19.9勾股定理（第1课时）（作业）

19.9勾股定理（第1课时）（作业）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在中，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】如下图，首先确定DC＇＝DE＋EC＇＝DE＋CE的值最小，由已知条件得出BD和BC＇的长度，然后根据勾股定理计算得出DC＇，即为DE＋CE的值最小值．【详解】解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC＇，交AB于E，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，连接BC′．在中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°．由对称性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．∴∠CBC＇＝90°．∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，∴BC＇＝BC＝2．∵D是BC边的中点，∴BD＝1．根据勾股定理可得：DC＇＝＝．故EC＋ED的最小值是．故答案为：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，确定动点E何位置，使EC＋ED的值最小是关键．2．（2022·上海·八年级单元测试）下列数据不是勾股数的是（）A．7，14，16 B．5，12，13 C．3，4，5 D．9，40，41【答案】A【分析】根据勾股数可直接进行求解．【详解】解：A、，所以不是勾股数，故符合题意；B、，所以是勾股数，故不符合题意；C、，所以是勾股数，故不符合题意；D、，所以是勾股数，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．二、填空题3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是_____．【答案】cm【分析】作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出AB，证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到CD＝ED，AE＝AC＝9，根据角平分线的性质、勾股定理列式计算即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，由勾股定理得，AB＝＝＝15，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）∴CD＝ED，AE＝AC＝9，∴BE＝AB﹣AE＝6，在Rt△BED中，BD2＝DE2+BE2，即BD2＝（12﹣BD）2+62，解得，BD＝，故答案为：cm．【点睛】此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握利用勾股定理解直角三角形和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．4．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=15°，AD是斜边BC上的中线，BE⊥AD,垂足为点E，那么=________.【答案】【分析】易证明△ABC是直角三角形，根据AD是斜边中线可知AD=DC，∠C=∠DAC=15°，即有∠EDB=∠C+∠DAC=30°，根据BE⊥AD可得△BED为直角三角形，根据含30°直角三角形的性质即可求解．【详解】∵∠BAC=90°，∴△ABC是直角三角形，∵AD是斜边BC上的中线，∴AD=DC，∴∠C=∠DAC，∵∠C=15°，∴∠DAC=15°，∵∠EDB=∠C+∠DAC，∴∠EDB=30°，∵BE⊥ED，∴△BED是直角三角形，即在Rt△BED中，∠EDB=30°，∴，∴结合勾股定理可得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形中斜边中线等于斜边的一半、含30°角直角三角形的性质等知识，5．（2022·上海·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（0，1），点B的坐标（1，0），点C也在坐标轴上，如果是等腰三角形，那么满足条件的点C有______个．【答案】7【分析】根据题意可求出AB的长，即可分类讨论①当、②当时和③当时，画出图形即得出满足条件的点C的个数．【详解】∵，，∴，，∵，∴．①当时，如图，，，；②当时，如图，，，；③当时，如图，．综上，满足条件的点C有7个．故答案为：7．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的定义．利用数形结合的思想是解题的关键．6．（2022·上海·八年级专题练习）在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的长是________．【答案】3【分析】过点C作CE∥AB交AD延长线于E，先证△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在Rt△AEC中，即可．【详解】解：过点C作CE∥AB交AD延长线于E，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，在Rt△AEC中，，∴AB=CE=3．故答案为：3．【点睛】本题考查中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，关键是利用辅助线构造三角形全等．7．（2022·上海·八年级单元测试）在△ABC中，AB＝10，BC＝8，∠B＝60°，则AC的长度是___．【答案】【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用直角三角形的性质、勾股定理可得的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得．【详解】解：如图，过点作于点，在中，，，，，则在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．8．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，若，则______．【答案】【分析】根据旋转角相等可得，进而勾股定理求解即可【详解】解：四边形是正方形将绕点B顺时针方向旋转,能与重合，，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，求得旋转角相等且等于90°是解题的关键．9．（2022·上海·八年级专题练习）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝_____________．【答案】【分析】作，则，由等腰三角形的性质可得，，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：作，如下图：∵平分，，，∴，，∵，∴，∴，，在中，，，∴∴，由勾股定理得，，故答案为：．【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质以及含直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．10．