专题17相似(题型归纳)(原卷版+解析)

专题17相似题型分析题型分析题型演练题型演练题型一比例的性质题型一比例的性质1．若，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．2．已知，则把它改写成比例式后，正确的是（

）A． B． C． D．3．若，则的值是（

）A． B． C． D．4．已知，且，则b的值为______．5．已知，则______．题型二成比例线段题型二成比例线段6．下列各组线段中，成比例的是（

）A． B．C． D．7．已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么（）A．±3 B．3 C．4.5 D．58．若四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段a的长为（）A． B． C． D．9．已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段的长为_____．10．在比例尺为的某市地图上，规划出长厘米，宽厘米的矩形工业园区，则该园区的实际面积是______平方米．题型三黄金分割题型三黄金分割11．已知点C是线段的黄金分割点，且，则下列等式成立的是（

）A． B． C． D．12．下列说法正确的是（

）A．两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为，则两地实际距离为35mB．若cm，点是线段的黄金分割点，且，则cmC．任意两个菱形都相似D．有一个角相等的两个等腰三角形相似13．若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（

）A． B． C． D．14．已知线段，是线段的黄金分割点，则________．15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且身高为178cm，则其肚脐至足底的长度可能是______cm（保留根号）．题型四相似多边形及性质题型四相似多边形及性质16．下列叙述正确的是（

）A．任意两个等腰三角形相似 B．任意两个平行四边形相似C．任意两个矩形相似 D．任意两个正方形相似17．如图所示的两个五边形相似，则以下，，，的值错误的是（

）A． B． C． D．18．一个面积为的四边形，它的位似图形为四边形，位似中心为，若，则四边形的面积为（

）A． B．C．或 D．以上都不对19．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________．20．如图，在矩形中，，．点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则的长为______．题型五平行线分线段成比例定理的应用题型五平行线分线段成比例定理的应用21．如图，已知，，，那么的长为（

）A． B． C． D．22．如图，在中，D，E分别是上的点．且．若，，则的长是（

）．A． B． C． D．23．如图，与相交于点O，，若，则的长为（

）A．10 B．12 C．14 D．1624．如图，直线，若，，，则____________．25．如图，D是的边延长线上一点，且，直线分别交于点E、F．若，则=______．题型六证明两三角形相似题型六证明两三角形相似26．如图，在中，，，，相交于点，则图中与相似的三角形有（

）A．个 B．个 C．个 D．个27．下列四组条件中，能识别与相似的是（

）A．，；，B．，，，，，C．，，，，，D．，；，28．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（

）A． B．C． D．29．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有_______对．30．如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α=______时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．31．如图，点C，P均在上，且分布在直径的两侧，于点E．(1)求证：．(2)若，求的长．32．如图，已知点在△的外部，，点在边上，．(1)求证：；(2)在边取一点，如果，，求证：．33．如图，在和中，，．(1)和相似吗？为什么？(2)如果，则成立，据此你能说明和相似吗？题型七利用相似三角形的性质求解题型七利用相似三角形的性质求解34．若两个相似三角形的对应高的比是，则它们的周长比是（）A． B． C． D．35．如图，分别是的边上的点，且，若：：，则：的值是（

）A．： B．： C．： D．：36．已知中，，，，分别为直线，上的点，且，若以点，，为顶点的三角形与相似，则_____．37．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，横杆与的距离是3m，则P到的距离是___________m．38．如图，，，．(1)求的长．(2)若平分，求的长．39．如图所示，在平行四边形中，是的延长线上一点，，连接与，，分别交于点，．(1)若的面积为3，求平行四边形的面积；(2)求证．题型八利用相似三角形求坐标题型八利用相似三角形求坐标40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．541．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．342．如图，在直角坐标系xOy中，，，连接AB并延长到点C，连接CO，若，则点C的坐标为______．43．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______．44．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点，(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标．45．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与与y轴相切，且点C坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0），与⊙C相切于点D．（1）求直线l的解析式．（2）是否存在⊙P，使圆心P在x轴上，且与直线l相切，与⊙C外切？如果存在，请直接写出圆心P的坐标；如果不存在，请说明理由．题型九相似三角形性质与判定的综合应用题型九相似三角形性质与判定的综合应用46．如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（）A．34 B．27 C．30 D．3247．如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（

