2021-2022学年浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷02(原卷版+解析)

2021-2022学年浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷02一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）设m为一个有理数，则|m|﹣m一定是（）A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数2．（5分）若a，b为有理数，且2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，则a2b+ab2＝（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．163．（5分）已知：4+和4﹣的小数部分分别是a和b，则ab﹣3a+4b﹣7等于（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣64．（5分）如图，已知AB∥CD，∠BCD的三等分线是CP，CQ，又CR⊥CP，若∠B＝78°，则∠RCE＝（）A．66° B．65° C．58° D．56°5．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元6．（5分）已知a是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是（）①方程ax＝0的解是x＝1；②方程ax＝a的解是x＝1；③方程ax＝1的解是x＝；④方程|a|x＝a的解是x＝±1．A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（）A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个8．（5分）今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A．5组 B．7组 C．9组 D．11组二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）9．（5分）一个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全平方数，则n＝．10．（5分）248﹣1能够被60～70之间的两个数整除，则这两个数是．11．（5分）如果（2x﹣1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝，a0+a2+a4+a6＝．12．（5分）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝．13．（5分）若x+y+z＝30，3x+y﹣z＝50，x，y，z都为非负实数，则M＝5x+4y+2z的取值范围是．14．（5分）对自然数a．b．c，定义运算*，设其满足（a*b）*c＝a*（bc），（a*b）（a*c）＝a*（b+c），则4*3的值为．三．解答题（共4小题，满分50分）15．（12分）已知，，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．（12分）某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠．小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？17．（12分）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM﹣∠NOC的度数．18．（14分）某建筑公司承包了两项工程，分别由两个工程队施工，根据工程进度情况，建筑公司可随时调整两队的人数，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍，如果从乙队调若干人去甲队，则甲队人数为乙队人数的3倍，问甲队至少有多少人？2021-2022学年浙江七年级第二学期数学竞赛冲刺卷02一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）设m为一个有理数，则|m|﹣m一定是（）A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数【解答】解：∵m为有理数，∴|m|≥0，当m＞0，|m|﹣m＝m﹣m＝0；当m＜0，|m|﹣m＝﹣m﹣m＝﹣2m＞0；当m＝0，|m|﹣m＝0﹣0＝0．综上所述，当m为有理数时，|m|﹣m一定是非负数．故选：C．【点评】本题通过求代数式的值考查了绝对值的代数意义，正数的绝对值等于其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于其相反数．2．（5分）若a，b为有理数，且2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，则a2b+ab2＝（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．16【解答】解；∵2a2﹣2ab+b2+4a+4＝0，即a2﹣2ab+b2+a2+4a+4＝0，∴（a﹣b）2+（a+2）2＝0，故a﹣b＝0，a+2＝0，解得：a＝﹣2，b＝﹣2．故a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣16．故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是掌握几个非负数相加等于0，各个非负数都为0．3．（5分）已知：4+和4﹣的小数部分分别是a和b，则ab﹣3a+4b﹣7等于（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6【解答】解：∵3＜＜4，∴﹣3＞﹣＞﹣4，4+3＜4+＜4+4，∴4﹣3＞4﹣＞4﹣4，即7＜4+＜8，0＜4﹣＜1，∴a＝4+﹣7＝﹣3，b＝4﹣﹣0＝4﹣，∴ab﹣3a+4b﹣7＝（﹣3）×（4﹣）﹣3×（﹣3）+4×（4﹣）﹣7＝4﹣11﹣12+3﹣3+9+16﹣4﹣7＝﹣5．故选：C．【点评】本题考查了无理数的大小和实数的运算，关键是确定a和b的值，题目比较好，难度适中．4．（5分）如图，已知AB∥CD，∠BCD的三等分线是CP，CQ，又CR⊥CP，若∠B＝78°，则∠RCE＝（）A．66° B．65° C．58° D．56°【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝78°，∴∠BCD＝180°﹣78°＝102°，∵∠BCD的三等分线是CP，CQ，∴∠BCP＝×∠BCD＝×102°＝68°，∵CR⊥CP，∴∠BCR＝90°﹣∠BCP＝90°﹣68°＝22°，∵AB∥CD，∠B＝78°，∴∠BCE＝∠B＝78°，∴∠RCE＝∠BCE﹣∠BCR＝78°﹣22°＝56°．故选：D．【点评】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，内错角相等的性质以及角的计算，准确识图，并仔细分析从而求出∠BCR的度数是解题的关键．5．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，②﹣①得x+y+z＝1.05（元）．故选：B．【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想．6．（5分）已知a是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是（）①方程ax＝0的解是x＝1；②方程ax＝a的解是x＝1；③方程ax＝1的解是x＝；④方程|a|x＝a的解是x＝±1．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①当a≠0时，x＝0，错误；②当a≠0时，两边同时除以a，得：x＝1，错误；③ax＝1，当a≠0时，两边同时除以a，得：x＝，错误；④当a＝0时，x取全体实数，当a＞0时，x＝1，当a＜0时，x＝﹣1，错误．故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的解法，注意：当是含字母的系数时，一定要保证字母的系数不为0，才能同时除以这个字母的系数．7．