专题14圆与二次函数综合(原卷版+解析)

专题14圆与二次函数综合1．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．(1)求抛物线的解析式；(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；(3)如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．2．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为.（2）如图2，求证：BD//AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．3．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．4．已知：直角梯形中，∥，∠=，以为直径的圆交于点、，连结、、.（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形：_____________________，______________________；（2）直角梯形中，以为坐标原点，在轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点、、，且为抛物线的顶点.①写出顶点的坐标（用含的代数式表示）___________；②求抛物线的解析式；③在轴下方的抛物线上是否存在这样的点，过点作⊥轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左边），与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，若点P是线段（不与A、C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接将沿对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标．（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足，过E作轴于点F，设F坐标为，，的内心为I，连接，，，，①请找出一对全等的三角形并证明；②请直接写出的最小值．6．已知抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，对称轴与轴交于点，顶点为．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为对称轴右侧且位于轴上方的抛物线上一动点（点与顶点不重合），于点，当与相似时，求点的坐标；（3）对称轴上是否存在一点使得，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．7．如图，抛物线过点A（，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．）（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有_________；②在凸四边形中，且，则该四边形_________“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，，，，是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点，与交于点，，当时，求的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线（，，为常数，，）与轴交于，两点（点在点的左侧），是抛物线与轴的交点，点的坐标为，记“十字形”的面积为，记，，，的面积分别为，，，．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：①；②；③“十字形”的周长为．9．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．10．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接与，交于点，求当的值最大时点的坐标；（3）点与点关于抛物线的对称轴成轴对称，当点的纵坐标为2时，过点作直线轴，点为直线上的一个动点，过点作轴于点，在线段上任取一点，当有且只有一个点满足时，请直接写出此时线段的长．11．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线与直线相交于点和点，交轴于点，顶点为点，点是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点在直线上方的抛物线上，求的面积的最大值以及此时点的坐标；（3）如图2，若点在对称轴左侧的抛物线上，点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，直接写出所有满足条件的的值．专题14圆与二次函数综合1．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．(1)求抛物线的解析式；(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；(3)如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【答案】(1)y=x2+4x+3；(2)cos∠CAB=，⊙O1的半径为；(3)点N的坐标为（，−）或（，−）．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．(1)解：∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3；(2)解：由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=．在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=．如答图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，∴△BO1C为等腰直角三角形，∴⊙O1的半径O1B=BC=；(3)解：抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x=-2．又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=-2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（-4，3）．又∵点M为BD中点，B（-1，0），∴M（−，），∴BM=；在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=2．∵△BMN∽△BPC，∴，即，解得：BN=，MN=3．设N（x，y），由两点间的距离公式可得：，解之得，，，∴点N的坐标为（，−）或（，−）．