）．A． B． C． D．48．如图，交于点C，，若，则_____．49．如图，在矩形中，，，B为中点，连接．动点M从点O出发沿边向点A运动，动点N从点A出发沿边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，，，设运动时间为秒．则______时，为直角三角形．50．如图，在矩形中，E，F分别是的中点，连接，若，(1)求证：；(2)若，求的长．51．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．(1)求证：；(2)连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．(3)若，求BF的最大值．52．如图1，和都是等腰直角三角形，，且点A是上的点（点A不与点D，E重合），过点B作交的延长线于点H，的延长线交于点G．过点A作交于点F，连接．(1)求证：；(2)若，求的长；(3)如图2，若，求的值．53．如图，已知，若三点共线，线段与交于点．(1)求证：；(2)若，，的面积为，求的面积．54．如图，在中，，，(1)求证：；(2)若，，求线段的长；(3)若，时，四边形的面积是______．55．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．(1)图1中阴影部分的面积与的面积比为______；(2)若将固定不动，把绕点A逆时针旋转，此时线段，射线分别与射线交于点M，N．①当旋转到如图2所示的位置时，求证：∽；②如图2，若，求的长；③在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含d的式子表示）．56．如图，A，B两点的坐标分别为，，点P，Q同时出发作匀速运动，其中点P从A出发沿向终点O运动，速度为每秒3个单位；点Q从O出发沿向终点B运动，速度为每秒2个单位，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也随之停止运动．(1)坐标平面内是否存在点C，使以O，A，C为顶点的三角形与全等？请直接写出点C的坐标；(2)设从出发起，运动了t秒，以O，P，Q为顶点的三角形与相似，求出此时t的值；(3)是否存在t，使为等腰三角形？若存在，求出运动的时间t；若不存在，请说明理由．题型十位似图形题型十位似图形57．如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则点B的对应点D的坐标为（）A． B． C． D．58．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（

）A．4 B．6 C．9 D．1559．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（

）A． B． C．或 D．或60．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点B的坐标是，则点C的坐标是_____61．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点，分别为点，．若，则的长为______．62．如图，的顶点都在网格点上，点M的坐标为．(1)以点M为位似中心，位似比为3，将放大，在第二象限得到，画出；(2)直接写出点的坐标．63．如图，小明在学习《位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．(1)在图中标出与的位似中心点M的位置，并直接写出点M的坐标；(2)若以点O为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的相似比为2（只画出一个三角形即可）．专题17相似题型分析题型分析题型演练题型演练题型一比例的性质题型一比例的性质1．若，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】A、∵，∴，故A不符合题意；B、∵，∴，故B符合题意；C、∵，∴，故C不符合题意；D、∵，∴，故D不符合题意；故选：B2．已知，则把它改写成比例式后，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，，，故选：B．3．若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，．故选：A．4．已知，且，则b的值为______．【答案】4【详解】∵，∴设，，∴∴，∴，故答案为：45．已知，则______．【答案】【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．题型二成比例线段题型二成比例线段6．下列各组线段中，成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意；B、由于，所以不成比例，不符合题意；C、由于，所以不成比例，不符合题意；D、由于，所以成比例，符合题意．故选：D．7．已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么（）A．±3 B．3 C．4.5 D．5【答案】B【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则，解得（线段是正数，负值舍去），所以．故选：B．8．若四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段a的长为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴，∵，∴，解得：．故选：A．9．已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段的长为_____．【答案】【详解】解：∵线段是线段，的比例中项，线段，线段，∴，∴，故答案为：．10．在比例尺为的某市地图上，规划出长厘米，宽厘米的矩形工业园区，则该园区的实际面积是______平方米．【答案】【详解】解：在比例尺为的某市地图上，规划出长厘米，宽厘米的矩形工业园区，实际的工业园区长厘米，宽厘米，该园区的实际面积是平方厘米，1平方米平方厘米，该园区的实际面积是平方米，故答案为：．题型三黄金分割题型三黄金分割11．已知点C是线段的黄金分割点，且，则下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：根据黄金分割的定义得；故选：D12．下列说法正确的是（