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则它的重心G到C点的距离是___．【答案】5【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出斜边的中线的长，根据三角形的重心的性质计算即可．【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴AB＝＝15，则斜边AB上的中线为：，∴重心G到C点的距离是：×＝5，故答案为：5．【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形重心的性质，熟记各性质是解题的关键．11．（2022·上海市民办新世纪中学八年级期末）如图，四边形是正方形，于点，且，，则阴影部分的面积是_____．【答案】139【分析】根据S阴=S正方形ABCDS△ABE计算即可．【详解】解：∵于点∴∠AEB=90°在Rt△ABE中，AE=5，BE=12，∴AB=，∴S阴=S正方形ABCDS△ABE==139．故答案为：139．【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用分割法求面积，属于中考常考题型．12．（2022·上海·八年级单元测试）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，，，，则_______．【答案】46【分析】利用勾股定理分别求出AB2，AC2，继而再用勾股定理解题．【详解】解：由图可知，AB2=故答案为：46．【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．13．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝___度．【答案】【分析】连接、，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可．【详解】解：连接、，如下图：由勾股定理得，，，，，∵，，∴，，∴为等腰直角三角形，为直角三角形，∴∴故答案为：【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理．三、解答题14．（2022·上海师范大学第三附属实验学校八年级期中）如图，矩形中，为对角线，为中点，，，当四边形为菱形时，求的值．【答案】【分析】设出，利用菱形的性质可得，在中，由勾股定理列出方程即可求解．【详解】解：四边形为菱形，，设，则，∵矩形中，，∴在中，由勾股定理得：，即，解得，的值为．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形与菱形的性质是解题的关键．15．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，，点在上，．（第（1）、（2）题保留作图痕迹，不需要写出作图步骤）(1)求作线段的垂直平分线，交于点；(2)连接，求作的角平分线；(3)根据（1）（2）的条件，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据作已知线段垂直平分线的作法，即可求解；（2）根据作已知角的平分线的作法，即可求解；（3）根据线段垂直平分线的性质定理可得OB=BA，从而得到∠OBE=∠ABE=45°，进而得到BE=AE=3，再由勾股定理，即可求解．（1）解∶线段AO的垂直平分线如图所示；（2）解∶∠MBA的角平分线如图所示；（3）解∶如图，BE垂直平分OA，∴OB=BA，∠OEB=∠BEA=90°，，∴∠BAO=∠MON=45°，∴∠OBE=∠ABE=45°，∴BE=AE=3，∴．【点睛】本题考查了尺规作图和勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题关键是明确尺规作图的方法，熟练应用勾股定理进行计算．16．（2022·上海·八年级专题练习）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．【答案】绳索长是尺【分析】设，则，由勾股定理及即可求解．【详解】设，则，在中，，∴，解得：，答：绳索长是尺．【点睛】本题考查勾股定理得应用，用题意列出等量关系式是解题的关键．17．（2022·上海·八年级期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起，路板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑话欢嬉，良工高师素好奇，算出索长有几？”翻译成现代文的大意是:如图.秋千静挂时，踏板离地的高度是尺，现在兑出两步(两步算作尺，故尺）的水平距离到的位置，有人记录踏板离地的高度为尺.仕女佳人争着荡秋千，一整天都欢声笑语，工匠师傅们好奇的是秋千绳索有多长呢﹖请你来解答工匠师傅们的困惑，求出秋千绳索的长度.【答案】秋千绳索长14.5尺【分析】设秋千绳索长为x，由题意易得OA=OB，BD=5，则AE=4，进而OE=x4，最后根据勾股定理可进行求解．【详解】解：设秋千绳索长为x，由题意得OA=OB=x，BD=5，△OEB是直角三角形，AC=1，AE=4，OE=x4，，在Rt△OEB中，，即解得：，OA=14.5．答：秋千绳索长14.5尺．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．18．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，中，，平分交于.求的长.【答案】5【分析】过作于点，根据勾股定理求出AB=8，利用角平分线的性质定理得到，设，根据求出x的值即可得到AD的长.【详解】解：过作于点.∵中，∴∵平分∴∵∴∴∴设,则,中,∴，∴x=5，∴.【点睛】此题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，通常利用勾股定理求得某些边的长度.过D作DE垂直于AC是解题的关键.【能力提升】一、单选题1．（2022·上海市风华初级中学八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，BD平分∠ABC，BD=2，则以下结论错误的是（

）A．点D在AB的垂直平分线上；B．点D到直线AB的距离为1；C．点A到直线BD的距离为2；D．点B到直线AC的距离为.【答案】C【分析】如图，取AB中点E，连接DE，证明△EBD≌△CBD，可得∠DEB＝∠C＝90°，∠BAD＝∠ABD＝∠CBD＝30°，则BC＝AB，DE＝，然后根据勾股定理可求出BC，过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，求出AF＝AB＝BC＝，进而可得答案．【详解】解：如图，取AB中点E，连接DE，∵AB=2BC，∴BE＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，又∵BD＝BD，∴△EBD≌△CBD（SAS），∴∠DEB＝∠C＝90°，∴DE⊥AB，即点D在AB的垂直平分线上，A正确；∴AD＝DB，∴∠BAD＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∴BC＝AB，DE＝，即点D到直线AB的距离为1，B正确；∴DE＝DC＝1，∴BC＝，即点B到直线AC的距离为，D正确，过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，∴AF＝AB＝BC＝，∴点A到BD的距离为，C错误，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线是解答本题的关键．2．（2022·上海·八年级单元测试）中，是垂足，与交于，则．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意利用含60°的直角三角形性质结合勾股定理进行分析计算即可得出答案.【详解】解：如图，∵,∴,∵,∴,∵,∴,∵,,∴,设,所以勾股定理可得：，则解得：或（舍去），∴.故选：A.【点睛】本题考查含60°的直角三角形性质和勾股定理以及等腰直角三角形，熟练掌握相关的性质是解题的关键.3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，逆命题不正确的是（