（5分）方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（）A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个【解答】解：|x|+|x﹣2002|是数轴上点x到0和2002的距离的之和，记为d．显然，当0≤x≤2002时，d＝2002；当x＜0或x＞2002时，d＞2002．同理，|x﹣1001|+|x﹣3003|是数轴上的点x到两点1001和3003的距离之和，记为d′，显然当1001≤x≤3003时，d′＝2002；当x＜1001或x＞3003时，d′＞2002．因此，如果，1001≤x≤2002，则d＝d′＝2002；如果2002＜x≤3003，则d＞2002＝d′；如果0≤x＜1001，则d′＞2002＝d；如果x＞3003，则d＝x+（x﹣2002）＞（x﹣1001）+（x﹣3003）＝d′；如果x＜0，则d＝﹣x+（2002﹣x）＜（1001﹣x）+（3003﹣x）＝d′．所以题设方程是符合1001≤x≤2002的所有整数，共有1002个．故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，利用讨论正确去掉绝对值符号是解决本题的关键．8．（5分）今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A．5组 B．7组 C．9组 D．11组【解答】解：显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为1+2+…+9＝45，所以正方形的边长不大于．由于7＝1+6＝2+5＝3+4；8＝1+7＝2+6＝3+5；9＝1+8＝2+7＝3+6＝4+5；1+9＝2+8＝3+7＝4+6；2+9＝3+8＝4+7＝5+6．所以组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法，故这样的“线段组”的组数有9组．故选：C．【点评】考查了计数方法，推理与论证，得到所组合正方形的最大边长与最小边长的长度是解决本题的关键．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）9．（5分）一个自然数n减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全平方数，则n＝1995．【解答】解：设n﹣59＝a2，n+30＝b2，则a2﹣b2＝﹣89＝﹣1×89，即（a+b）（a﹣b）＝﹣1×89．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，故a+b＝89，a﹣b＝﹣1，于是a＝44，b＝45，从而n＝1995．故答案为：1995．【点评】本题考查了完全平方数的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性的判定．10．（5分）248﹣1能够被60～70之间的两个数整除，则这两个数是65、63．【解答】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1），＝（224+1）（212+1）（212﹣1），＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26＝64，∴26﹣1＝63，26+1＝65，故答案为65、63．【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路．11．（5分）如果（2x﹣1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1，a0+a2+a4+a6＝365．（2）所求式子为恒等式右边系数的和，令x＝﹣1即可，与（1）式相加，奇数项系数抵消，可得出偶数项系数的和．【解答】解：（1）令x＝1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝（2×1﹣1）6＝1；（2）令x＝﹣l，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[2×（﹣1）﹣1]6＝729；与（1）式相加，得2a0+2a2+2a4+2a6＝730，解得a0+a2+a4+a6＝365，故答案为：1，365．【点评】本题考查了代数式的求值问题，关键是充分运用恒等式的意义，给x取不同的值，得出所求式子的值．12．（5分）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝4．【解答】解：∵x+y＝1，∴（x+y）2＝1，即x2+2xy+y2＝1，3+2xy＝1，解得xy＝﹣1，∴x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝1×（3+1）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了整式的混合运算，化简求值．关键是关键是利用立方和公式，完全平方公式将代数式变形，整体代入求值．13．（5分）若x+y+z＝30，3x+y﹣z＝50，x，y，z都为非负实数，则M＝5x+4y+2z的取值范围是120≤M≤130．【解答】解：由题意得，且x≥0，y≥0，z≥0由②﹣①得x﹣z＝10，即x＝10+z由①×3﹣②得2y+4z＝40，即y＝20﹣2z，又∵x≥0，y≥0，z≥0，∴0≤z≤10，∵M＝5x+4y+2z＝（2x+2y+2z）+（3x+y﹣z）+（y+z）＝130﹣z，∴120≤M≤130．故答案为：120≤M≤130．【点评】解决本题的关键是根据题意确定z的取值范围．14．（5分）对自然数a．b．c，定义运算*，设其满足（a*b）*c＝a*（bc），（a*b）（a*c）＝a*（b+c），则4*3的值为64．【解答】解：∵（a*b）（a*c）＝a*（b+c），∴4*3＝4*（2+1）＝（4*2）（4*1）＝[4*（1+1）]（4*1）＝（4*1）（4*1）（4*1）＝（4*1）3，又∵（a*b）*c＝a*（bc），∴（4*1）*1＝4*（1×1）＝4*1，∴4*1＝4，∴4*3＝43＝64．故答案为：64．【点评】此题考查有理数与无理数的概念与运算的知识．属于了新定义题型，此题难度较大，注意根据题意求得4*3＝（4*1）3与4*1＝4是解此题的关键．三．解答题（共4小题，满分50分）15．（12分）已知，，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．【解答】解：，①，②由①+②，得a﹣c＝，③∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝++＝，∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝，∵a2+b2+c2＝1，∴2﹣2（ab+bc+ca）＝，∴ab+bc+ca＝＝．【点评】本题考查了完全平方公式，巧妙地用到了完全平方公式，把已知条件转化为三个完全平方式，然后将a2+b2+c2＝1整体代入求值即可．16．（12分）某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠．小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？【解答】解：因为100×0.9＝90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8，设小美第二次购物的原价为x元，则（x﹣300）×0.8+300×0.9＝282.8解得，x＝316所以有两种情况：情况1：小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元则小丽应付（316+94.5﹣300）×0.8+300×0.9＝358.4（元）情况2：小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；则第一次购物原价为：94.5÷0.9＝105（元）所以小丽应付（316+105﹣300）×0.8+300×0.9＝366.8（元）．答：小丽应该付款358.4元或366.8元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，注意分情况讨论．17．（12分）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为10或40（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM﹣∠NOC的度数．（2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，则∠R