）A．两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为，则两地实际距离为35mB．若cm，点是线段的黄金分割点，且，则cmC．任意两个菱形都相似D．有一个角相等的两个等腰三角形相似【答案】B【详解】解：A.m，故A说法错误，不符合题意；B.点是线段的黄金分割点,且，则，设，则，解得或（舍去），故B说法正确，符合题意；C.当两个菱形的角度不等时，不相似，故C说法错误，不符合题意；D.若两个等腰三角形一个是顶角，一个是底角，则不是相似的，故D说法错误，不符合题意；故选：B．13．若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵线段，C是的黄金分割点，且，∴根据黄金分割的概念得：，∴．故选B．14．已知线段，是线段的黄金分割点，则________．【答案】【详解】解：∵是线段的黄金分割点，∴．故答案为：．15．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且身高为178cm，则其肚脐至足底的长度可能是______cm（保留根号）．【答案】【详解】设此人的肚脐到足底的长度为xcm，由题意，则有解得：经检验，是所列方程的解且符合题意，故答案为：题型四相似多边形及性质题型四相似多边形及性质16．下列叙述正确的是（

）A．任意两个等腰三角形相似 B．任意两个平行四边形相似C．任意两个矩形相似 D．任意两个正方形相似【答案】D【详解】解：A、任意两个等腰三角形不一定满足三边对应成比例，三个角分别对应相等，不一定相似，故选项不符合题意；B、任意两个平行四边形不一定满足边对应成比例，四个角对应相等，不一定相似，故选项不符合题意；C、任意两个矩形不一定满足边对应成比例，不一定相似，故选项不符合题意；D、任意两个两个正方形满足相似图形的定义，故选项符合题意．故选D．17．如图所示的两个五边形相似，则以下，，，的值错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：两个五边形相似，，，，，．故选：D．18．一个面积为的四边形，它的位似图形为四边形，位似中心为，若，则四边形的面积为（

）A． B．C．或 D．以上都不对【答案】C【详解】解：由题可知四边形的相似比为或，四边形的面积之比等于相似比的平方，且四边形的面积为，四边形的面积为或．故选：C．19．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________．【答案】6【详解】设另一个与它相似的六边形的最短边为，由题意，得：，整理得：，解得：，故答案为：6．20．如图，在矩形中，，．点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形．若矩形与原矩形相似，则的长为______．【答案】【详解】矩形矩形，∴，即，整理得，，解得，（舍去），，故答案为：．题型五平行线分线段成比例定理的应用题型五平行线分线段成比例定理的应用21．如图，已知，，，那么的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，，即，，故选：B．22．如图，在中，D，E分别是上的点．且．若，，则的长是（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，∵，，∴，故选：D．23．如图，与相交于点O，，若，则的长为（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【详解】解：∵与相交于点O，，∴，∵，＝8，∴，∴＝6，∴．故选：C．24．如图，直线，若，，，则____________．【答案】【详解】解：∵直线，∴，即：解得：，∴，故答案为：．25．如图，D是的边延长线上一点，且，直线分别交于点E、F．若，则=______．【答案】【详解】解：作交于点G，，，，，，，，，，，，，故答案为：．题型六证明两三角形相似题型六证明两三角形相似26．如图，在中，，，，相交于点，则图中与相似的三角形有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【详解】解：∵，∽，∽，∵，∽，∽，故选：．27．下列四组条件中，能识别与相似的是（