【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标．2．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为.（2）如图2，求证：BD//AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．【答案】（1）（6，2）（2）见解析（3）8【详解】解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，∵AC⊥BC，∴∠ACO+∠BCE=90°，∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．∵在△AOC与△CEB中，∴△AOC≌△CEB（AAS），则CE=AO=4，BE=CO=2，OE=6，∴B（6，2）．将B（6，2），C（2，0）代入，得，解得．∴抛物线的表达式为．（2）证明：令，即，解得x=2或x=7．∴D（7，0）．如下图所示，过点B作BE⊥x轴于点E，则DE=OD-OE=1，CD=OD-OC=5．在Rt△BDE中，由勾股定理得：；在Rt△BCE中，由勾股定理得：在△BCD中，BC=，BD=，CD=5．∴．∴∠CBD=90°，即BD⊥BC．又∵AC⊥BC，∴BD//AC．（3）连接AB，BP，∵AC⊥BC，BC=AC=，∴∠ACB=90°，∠ABC=45°，∠APB=∠ACB=45°，AB=．∴∠ABQ=∠APB．又∵∠BAQ=∠PAB，∴△ABQ∽△APB．∴，即，解得AP=8．3．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐标为（，3）；（3）F坐标为（0，﹣）．【分析】1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．【详解】（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：，即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2，联立一次函数解析式得：，消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2，解得：x=0或x=3，则E（3，1）；（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3，当m=﹣=时，S最大=，此时M坐标为（，3）；（3）连接BF，如图②所示，当﹣x2+x+20=0时，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴，即，解得：OF=，则F坐标为（0，﹣）．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4．已知：直角梯形中，∥，∠=，以为直径的圆交于点、，连结、、.（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形：_____________________，______________________；（2）直角梯形中，以为坐标原点，在轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点、、，且为抛物线的顶点.①写出顶点的坐标（用含的代数式表示）___________；②求抛物线的解析式；③在轴下方的抛物线上是否存在这样的点，过点作⊥轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）△∽△，△∽△.（2）①（1，）②抛物线的解析式为：，③当时，点为（，）、（，），当时，两个点不存在【详解】试题分析：（1）根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证得△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（2）①先根据抛物线的对称轴确定出点B的横坐标为1，代入函数关系式即可得出点B的纵坐标-4a，所以B（1，-4a），②令y=0，可先确定出点A的坐标，然后利用△OAD∽△CDB，和抛物线的开口方向确定出a的值即可；③设点P（x，y），分点P在对称轴左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形的性质和抛物线解析式解答即可．试题解析：（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（2）①（1，-4a），②∵ax2-2ax-3a=0，可得A（3，0），∵△OAD∽△CDB，∴，又OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，∴，∴，∵抛物线开口向下，∴，故抛物线的解析式为：；③当点P在对称轴左侧时如图：因为，所以点B为（1,4），点D为（0,3），又A（3，0），所以,因为为圆M的直径，所以∠ADB=90°，设点P坐标为（x，y），所以PN=-y，AN=3-x，当△APN∽△ABD时，,所以，所以3y=x-3，又，所以，解得x=或x=3（不合题意舍去），所以y=，所以点P为（，）；当△PAN∽△ABD时，,所以，所以y=3x-9，又，所以，解得x=-4或x=3（不合题意舍去），所以y=-21，所以点P为（-4，-21）；当点P在对称轴右侧时如图：同理可得：△APN∽△ABD时，x=或3，都不合题意，或者△PAN∽△ABD时，x=2或3，都不合题意，即当时两个点不存在．考点：1．相似三角形的判定与性质2．圆的基本性质3．二次函数与几何知识的综合．5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左边），与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，若点P是线段（不与A、C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接将沿对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标．（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足，过E作轴于点F，设F坐标为，，的内心为I，连接，，，，①请找出一对全等的三角形并证明；②请直接写出的最小值．【答案】（1）；（2）P（3−，−）；（3）①△AIO≌△AIE，理由见详解；②-【分析】（1）在抛物线中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OA＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；（2）先求出直线AC解析式，设M点坐标为（m，m2−2m−3），P（m，m−3），由题意：△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，可得到关于m的一元二次方程，求出m即可得到答案；（3）①在△AIO和△AIE中，根据SAS，即可得到结论；②作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，由△AIO≌△AIE，再结合三角形外接圆及等腰直角三角形性质求得：CM，MI，再根据三角形三边长关系可得答案．