专题02二次函数(真题训练卷)【满分王】(原卷版+解析)

专题02二次函数（真题训练卷）一．选择题（共12题）1．下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16） B．（﹣1，﹣16） C．（﹣3，﹣8） D．（3，24）2．关于二次函数y＝2x2+x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为﹣3．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），c（5，y3）在二次函数y＝﹣3x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y24．在下列二次函数中，其图象对称轴为直线x＝2的是（）A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）25．把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣x2﹣16．将抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（）A．y＝﹣2（x﹣3）2﹣4 B．y＝﹣2（x+3）2﹣4 C．y＝﹣2（x﹣3）2+4 D．y＝﹣2（x+3）2+47．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0 C．x＜﹣3 D．0＜x＜38．抛物线①y＝2x2；②y＝2（x+1）2﹣5；③y＝3（x+1）2；④y＝（x+1）2﹣5．其中，形状相同的是（）A．①② B．②③④ C．②④ D．①④9．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…116323…则当y＜6时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＞310．在同一平面直角坐标系中y＝ax2+b与y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象大致为（）A． B． C． D．11．函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A． B． C． D．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共6题）13．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x+11化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果为．14．抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的公共点的个数是．15．已知抛物线y＝x2+2x经过点（﹣4，y1），（1，y2），则y1y2（填“＞”，“＝”“＜”）16．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是．17．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为m．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值．解答题（共题）19．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（0，﹣4），求这个二次函数的解析式．20．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3（1）对称轴为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…（3）若抛物线与x轴交点为A、B，点P（﹣2，n）在抛物线上，求△ABP的面积．21．已知抛物线y＝x2﹣4x+3（1）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．22．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？22．已知某隧道截面拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部宽20米．（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y轴为抛物线的对称轴，求这条抛物线的解析式；（2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架AB﹣BC﹣CD（其中B、C两点在抛物线上，A、D两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？（3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）23．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．专题02二次函数（真题训练卷）一．选择题（共12题）1．下列各点中，在二次函数y＝x2﹣8x﹣9图象上的点是（）A．（1，﹣16） B．（﹣1，﹣16） C．（﹣3，﹣8） D．（3，24）【答案】A【解答】解：当x＝1时，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣16；当x＝﹣1时，y＝x2﹣8x﹣9＝0；当x＝﹣3时，y＝x2﹣8x﹣9＝24；当x＝3时，y＝x2﹣8x﹣9＝﹣24；所以点（1，﹣16）在二次函数y＝x2﹣8x﹣9的图象上．故选：A．2．关于二次函数y＝2x2+x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为﹣【答案】D【解答】解：A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），故A选项不符合题意；B．图象的对称轴是直线x＝在y轴的左侧，故B选项不符合题意；C．当x时，y的值随x值的增大而减小，当x时，y的值随x值的增大而增大，故C选项不符合题意；D．∵y＝2x2+x﹣1＝2（x+）2﹣，∴当x＝﹣时，y取最小值，y的最小值为﹣，故D选项符合题意；故选：D．3．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），c（5，y3）在二次函数y＝﹣3x2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2+k图象的对称轴为y轴，∴B（1，y2）到y轴的距离最近，C（5，y3）到y轴的距离最远，∴y3＜y1＜y2．故选：C．4．在下列二次函数中，其图象对称轴为直线x＝2的是（）A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2【答案】D【解答】解：A、y＝（x+2）2﹣3的对称轴为x＝﹣2，所以选项A错误；B、y＝2x2﹣2的对称轴为x＝0，所以选项B错误；C、y＝﹣2x2﹣2的对称轴为x＝0，所以选项C错误；D、y＝2（x﹣2）2对称轴为x＝2，所以选项D正确；故选：D．5．把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣x2﹣1【答案】A【解答】解：把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式是y＝x2+1．故选：A．6．将抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（）A．y＝﹣2（x﹣3）2﹣4 B．y＝﹣2（x+3）2﹣4 C．y＝﹣2（x﹣3）2+4 D．y＝﹣2（x+3）2+4【答案】B【解答】解：把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的解析式是y＝﹣2（x+3）2﹣4，故选：B7．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0 C．x＜﹣3 D．0＜x＜3【答案】A【解答】解：由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是﹣3＜x＜0．故选：A．8．抛物线①y＝2x2；②y＝2（x+1）2﹣5；③y＝3（x+1）2；④y＝（x+1）2﹣5．其中，形状相同的是（）A．①② B．②③④ C．②④ D．