）A．，；，B．，，，，，C．，，，，，D．，；，【答案】C【详解】解：A不正确：∵，；，，∴，，∴不相似；B不正确：∵与不是边，与，的夹角，∴不相似；C相似：∵，，，，，，∴，，∴相似；D不相似：∵不是，的夹角，是边与的夹角，∴不相似．故选：C．28．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意．B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意．C选项相等的角不是对应角，不符合题意．D选项相等的角不是对应角，不符合题意．29．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有_______对．【答案】3【详解】图中三角形有：，，，∵，∴共有3个组合分别为：∴，，故答案为：3．30．如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α=______时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．【答案】50、70或160【详解】解：如图1所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE交BC于点F，连接OC，是的直径，故当时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．如图2所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与BC交于点F，连接OC，是的直径，故当时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．如图3所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与AC交于点F，连接OC，是的直径，故当时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．故答案为：50、70或160．31．如图，点C，P均在上，且分布在直径的两侧，于点E．(1)求证：．(2)若，求的长．【详解】（1）∵是的直径，，，∵，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴．32．如图，已知点在△的外部，，点在边上，．(1)求证：；(2)在边取一点，如果，，求证：．【详解】（1）∵，∴∵，∴，∴，∴．（2）由（1）得∴，，∵，∴，∴∴∴∵，∴，33．如图，在和中，，．(1)和相似吗？为什么？(2)如果，则成立，据此你能说明和相似吗？【详解】（1）解：，∴，，，；（2）解：∵，∴，∴，，，．题型七利用相似三角形的性质求解题型七利用相似三角形的性质求解34．若两个相似三角形的对应高的比是，则它们的周长比是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵两个相似三角形的对应高的比是，∴它们的相似比为∴它们的周长比为．故选：B．35．如图，分别是的边上的点，且，若：：，则：的值是（

）A．： B．： C．： D．：【答案】B【详解】解：：：，：：，，∽，．故选：B．36．已知中，，，，分别为直线，上的点，且，若以点，，为顶点的三角形与相似，则_____．【答案】或【详解】解：如图，，，,当时，即解得当时，即解得故答案为：或37．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，横杆与的距离是3m，则P到的距离是___________m．【答案】1.5【详解】作于E，交于F，如图，∵，设，则得即P点到的距离是1.5m.故答案为：1.538．如图，，，．(1)求的长．(2)若平分，求的长．【详解】（1）解：∵，，，∴，，即，∴．（2）∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴．39．如图所示，在平行四边形中，是的延长线上一点，，连接与，，分别交于点，．(1)若的面积为3，求平行四边形的面积；(2)求证．【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，，四边形是平行四边形，，，，，；四边形是平行四边形，，，，，，平行四边形的面积为：；（2）证明：，，，，，，，．题型八利用相似三角形求坐标题型八利用相似三角形求坐标40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），∴AC=6，OC=2，OB=7，∴BC=9，∵四边形OCDE是正方形，∴DE=OC=OE=2，∴O′E′=O′C′=2，∵E′O′⊥BC，∴∠BO′E′=∠BCA=90°，∴E′O′∥AC，∴△BO′E′∽△BCA，∴，∴，∴BO′=3，∴OO′=7-3=4，故选：C．41．如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】∵点P的纵坐标为，∴点P在直线y＝上，①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)；②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，∴PA2＝AB•OA，∴＝b﹣1，∴(b﹣8)2＝48，解得b＝8±4，∴P(1，2+)或(1，2﹣)，综上所述，符合条件的点P有3个，故选D．42．如图，在直角坐标系xOy中，，，连接AB并延长到点C，连接CO，若，则点C的坐标为______．【答案】【详解】解：设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，如图，过点作轴于点，则，，，，，，，，，，在中，，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，所以点的坐标为，故答案为：．43．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为______．【答案】2或4【详解】如图，∵A(1,4)，C(3,0)，D(0,3)，∴，，，；∴是直角三角形∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0），∽∴∴=1∴当时，CM=2；当时CM=4，故答案为：2或4．44．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点，(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标．【详解】（1）解：∵反比例函数过点∴且将，带入直线得：，故一次函数为：．（2）解：设点，则点，点则，当时即：，解得：，（舍去）∴点．45．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与与y轴相切，且点C坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0），与⊙C相切于点D．（1）求直线l的解析式．（2）是否存在⊙P，使圆心P在x轴上，且与直线l相切，与⊙C外切？如果存在，请直接写出圆心P的坐标；如果不存在，请说明理由．【详解】解：（1）连接CD∵点C坐标为（1，0），A（-1，0）∴AC=1－（-1）=2，OA=OC=1∵⊙C与y轴相切，直线l与⊙C相切于点D∴CD=OC=1，∠CDA=90°∴sin∠CAD=∴∠CAD=30°在Rt△AOB中，OB=OA·tan∠OAB=∴点B的坐标为（0，）设直线l的解析式为y=kx＋b将点A、B的坐标代入，得解得：∴直线l的解析式为y=x＋；（2）当⊙P在⊙C左侧时，则⊙P与⊙C外切于点O，与直线l相切于点E，连接PE，设⊙P的半径为r∴∠AEP=∠ADC=90°，OP=PE=r，AP=OA－OP=1－r，∵∠EAP=∠DAC∴△AEP∽△ADC∴即解得：r=∴此时点P的坐标为（，0）；当⊙P在⊙C右侧时，则⊙P与⊙C外切于F，与直线l相切于点E，连接PE，设⊙P的半径为r∴∠AEP=∠ADC=90°，PF=PE=r，AP=OA＋OF＋PF=1＋2＋r=3＋r，∵∠EAP=∠DAC∴△AEP∽△ADC∴即解得：r=3∴OP=OF＋PF=5∴此时点P的坐标为（5，0）综上：存在，圆心P的坐标为（，0）或（5，0）．题型九相似三角形性质与判定的综合应用题型九相似三角形性质与判定的综合应用46．如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（）A．34 B．27 C．30 D．32【答案】C【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵的面积为4，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴故选：C47．如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选：D．48．如图，交于点C，，若，则_____．【答案】2【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，解得：．故答案为：249．如图，在矩形中，，，B为中点，连接．动点M从点O出发沿边向点A运动，动点N从点A出发沿边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，，，设运动时间为秒．则______时，为直角三角形．【答案】或8【详解】解：过点作的垂线，交于点，交于点，如图，点是的中点，，，由勾股定理可求：，，，，，，，，，当，由勾股定理可求：，，，，，，，，，，当，，，，，，，，，，，，，，当，由题意知：此情况不存在，综上所述，为直角三角形时，或8，故答案为：或8．50．如图，在矩形中，E，F分别是的中点，连接，若，(1)求证：；(2)若，求的长．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴；（2）解：∵四边形是矩形，，E，F分别是的中点，∴，∵，∴，即，∴．51．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．(1)求证：；(2)连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．(3)若，求BF的最大值．【详解】（1）四边形是正方形，，，，，，，在和中，，；（2）点在中点位置时，，证明如下：如图，连接，延长于的延长线相交于点H，为中点，，四边形是正方形，，，在和中，，，，，是等腰三角形，，，故当点在中点位置时，．（3）解：∵四边形是正方形，∴，设，则，∵，∴，即∴，在中，，∴要使最大，则要使最大，∵，∴，∴．52．如图1，和都是等腰直角三角形，，且点A是上的点（点A不与点D，E重合），过点B作交的延长线于点H，的延长线交于点G．过点A作交于点F，连接．(1)求证：；(2)若，求的长；(3)如图2，若，求的值．【详解】（1），，，（2），，，∴=，，∵，∴；（3）如图2，作于P，∴，∴，，，