）A．两直线平行，同旁内角互补B．对顶角相等C．直角三角形的两个锐角互余D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方【答案】B【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后利用平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确，故本选项错误；B、逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故本选项正确；C、逆命题是：若一个三角形两锐角互余，则为直角三角形，正确，故本选项误；D、逆命题是：若一个三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方则为直角三角形，正确，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查写一个命题的逆命题的方法及利用平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，注意要分清命题的条件与结论，难度适中．二、填空题4．（2022·上海·八年级单元测试）已知在△ABC中，∠B=30°，AB=8厘米，AC=5厘米，那么BC=________厘米.【答案】或【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AD＝4厘米，利用勾股定理可求出BD＝厘米，然后分点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上两种情况，分别求解即可．【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，∵∠B=30°，AB=8厘米，∴AD＝厘米，∴BD＝（厘米），当点D在线段BC上时，∵AC=5厘米，∴CD＝（厘米），∴BC＝厘米当点D在线段BC的延长线上时，同理可得，C′D＝3厘米，∴BC′＝厘米，故答案为：或．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确分类讨论是解题的关键．5．（2022·上海·八年级单元测试）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么________．【答案】【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长，利用勾股定理列方程，然后再求出AB和BC的长．【详解】解：∵小正方形的面积是25，∴AC=5，∵△ABC≌△CDE，∴设AB=CD=x，∵大正方形的面积为49，∴BD=7，∴BC+CD=7，∴BC=7x，在Rt△ABC中：，∴，解得：，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为:．【点睛】此题主要考查了利用勾股定理列方程，解一元二次方程，三角形全等的性质，掌握勾股定理列出方程是解题的关键．6．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）如图，在中，，，点D是BC边的中点，将沿直线AD翻折，如果点C落在点E处，那么线段______．【答案】【分析】连接CE交AD于H，根据翻折的性质可得AD垂直平分CE，根据勾股定理求出AD的长根据面积相等，求出CH和CE的长度，证明∠CEB=90°，再由勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接CE交AD于H，

由翻折的性质可得AD垂直平分CE，∴∠CHD＝90°，CH＝HE，∵AC＝BC＝2，点D是边BC的中点，∴BD＝CD＝1，∴AD＝，，∴，解得：，∴，由折叠可得：CD=CE，∴CD=DE=BD，∴∠DCE=∠CED，∠DBE=∠DEB，∠CEB=∠CED+∠DEB=在Rt△CEB中，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，运用勾股定理是解题的关键．7．（2022·上海·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是___________．【答案】+24【分析】连结BD，然后根据勾股定理求得BD的值和△BAD的面积，再根据勾股定理逆定理得到△BDC是直角三角形，所以可以得到△BDC的面积，从而得到四边形ABCD的面积．【详解】解：如图，连结BD，∵∠BAD=90°，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴S△ABD=，S△BDC=，∴四边形ABCD的面积是=S△ABD+S△BDC=+24故答案为：+24．【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC．如果BD＝2，那么AB的长等于______．【答案】【分析】由等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，根据含角的直角三角形的性质得到，，即可得，，利用勾股定理求得的长，即可求解的长．【详解】解：，，，，，，，，，，在中，，．故答案为：．【点睛】本题考查了含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．9．（2022·上海·八年级专题练习）如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转，点D落在边BC上的点D′处，点B、C分别落在点B′、点C′处，如果∠D′BC′＝∠D′C′B，那么DC：D′C的比值等于___．【答案】##【分析】根据题意可作出图形，由旋转可知，DC=D′C′，AD=AD′，因为∠D′BC′=∠D′C′B，所以BD′=C′D′=AB=CD，所以△ABD′是等腰直角三角形，则AD′=BC=AB=DC，所以DC：D′C=DC：（BCBD′）=DC：（DCDC）=+1．【详解】解：根据题意可作出图形，由旋转可知，DC=D′C′，AD=AD′，∵∠D′BC′=∠D′C′B，∴BD′=C′D′，又∵AB=CD，∴AB=BD′=DC，∴△ABD′是等腰直角三角形，∴AD′=AB=DC，∴BC=DC，∴DC：D′C=DC：（BCBD′）=DC：（DCDC）=+1．故答案为：+1．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质等知识，画出草图，得出△ABD′是等腰直角三角形是解题的关键．10．（2022·上海·八年级单元测试）在中，，则_____________【答案】或##或【分析】过点A作AH⊥BC于H．利用等腰直角三角形的性质求出AH，再求出CH的值，即可得结论．