第17讲分式方程-2022年八年级数学暑假预习课（人教版）

第17讲分式方程【学习目标】1、理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因.2、掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程.3、会列出分式方程解决简单的实际问题.4、能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.【基础知识】知识点01分式方程分式方程需要满足三个条件：（1）是方程（2）方程中含分母（3）分母中含有未知数【注意】分式方程和整式方程的区别与联系(1)区别:整式方程和分式方程的根本区别在于分母中是否含有未知数.分母中含有未知数的方程是分式方程;分母中不含未知数的;方程是整式方程.(2)联系:分式方程可以转化为整式方程.知识点02分式方程的解法1、解分式方程的基本思路通分去分母(即方程两边同乘最简公分母),将分式方程化为整式方程.2、解分式方程的一般步骤：解题步骤解释示例：一去去分母,方程两边同乘最简公分母,把分式方程转化为整式方程解：方程两边同乘得：二解解这个整式方程解得x=0三验把整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解检验：当x=0时，四写写出原分式方程的解所以原方程的解为x=0【注意】不适合原分式方程的解叫增根，产生增根的原因如下:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零,对于整式方程来说，求出的解成立,而对于分式方程来说,分式无意义,所以这个解不是原分式方程的解.知识点03列分式方程解应用题【示例】A,B两种型号的机器加工同一种零件,已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件,A型机器加工.400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同,求A型机器每小时加工零件的个数.解题步骤解释示例审审清题意，弄清已知量和未知量的等量关系分析:等量关系为400÷A型机器每小时加工零件的个数=300÷B型机器每小时加工零件的个数.设设出未知数解:设A型机器每小时加工零件x个,则B型机器每小时加工零件(x—20)个.列列出分式方程根据题意列方程得：解解这个方程解得x=80验检验所求的解是否为分式方程的解,还要检验这个解是否符合实际问题的要求经检验,x=80是原分式方程的解,且符合实际意义.答写出答答:A型机器每小时加工零件80个.【考点剖析】考点一：分式方程的判断例1．在中，分式方程有 （）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】②中的分母中不含表示未知数的字母,故不是分式方程;③⑤中的方程分母中不含未知数,故不是分式方程;⑥不是方程,更不是分式方程;①④的方程分母中含未知数x,所以是分式方程.故选B.考点二：解分式方程例2．解分式方程：【解析】解:(1)分式两边同乘(x＋1)(x—1),得x+1=3,解得x=2.检验:当x=2时,(x+1)(x—1)≠0，所以原分式方程的解为x=2.(2)分式两边同乘(2x—1)(x—2)，得2x(x－2)+x(2x－1)=2(2x－1)(x－2)，整理得5x=4,解得检验:当时,(2x—1)(x—2)≠0，所以原方程的解为【方法总结】(1)当用最简公分母乘方程两边各项时,不要漏乘不含分母的项.(2)因为解整式方程可能产生不适合原分式方程的解,所以检验是解分式方程的必要步骤.(3)如果分式的分子是多项式,那么当去分母时,一定要先加上括号考点三：分式方程的常规解法例3．解方程：【分析】解分式方程的关键是去分母,因此首先要找出各分式的最简公分母﹐然后分式两边同乘最简公分母,将分式方程化为整式方程求解.(1)最简公分母是x(1+x).(2)最简公分母可以选择(x－1)(x＋1).注意:求出解后需要检验.【解析】解:(1)方程两边同乘x(l+x),得2+2x－x=0，解得x=－2，检验:当x=－2时,x(l+x)≠0.所以原分式方程的解为x=－2.(2)方程的两边同乘(x－1)(x+1)，得(x＋1)2－4=(x－1)(x＋1)，解得x=1.检验:当x=1时,(x－1)(x+1)=0.所以原分式方程无解.【方法总结】验解的两种方法任你选方法l:直接检验法,即把解的值分别代入原分式万程的左边和石边进行检验.方法2:公分母检验法,即把解的值代入最简公分母中进行检验,使得最简公分母为0的值不是原分式方程的解.此方法比较简早,因此比较常用.考点四：局部通分法解分式方程例4．解方程【分析】整个分式方程通分去分母,势必出现一个高次方程,给方程求解带来困难,而方程两边分组通分﹐则可使问题化繁为简.方程两边分别通分,会出现两个相等的分式,将这两个分式化为分子相等但分母含未知数的式子,此时可以分“分子为零”和“分子不为零,分母相等”两种情况来分别求解.【详解】解:两边分别通分,得当分子为零时,5－x=0,解得x=5;当分子不为零,而分母相等时,(x－4)(x－3)=(x－2)(x－1)解得经检验,x=5，均是原分式方程的解；【方法总结】局部通分法解分式方程对于较复杂的分式方程,要善于观察方程的特点,采用灵活的解题策略.本例就是采用局部通分法,先对方程两边分别通分,再利用分式相等的条件─分子等于0或分子、分母均相等,将分式方程转化为整式方程,这样要比直接去分母的方法简单得多.考点五：分式方程的解在一定范围内例5．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（）A、 B、 C、 D、【答案】B【分析】先解分式方程,再利用解为正数列不等式,解不等式得出m的取值范围,进而得出答案.【解析】方程两边同乘(x－3),得.解得,由方程的解为正数,得,解得又因为x－3≠0,所以，所以所以【方法总结】在确定字母的取值范围时,要注意两点:(1)要使所求得的未知数满足所给出的范围;(2)要使所求得的未知数满足分式的分母不为零.两个条件必须同时具备,缺一不可.考点六：分式方程无解例6．若关于x的分式方程无解,则a的值为；【答案】±1【分析】分式方程无解首先考虑到整式方程的解使最简公分母为0;其次﹐由分式方程所转化成的整式方程也可能无解.【解析】去分母,得,即，①当,即a=1时,此整式方程无解.②当时,要使原分式方程无解，则,解得a=－1.综上,a的值为±1.【方法总结】分式方程无解≠最简公分母值为0分式方程无解可能有两种情况:(1)求出的工的值是分式方程转化成整式方程的解,但这个解使最简公分母的值为0;(2)所化成的整式方程无解,这往往是由于未知数的系数含有待定字母造成的,这种情况在解题时不要忽略.考点七：分式方程的实际应用例7．为加快城市群的建设与发展,在A,B两城市间新建一条城际铁路,建成后,铁路运行里程由现在的120km缩短至114km,城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km,建成后的运行时间仅是现行时间的,求建成后的城际铁路在A,B两地的运行时间.【分析】本题是一道行程问题,行程问题常根据“速度×时间=路程”构建等量关系.本题中速度和时间均为未知量，可任选一个设未知数.思路1:设城际铁路现行速度是xkm/h，由时间一路程÷速度﹐建成后的运行时间=×现行时间列方程求解.思路⒉:设现行时间为th,根据速度=路程÷时间,现行时速+110=建成后的时速列方程求解.