，，，，，，，，∴是等腰直角三角形，∴，，，，，，设，，，===﹣1．53．如图，已知，若三点共线，线段与交于点．(1)求证：；(2)若，，的面积为，求的面积．【详解】（1）证明：，，，即，，；（2）解：由（1）知，，，，，，，，，，．54．如图，在中，，，(1)求证：；(2)若，，求线段的长；(3)若，时，四边形的面积是______．【详解】（1）解：证明：∵在中，，，∴．∵，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴∴；（3）∵，，∴相似比为∴，∵，∴，∵，相似比为，∴面积之比为，∴，∴．55．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．(1)图1中阴影部分的面积与的面积比为______；(2)若将固定不动，把绕点A逆时针旋转，此时线段，射线分别与射线交于点M，N．①当旋转到如图2所示的位置时，求证：∽；②如图2，若，求的长；③在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含d的式子表示）．【详解】（1）解：∵、都是等腰直角三角形，∴，，∴∽，∴，∴阴影部分的面积与的面积比为，故答案为：．（2）解：①证明：∵，，∴∽；②解：在中，，，则，∴，∵，，∴，∵，∴∽，∴，即,解得：；③解：如图2，当点N在线段上时，由②可知：∽，∴，即解得：，∴，如图3，当点N在线段的延长线上时，综上所述：的长为或．56．如图，A，B两点的坐标分别为，