①④【答案】A【解答】解：∵y＝2x2的二次项系数是2，y＝2（x+1）2﹣5的二次项系数是2，y＝3（x+1）2的二次项系数是3，y＝（x+1）2﹣5的二次项系数是1，∴y＝2x2与y＝2（x+1）2﹣5的形状相同，故选：A．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…116323…则当y＜6时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＞3【答案】A【解答】解：∵点（0，3）、（1，2）、（2，3）在二次函数y＝ax2+bx+c上，∴a＞0，二次函数图象的对称轴为直线x＝1．∵当x＝﹣1时，y＝6，∴当x＝3时，y＝6．∴当y＜6时，x的取值范围为﹣1＜x＜3．故选：A．10．在同一平面直角坐标系中y＝ax2+b与y＝ax+b（a≠0，b≠0）图象大致为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．故选：A．11．函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；故选：C．二．填空题（共6题）13．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x+11化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果为．【答案】y＝（x﹣3）2+2【解答】解：y＝x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2．故答案为：y＝（x﹣3）2+2．14．抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的公共点的个数是．【答案】2【解答】解：∵抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣1，∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1﹣（﹣4）＝5＞0，∴抛物线与x轴没有两个交点，故答案为：2．15．已知抛物线y＝x2+2x经过点（﹣4，y1），（1，y2），则y1y2（填“＞”，“＝”“＜”）【答案】＞【解答】解：x＝﹣4时，y1＝8，x＝1时，y2＝3，∴y1＞y2，故答案为＞16．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是．【答案】（1，2）【解答】解：因为y＝（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．17．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为m．【答案】16【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y＝﹣x2，得x＝±8，∴A（﹣8，﹣4），B（8，﹣4），∴AB＝16m．即水面宽度AB为16m．故答案为：16．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值．【答案】2（答案不唯一）【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴当y＜0的x的取值范围是：1＜x＜3，∴x的值可以是2．故答案是：2（答案不唯一）．解答题（共题）19．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（0，﹣4），求这个二次函数的解析式．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），∴设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣1，把点（0，﹣4）代入得：﹣4＝a（0﹣3）2﹣1，解得：a＝﹣，即y＝﹣（x﹣3）2﹣1＝﹣x2+2x﹣4，∴这个二次函数的解析式是y＝﹣x2+2x﹣4．20．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3（1）对称轴为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…（3）若抛物线与x轴交点为A、B，点P（﹣2，n）在抛物线上，求△ABP的面积．【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1，顶点坐标为（1，﹣4），故答案为x＝1，（1，﹣4）；（2）取顶点和对称轴两侧各2个点，如表格所示，图如下：（3）AB＝3+1＝4，当x＝﹣2时，y＝n＝5S△ABP＝×AB×n＝10．21．已知抛物线y＝x2﹣4x+3（1）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）；（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；（3）当x＜1或x＞3时，y＞0．22．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？【解答】解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，∴x≤10，∴当6≤x≤10时，W＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，当10＜x≤30时，W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，综上所述：W＝；（2）当6≤x≤10时，W＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，∴当6≤x≤10时，W随x的增大而增大，即当x＝10时，W最大值＝18000元，当10＜x≤30时，W＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，∴当x＝28时，W有最大值为46400元，∵46400＞18000，∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元．22．已知某隧道截面拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部宽20米．（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y轴为抛物线的对称轴，求这条抛物线的解析式；（2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架AB﹣BC﹣CD（其中B、C两点在抛物线上，A、D两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？（3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）【解答】解：（1）设y＝ax2+c，由题意抛物线经过点（10，0），（0，10），则，解得，故抛物线的解析式为y＝﹣x2+10；（2）设点C的坐标为（m，n），则所需材料长度＝2m+2n＝2m+2×（﹣）m2+2×10＝﹣m2+2m+20＝﹣（m﹣5）2+25，∵﹣＜0，∴当m＝5时，所需材料最多，为25米，∴总长为30米的材料够用；（3）当n＝5时，﹣m2+10＝5，解得m＝5，∵5＜2×4，∴高度不超过5米的车不能并排通过隧道口．23．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a＝，∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+4＝（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：直线x＝3；（2）存在，P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x＝3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y＝kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y＝x﹣，∵点P的横坐标为3，∴y＝×3﹣＝，∴P（3，）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y＝﹣x+4，把x＝