【详解】解：（1）在中，令y＝0，得：，解得：x1＝3，x2＝−1，∴B（−1，0），A（3，0），∴OA＝3，∵OA＝OC，∴OC＝3，∴C（0，−3），∴−3a＝−3，∴a＝1，∴抛物线解析式为：；（2）设直线AC解析式为y＝kx＋b，∵A（3，0），C（0，−3），∴，解得：，∴直线AC解析式为：y＝x−3，设M点坐标为（m，m2−2m−3），∵PM⊥x轴，∴P（m，m−3），∴PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴CA＝OA，∴CP＝m，∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y轴，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，∴m=−m2＋3m，解得：m1＝0（舍去），m2＝3−，∴当m＝3−时，m−3＝−，∴P（3−，−）；（3）①△AIO≌△AIE，理由如下：∵△AEF的内心为I，∴AI，EI分别平分∠FAE，∠FEA，在△AIO和△AIE中，，∴△AIO≌△AIE（SAS），②作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，∵EF⊥x轴，∴∠AFE＝90°，∴∠FAE＋∠FEA＝90°，∵△AEF的内心为I，∴AI，EI分别平分∠FAE，∠FEA，∴∠IAE＝∠FAE，∠IEA＝∠FEA，∴∠IAE＋∠IEA＝（∠FAE＋∠FEA）＝45°，∴∠AIE＝135°，∵△AIO≌△AIE，∴∠AIO＝∠AIE＝135°，∵⊙M是△OAI的外接圆，∴∠OMA＝2×（180°−∠AIO）＝90°，∴OM＝AM＝OA＝，∴MI＝OM＝，∴∠MOA＝∠MOH＝45°，∵MH⊥y轴，∴∠HOM＝∠HMO＝45°，∴OH＝HM＝OM＝，∴CH＝OH＋OC＝＋3＝，∴CM＝，∵CI≥CM−MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，∴CI的最小值为-．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，三角形内心、外接圆，几何变换−对折，全等三角形判定和性质等知识点，充分利用三角形内心，合理作辅助线是解题关键．6．已知抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，对称轴与轴交于点，顶点为．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为对称轴右侧且位于轴上方的抛物线上一动点（点与顶点不重合），于点，当与相似时，求点的坐标；（3）对称轴上是否存在一点使得，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，点M的坐标为，或【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由P的位置分析得只能是，得．延长交轴于，则，设，由两点间距离公式可列方程得到F点的坐标，用待定系数法求直线EF的解析式，于抛物线联立即可求得P点坐标；（3）当点在轴上方时，连接，，由抛物线的对称性可知MA=MB，则，利用圆中同弧所对圆周角相等的性质得圆心在对称轴上，设的坐标为，根据，可列方程求得的坐标，从而求得M的坐标，最后由轴对称性质可知另一点的坐标．【详解】解：（1）把，，点坐标分别代入抛物线解析式，得：解得：，∴抛物线的解析式：（2）如图，只能是，得．延长交轴于，∴，∴设，则∴，即．设直线的解析式为，则，解之得，∴直线的解析式．联立，解得或（舍去）∴．（3）如图2，当点在轴上方时，连接，，设的坐标为，若，则点，，，四点在以为圆心的圆上∴∵是抛物线的对称轴，∴，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，当点在轴下方时，由对称知，，即：点的坐标为，或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用二次函数图像的性质求点的坐标，圆的性质确定点的位置，掌握二次函数图象的性质为解题关键．7．如图，抛物线过点A（，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）PD+PA的最小值为；（3）Q1（0，2-）、Q2（0，2+）．【分析】（1）将点B的坐标为（-4，m）代入，，B的坐标为（-4，），将A（-3，2），B（-4，）代入y=x2+bx+c，解得b=-1，c=，因此抛物线的解析式y=−x2-x+；（2）设D（m，m2-m+），则E（m，m+），DE=（m2-m+）-（m+）=m2-2m=（m+2）2+2，当m=-2时，DE有最大值为2，此时D（-2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小；（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（-1，4），A（-3，2），可得AH=MH=2，H（-1，2）因为∠AQM=45°，∠AHM=90°，所以∠AQM=∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，于是QH=HA=HM=2设Q（0，t），则，t=2+或2-，求得符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2-）、Q2（0，2+）．【详解】解：（1）将点B的坐标为（-4，m）代入，得m=-4+=-，∴B的坐标为（-4，-），将A（-3，2），B（-4，-）代入y=-x2+bx+c，解得b=-1，c=，∴抛物线的解析式y=−x2-x+；（2）设D（m，−m2-m+），则E（m，m+），DE=（−m2-m+）-（m+）=−m2-2m=-（m+2）2+2，∴当m=-2时，DE有最大值为2，此时D（-2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小，∵A（-3，2），∴A'（1，2），A'D=，即PD+PA的最小值为；（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，∵抛物线的解析式，∴M（-1，4），∵A（-3，2），∴AH=MH=2，H（-1，2）∵∠AQM=45°，∠AHM=90°，∴∠AQM=∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，∴QH=HA=HM=2设Q（0，t），则，解得，t=2+或2-∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2-）、Q2（0，2+）．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．