【解析】解:方法1:设城际铁路现行速度是xkm/h.由题意得：解得x=80，经检验，x=80是原方程的解，且符合题意；所以方法2:设现行时间为th.由题意,得，解得t=1.5.经检验,t=1.5是原分式方程的解,且符合题意.故建成后的运行时间为×1.5=0.6(h).答:建成后的城际铁路在A,B两地的运行时间是0.6h.【方法总结】行程问题中常用的等量关系行程问题属于典型应用题,其中路程、时间和速度三个量之间的关系是路程=速度×时间.解这类应用题,首先分析出问题中的已知量,确定待求量,然后根据第三个量找出反映全部题意的等量关系从而列出方程.考点八：利用分式方程解决工程问题例8．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设,甲队单独施工30天完成该项工程,这时乙队加入,两队还需同时施工15天,才能完成该项工程.(1)若乙队单独施工,需要多少天才能完成该项工程?(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?【分析】将总工作量看作“1”,找出组成“1”的两个段,由此列方程求解即可.在此之前,需要确定两队各自的工作效率.(1)将乙队完成工程的天数设为未知数，可表示出乙队的工作效率.由甲队单独施工30天完成该项工程的,可求出甲队的工作效率,由剩下的工程中﹐乙队加入,两队还需同时施工15天,总工作量为1可列出方程.(2)直接利用甲队参与该项工程施工的时间不超过36天,得出不等式求出答案.【解析】解:(1)设乙队单独施工需要工天才能完成该项工程.因为甲队单独施工30天完成该项工程的，即甲队每天完成工程的÷30=根据题意可得,解得x=30经检验,x=30是原方程的解,且符合题意.答:乙队单独施工,需要30天才能完成该项工程.(2)设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得解得y≥18.答:乙队至少施工18天才能完成该项工程.【方法总结】解决工程问题时，一要抓住“工作总量=工作效率×工作时间”这一等量关系;二要抓住“所有队工作量之和一总工作量1”这一关系列方程求解.考点九：利用分式方程解决销售问题例9．某商场购进甲、乙两种商品,乙商品的单价是甲商品单价的2倍,购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件,求两种商品单价各为多少元.【分析】题中的等量关系是“购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件”,这是解答本题的关键.破题思路:设甲商品的单价为工元,列表分析如下:甲乙单价（元）x2x购买数量（件）【解析】解:设甲商品的单价为x元,则乙商品的单价为2.x元.根据题意,得解得x=6，经检验,x=6是所列方程的解,且符合题意.所以2x=2×6=12.答:甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元.【方法总结】解决销售问题,要先抓住总价、单价和数量三者之间的关系(总价=单价×数量),再结合题意找到其中的等量关系,列出方程即可.在解分式方程的应用题时,一定要记得检验.【即学即练】1．解分式方程时，去分母变形正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先对分式方程乘以，即可得到答案.【详解】去分母得：，故选D．【点睛】本题考查去分母，解题的关键是掌握通分.2．已知是分式方程的解，那么实数的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】将代入原方程，即可求出值．【详解】解：将代入方程中，得解得：．故选：B．【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．3．方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：，移项合并得：，化系数为“1”得：，检验，当时，，∴是原分式方程的解．故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．4．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．5．若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜ B．m＜且m≠C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣【答案】B【解析】【分析】先去分母解方程，根据方程的解为正数列不等式即可【详解】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=，已知关于x的方程=3的解为正数，所以﹣2m+9＞0，解得m＜，当x=3时，x==3，解得：m=，所以m的取值范围是：m＜且m≠．故选：B．【点睛】本题考查含参数的分式方程解法，不等式，分式有意义条件，解题的关键是掌握含参数的分式方程解法，不等式，分式有意义条件．6．关于x的方程无解，则m的值为（）A．5 B．8 C．2 D．5【答案】A【解析】【详解】解：去分母得：3x2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=1，代入整式方程①得：5=2+2+m，解得：m=5．故选：A．7．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.【详解】解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴，故选D.【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.8．九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为xkm/h，则所列方程正确的是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C．考点：由实际问题抽象出分式方程．9．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为A． B．C． D．【答案】B【解析】【详解】试题分析：由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．从而，列方程．故选B．10．解分式方程：﹣1=．【答案】分式方程的解为x=1.5．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．【详解】两边都乘以3（x﹣1），得：3x﹣3（x﹣1）=2x，解得：x=1.5，检验：x=1.5时，3（x﹣1）=1.5≠0，所以分式方程的解为x=1.5．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.11．若关于x的方程无解，求k的值．【答案】当k＝－1或－时原方程无解.【解析】【分析】因为把原分式方程化为整式方程后是一个一次项系数中含有字母的整式方程，故需要分两种情况讨论，①求使整式方程无解的k值；②求使整式方程的解是x=2和x=2的k值.