第17讲二次函数y=ax²bxc的图像（原卷版）

第17讲二次函数y=ax2+bx+c的图像二次函数的图像的研究，需要利用配方法的方式对进行变形，从而利用的图像特征研究的图像特征，继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系．模块一：二次函数y=a(x+m)2+k的图像1、二次函数的图像二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x=；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．在平面直角坐标系中xOy中画出二次函数的图像．yyOx一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（） A．10米 B．20米 C．30米 D．60米已知二次函数的图像上有A（，y1）、B（2，y2）、C（， y3）三个点，则y1、y2、y3的大小关系为（） A． B． C． D．与抛物线形状相同，顶点为（3，）的抛物线解析式为_____________．模块二：二次函数y=ax2+bx+c的图像二次函数的图像二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式．对配方得：．由此可知：抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）．当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．

用配方法把下列函数解析式化为的形式． （1）； （2）．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．yyOx化成的形式为（） A． B． C． D．在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且） 的图像可能是（）AA．B．C．D．xyxyxyxy已知一次函数与二次函数的图像都过点A（1，）， 二次函数的对称轴是直线x=，请求出一次函数和二次函数的解析式．已知抛物线经过点P（，）． （1）求b+c的值； （2）若b=3，求这条抛物线的顶点坐标； （3）若，过点P作直线PAy轴，交y轴与点A，交抛物线于另一点B， 且BP=2PA，求这条抛物线所对应的解析式．一、单选题（2023·上海虹口·统考一模）已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（

）A． B． C． D．（2023·上海宝山·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A． B． C． D．（2023·上海徐汇·统考一模）二次函数的图像如图所示，点在轴的正半轴上，且，下列选项中正确的是（

）A． B． C． D．（2023·上海崇明·统考一模）将函数的图像向右平移2个单位，下列结论中正确的是（

）A．开口方向不变 B．顶点不变 C．对称轴不变 D．与轴的交点不变（2023·上海徐汇·统考一模）将抛物线经过下列平移能得到抛物线的是（

）A．向右个单位，向下个单位 B．向左个单位，向下个单位C．向右个单位，向上个单位 D．向左个单位，向上个单位（2023·上海闵行·统考二模）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（

）A．开口方向相同； B．对称轴相同；C．顶点的横坐标相同； D．顶点的纵坐标相同．（2023·上海长宁·统考二模）已知抛物线经过点，那么的值是（

）A． B． C． D．（2023·上海·一模）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如上图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（

）水平距离/m02581114竖直高度/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40（第一次训练数据）A．23.20m B．22.75m C．21.40m D．23m二、填空题（2023·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是______．（2023·上海杨浦·统考一模）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是，那么水珠达到的最大高度为___________米．（2023·上海宝山·一模）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为_____．（不要求写出定义域）（2023·上海嘉定·统考二模）如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么____．（2023·上海松江·统考二模）我们定义：二次项系数之和为，图像都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数，那么的友好函数是________．（2023·上海虹口·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，点、都在该抛物线上，那么______．(填“”或“”或“”)．（2023·上海青浦·统考二模）已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点N的坐标为____．（2023·上海徐汇·统考一模）已知点、在抛物线上，则_____________（填“”、“”或“”）．三、解答题（2023·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线（）与x轴交于点和，与y轴交于点．抛物线的顶点为点．

(1)求抛物线的表达式，并写出点的坐标；(2)将直线绕点顺时针旋转，交轴于点．此时旋转角等于．①求点的坐标；②二次函数的图象始终有一部分落在的内部，求实数的取值范围．（2023·上海杨浦·统考三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表：每件售价x（元）91113每天的销售量y（件）1059585(1)求y与x的函数解析式；(2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？（2023·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点和点，与轴交于另一点．

(1)求这条抛物线的表达式；(2)求的值；(3)点为抛物线上一点，点为平面内一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：01345根据表，下列判断正确的是（

）A．该抛物线开口向上B．该抛物线的对称轴是直线C．该抛物线一定经过点D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（

）A． B． C． D．抛物线开口向上，且过，下列结论中正确的是_________（填序号即可）．①若抛物线过，则；②若，则不等式的解为；③若，、为抛物线上两点，则时；④若抛物线过，且，则抛物线的顶点一定在的下方．如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是______．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的表达式和对称轴；(2)连接，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积