专题全等三角形常见的基本模型（原卷版）

八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形常见的基本模型题型一题型一平移模型平移模型展示平移模型展示沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(BE=CF)【例1】已知：如图，点E是AC的中点，BA⊥AC于A，DE⊥AC于E，∠B＝∠D，求证：BE＝DC．【变式11】（2022秋•枣阳市期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求证：AC＝DF．【变式12】（2023春•埇桥区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．试说明：（1）△ABC≌△DEF；（2）∠A＝∠EGC．【变式13】已知：如图，点B，E，C，F有同一直线l，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF，试判断线段AC与DF的数量关系以及位置关系．并证明．【变式14】如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求证：AC∥DF；（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．【变式15】如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．（1）求证：AC＝DF；（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．题型二题型二对称模型对称模型展示对称模型展示有公共边：有公共顶点：所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合.【例2】（2023•越秀区校级二模）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．【变式21】（2023春•桑植县期末）如图，∠A＝∠D＝90°，点B，E，F，C在同一直线上，AB＝CD，BE＝CF，求证：∠B＝∠C．【变式22】（2022•永安市模拟）如图，AB＝AE，AD＝AC，∠1＝∠2．求证：BC＝ED．【变式23】（2022•蓬安县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，BD＝CE，∠G＝∠F．求证：AF＝AG．【变式24】（2022春•城阳区期末）已知：OA＝OB，OC＝OD．（1）求证：△OAD≌△OBC；（2）若∠O＝85°，∠C＝25°，求∠BED的度数．【变式25】（2022春•沙坪坝区校级期末）如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAF＝∠BAE，∠B＝∠C．求证：AE＝AF．【变式26】（2023春•明水县期中）如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，BE＝CF．求证：（1）∠1＝∠2．（2）CM＝BN．​题型三题型三旋转共顶点模型旋转模型展示旋转模型展示绕公共顶点旋转可得两个三角形重合.【例3】（2023•大连）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．【变式31】如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE．【变式32】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：∠ABD＝∠ACE．【变式33】（2023•宜兴市二模）如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，点D在线段AB上（与A，B不重合），连接BE．（1）证明：△ACD≌△BCE．（2）若BD＝3，BE＝7，求AB的长．【变式34】（2023春•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，D是AB边上一点（不与A，B重合），以CD为边作等腰△CDE，CD＝CE，且∠DCE＝100°，CB与DE交于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD＝BF时，求∠BFE．【变式35】（2022秋•大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．（1）如图1．当α＝90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；（2）如图2．当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为；（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为（用含α的式子表示）．题型四题型四旋转不共顶点模型【例4】（2023春•天桥区期末）已知：如图，A、B、C、D在同一直线上，且AE∥DF，AE＝DF，AB＝CD．求证：∠E＝∠F．【变式41】（2022秋•隆回县期末）如图，点B，C，E，F在同一条直线上，∠B＝∠E，AC∥DF，AB＝DE．（1）求证：AC＝DF．（2）若AM，DN分别是△ABC和△DEF的角平分线，求证：AM＝DN．【变式42】（2023春•碑林区校级期末）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AF＝CE，BE＝FD，∠AEB＝∠CFD．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）若DF＝CF，∠ABE＝20°，∠DAC＝30°，求∠ADC的度数．【变式43】（2022春•城阳区期末）已知：点A，D，C，B在同一条直线上，DF∥CE，DF＝CE，AD＝BC．求证：（1）CF＝DE；（2）AF∥EB．【变式44】如图所示，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD．（1）如图①所示，若EF与BD相交于点G，则EG与FG相等吗？试说明理由．（2）如图②所示，若将△DEC的边EC沿AC方向移动至图中所示位置时，其余条件不变，（1）中结论是否还能成立？请说明理由．题型五题型五三垂直模型三垂直模型展示三垂直模型展示已知A,B,C三点共线,且∠1=∠2=∠3=90°.【例5】（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求证：△ABP≌△PEF；（2）求BE的长．【变式51】（2022春•钢城区期末）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【变式52】（2022春•横山区期末）如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，点D在直线AB上，AD＝BC，AF＝BD．（1）如图1，若点D在线段AB上，判断DF与DC的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【变式53】如图，AB＝BC，AD＝DE，且AB⊥BC，AD⊥DE，又CG⊥BD的延长线于点G，EF⊥BD交BD的延长线于点F．求证：CG+EF＝BD．【变式54】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，在MN绕点C旋转过程中，以上关系保持不变（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2位置时，DE、AD、BE三者之间有怎样的等量关系，证明你的结论；（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：DE、AD、BE三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论．【变式55】（2022秋•阳信县期中）在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD；（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD；（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．题型六一线三等角模型题型六一线三等角模型一线三等角模型展示一线三等角模型展示（1）点P在线段AB上:（2）点P在线段AB的延长线上:已知A,P,B三点共线,且∠1=∠2=∠3.【例6】图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝∠B，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．【变式61】（1）课本习题回放：如图①，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm．求BE的长．（2）探索证明：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．【变式62（2023春•宽甸县期中）已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，点E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，如图1，若∠BCA＝90°，∠a＝90°，则BE与CF的数量关系是．（2）如图2，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：.并说明理由．【变式63】（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．【变式64】问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；（1）特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为3，则△ACF与△BDE的面积之和为．【变式65】（2023春•平阴县期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与A