8．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（注：凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．）（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有_________；②在凸四边形中，且，则该四边形_________“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，，，，是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点，与交于点，，当时，求的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线（，，为常数，，）与轴交于，两点（点在点的左侧），是抛物线与轴的交点，点的坐标为，记“十字形”的面积为，记，，，的面积分别为，，，．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：①；②；③“十字形”的周长为．【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2）（）；（3）．【分析】（1）①根据十字形的定义结合平行四边形，矩形，菱形，正方形对角线的性质进行判断；②假设当时，根据SSS定理证得，然后结合全等三角形的性质求得，从而根据题意判断四边形不是“十字形”；（2）先根据圆周角定理求得，然后过点作于，于，连接，，结合垂径定理和勾股定理求得，然后根据题意列不等式组求解即可；（3）由二次函数的性质求求得，，，，，然后结合三角形面积分别求得，，，，，然后根据题意列等式分别求得a，b的值，从而判断四边形是菱形，利用菱形性质求解c，求得抛物线解析式．【详解】解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；②如图，当时，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴当时，四边形不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵，，，∴，∴，∴，∴，如图1，过点作于，于，连接，，∴，，，，，四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴（）；（3）由题意得，，，，，∵，，∴，，，，，，∴，，，，，∵，，∴，∴，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，，，∴四边形是菱形，∴，∴，即：，∵，∴，∴或（舍），即：．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=1是解本题的关键．9．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）S＝﹣（m﹣2）2+16，S的最大值为16；（3）点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．【分析】（1）根据交点式可求出抛物线的解析式；（2）由S=S△OBC+S△OCD+S△ODA，即可求解；（3）∠BPC=45°，则BC对应的圆心角为90°，可作△BCP的外接圆R，则∠BRC=90°，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，证明△BMR≌△RNC（AAS）可求出点R（1，-1），即点R在函数对称轴上，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），∴抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）（x+2）＝x2﹣x﹣4；（2）设点D（m，m2﹣m﹣4），可求点C坐标为（0，-4），∴S＝S△OBC+S△OCD+S△ODA＝＝﹣（m﹣2）2+16，当m＝2时，S有最大值为16；（3）∠BPC＝45°，则BC对应的圆心角为90°，如图作圆R，则∠BRC＝90°，圆R交函数对称轴为点P，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，设点R（m，n）．∵∠BMR+∠MRB＝90°，∠MRB+∠CRN＝90°，∴∠CRN＝∠MBR，∠BMR＝∠RNC＝90°，BR＝RC，∴△BMR≌△RNC（AAS），∴CN＝RM，RN＝BM，即m+2＝n+4，﹣n＝m，解得：m＝1，n＝﹣1，即点R（1，﹣1），即点R在函数对称轴上，圆的半径为：＝，则点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．【点睛】本题考查的是二次函数与几何综合运用，涉及圆周角定理、二次函数解析式的求法、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏，能灵活运用数形结合的思想是解题的关键，（3）的难点是作出辅助圆．10．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接与，交于点，求当的值最大时点的坐标；（3）点与点关于抛物线的对称轴成轴对称，当点的纵坐标为2时，过点作直线轴，点为直线上的一个动点，过点作轴于点，在线段上任取一点，当有且只有一个点满足时，请直接写出此时线段的长．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）过P作PG∥y轴，交BC于点G，则可构造出相似三角形，将转换为求解即可；（3）分两种情况讨论，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM=135°，设点H（x，y），由“AAS”可证△FHE≌△HMQ，可得HE=QM=y-3，HQ=EF=x-2，由勾股定理可求y的值，可求点M坐标，即可求解．【详解】（1）将、代入抛物线解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）如图所示，作PG∥y轴，交BC于点G，则△DPG∽△DOC，∴，由题可知：，设直线BC的解析式为：，将，代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：，，设P的坐标为，则G的坐标为，∴，∴，∴当时，有最大值，将代入抛物线解析式得：，∴点P的坐标为；（3）①当M在F右侧时，如图所示，连接FM，以FM为斜边构造等腰直角△FHM，当以H为圆心，FH为半径作圆H，与x轴相切于K时，此时有且只有一个K点满足∠FKM=135°，此时，连接HK，交PM于点Q，延长CF交于HK于E，则HK⊥x轴，设H（x，y），由题可知，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点F与点C关于抛物线的对称轴对称，∴点F的坐标为（2，3），CF∥x轴，∴CF∥PM，∴HK⊥CF，HK⊥PM，∴∠FEH=∠H