需要注意按照高在三角形内部和外部两种情况分类讨论．【详解】A作AH⊥BC于H．则满足的C点有两个分别为∴∵∴∵∴∴∴是等边三角形∴∴当高AH在外部时当高AH在内部时故答案为：或【点睛】本题考查勾股定理与等边三角形的性质与判定，熟记45°的直角三角形特征并构造直角三角形是解题的关键．11．（2022·上海徐汇·八年级期末）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB=_______．【答案】或【分析】分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算．【详解】解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，∵∠C=90°，AC=2，∴CD=1,BD=2∴,∴当BC边上的中线AE等于BC时，∵AC2=AE2−CE2，∴BC2−(BC)2=22，解得，BC2=，∴,综上所述，AB=或AB=,故答案为或.【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.熟练掌握勾股定理是解本题的关键.12．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，，点在上，且，若，则___________．【答案】【分析】设，在中，利用勾股定理求出x值，即可得到AC和CD的长，再求出AB的长，再用勾股定理求出BC的长，即可得到结果．【详解】解：设，∵，∴，即，解得或（舍去），∴，∵，∴，∴，∴．故答案是：．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理解直角三角形的方法．13．（2022·上海·八年级期末）如图，在中，，，，平分，，垂足为，则__________．【答案】【分析】先利用勾股定理可得，再根据角平分线的性质可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，设，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】在中，，，，，平分，，，在和中，，，，，设，则，在中，，即，解得，即，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．14．（2022·上海·八年级专题练习）已知，RtΔABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，那么AC=________________．【答案】【分析】设AC=x．由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AB=2AC=2x．由Rt△ABC中，利用勾股定理，即可求出AC的长．【详解】设AC=x．∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2x．又∵BC==3，∴x=，∴AC=．故答案为．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，知道30度角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．三、解答题15．（2022·上海·八年级专题练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积．【答案】234【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积直角的面积．【详解】解：连接如图所示：，，，；在中，，，，，即，是直角三角形．；即绿地的面积为234．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键．16．（2022·上海·八年级专题练习）阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．(1)理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？_______（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形_______（填“是”或“不是”）奇异三角形．(2)探究：在，两边长分别是a、c，且，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．【答案】(1)①是；②是(2)当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形．理由见解析【分析】（1）①根据等边三角形的三边相等、奇异三角形的定义判断；②根据奇异三角形的定义判断；（2）分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断．（1）是；设等边三角形的边长为a，则，显然成立；是；因为，故是奇异三角形．故答案为：是，是；（2）当c为斜边时，则，由于，故不是奇异三角形；

当b为斜边时，，则有，所以是奇异三角形．答：当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理、奇异三角形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．17．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．【答案】AB＝．【分析】连接BE，证明∠DAC＝∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的边角关系求出AC，AF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：过点A作AF⊥BC于F，∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，AD=CD=6，∵∠C＝30°，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴DE=，∴CE＝AE＝=，∴AC＝2EC＝，∴AF=，∵∠B＝45°，AF⊥BC，∴∠BAF=180°∠B∠AFB=180°45°90°=45°，∴∠BAF=∠B，∴BF=AF=∴AB＝×．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形的边的关系，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．18．（2022·上海·八年级开学考试）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，CB=2，点D是AB的中点，点E在AC上，点E、D、F一条直线上，且ED=FD，(1)求证：FB⊥CB；(2)联结CD，若CD⊥EF，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明△ADE△BDF可得，再由∠ACB=90°可得∠A+∠ABC=90°，再根据等量代换可得FBC=90°即可证明结论；（2）如图：联结CD、CF．根据题意可得CF=EF，设CE=x，则CF=x，BF=AE=4x，然后根据勾股定理列方程求得x即可．(1)（1）证明：∵D是AB中点，∴AD=BD在△ADE与△BDF中，∴△ADE△BDF∴，AE=BF．∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC