，球O1和球O3的体积之比为8：1，所以题目所求的体积之比为2：1.21[填空题][难度:◆◆◆◆

]（2024江苏无锡一中高一下期中T14）21如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一，建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先，如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD体积为83，则模型中最大球的体积为面积之和为．【参考答案】4π3；【答案解析】模型中的最大球就是内切球，正四面体的内切球半径为高的1们这个正四面体的体积为83，我们不难求出正四面体的棱长为26，高为球的半径为1，体积为4π3，然后我们又可以将中等球看成其在高为原来的高的点的正四面体中，也就是高为2的正四面体中，所以可以知道中等球的半径为1最小球的半径为14，因此，九个球的表面积之和为31[多选题][难度:◆◆◆◆◆]（2024河北张家口高考适应性测试T11）31如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）A．直线AE与PB所成的角为π2 B．△ABE的周长最小值为C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为6D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为【参考答案】ACD【答案解析】正三棱锥的对棱是相互垂直的，所以PB和AC垂直，又因为PB和DC垂直，所以PB垂直于面ADC，那就必有AE⊥PB，A对；B选项考查的是几何体的结构特征，我们要会展开，把∆ACD沿着CD展开与平面BDC同一个平面内，连AB，与CD交于E点，此时AE+EB有最小值，在∆ADC中由余弦定理可以求出cos∠ADC=13cos∠ADB=cos(∠ADC+π2)=-sin∠ADC=-弦定理可求出AB=41+63，所以∆ABEB错；C选项意思就是求内切球半径，根据结论，R=；D选项，把四个小球摆成如右图所示，把球心连在一起，会得到一个棱长为2r的小正四面体，不难求出这个小正四面体的高为JP=26所用的的结论，SJ=3r，所以SZ=4r+11[单选题][难度:◆◆◆◆◆]（2024湖北新高考协作体模拟卷T8）11一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是（）A．363 B．183 C．723【参考答案】C【答案解析】多的不说了，直接看右图，AO=3r=3，所以AF=22，正四面体任何一个面小球能碰到的面积都是和等边∆NHF等的面积，MA=23AD=42(原理：面积等于相似比的平方)，即S4×(S空隙放球的个数问题171[填空题][难度:◆◆◆◆◆]（2017河北高二下月考T空隙放球的个数问题171在底面半径为3高为4+23入与球面，圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为个【参考答案】6【答案解析】轴截面如右图所示，FG=(3+r所以高为4+23解得r=1，所以sin∠KHO=1tan∠KHO=么，直接不就是30°吗，别急，我这里展示的是做此