【详解】，去分母得，x＋2＋k(x－2)＝3，去括号得，x＋2＋kx－2k＝3，移项合并同类项得，(1＋k)x＝2k＋1，①当1＋k＝0，即k＝－1时整式方程无解，②当1＋k≠0时x＝，＝±2时，即k＝－时分式方程无解，综上所述当k＝－1或时原方程无解.【点睛】本题主要考查了含字母系数的分式方程无解的知识点，一般的解法是先将分式方程化为整式方程，再将使原分式方程的分母为0的未知数的值代入到整式方程中，求出对应的字母系数的值，但如果化为整式方程后，未知数的系数中含有字母系数，还要注意求使这个整式方程无解的字母系数的值.12．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元．（2）销售单价至少为11元．【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得．【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：解得：经检验：是分式方程的解答：第一批饮料进货单价为8元．（2）设销售单价为元，则：，化简得：，解得：，答：销售单价至少为11元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键．13．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？【答案】（1）乙队单独完成需90天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．【解析】【分析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．（2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可．【详解】解：（1）设乙队单独完成需x天．根据题意，得：．解这个方程得：x=90．经检验，x=90是原方程的解．∴乙队单独完成需90天．（2）设甲、乙合作完成需y天，则有，解得，y=36；①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）．②乙单独完成超过计划天数不符题意，③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）．答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【课后巩固】1．解分式方程时，去分母后变形为A． B．C． D．【答案】D【解析】【详解】试题分析：方程，两边都乘以x1去分母后得：2（x+2）=3（x1），故选D.考点：解分式方程的步骤.2．关于的分式方程解为，则常数的值为(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a的值即可．【详解】解：把x=4代入方程，得，解得a=10．经检验，a=10是原方程的解故选D．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．3．方程的解为（）A．x=﹣1 B．x=0 C．x= D．x=1【答案】D【解析】【详解】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：去分母得：x+3=4x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选D．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．4．若分式方程有增根，则a的值是()A．4 B．0或4 C．0 D．0或﹣4【答案】A【解析】【详解】方程两边同时乘以x3得，1+x3=ax，∵方程有增根，∴x3=0，解得x=3．∴1+33=a3，解得a=4．故选A.5．已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2【答案】D【解析】【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m的取值范围.【详解】=1，解得：x=m﹣3，∵关于x的分式方程=1的解是负数，∴m﹣3＜0，解得：m＜3，当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，则m≠2，故m的取值范围是：m＜3且m≠2，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．6．关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（）A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【解析】【分析】解分式方程得：即，由题意可知，即可得到.【详解】解：方程两边同时乘以得：，∴，∵分式方程有解，∴，∴，∴，∴，故选B.【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.7．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）A．=2 B．=2C．=2 D．=2【答案】A【解析】【详解】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：=2，故选A．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．8．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是米/秒，则所列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．【详解】小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，∵小进比小俊少用了40秒，方程是，故选C．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．9．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，依题意得：，即．故选C．【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．10．解方程：．【答案】【解析】【分析】分式方程两边同乘3(x+1)，解出x的解，再检验解是否满足.【详解】解：方程两边都乘，得：，解得：，经检验是方程的解，原方程的解为．【点睛】本题考查的知识点是分式方程的求解，解题关键是解出的解要进行检验.11．已知关于x的分式方程.(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程无解，求a的值．【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2【解析】【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；（3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可.试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．12．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