专题14正多边形和圆、弧长和扇形的面积(原卷版+解析)(重点突围)

专题14正多边形和圆、弧长和扇形的面积考点一正多边形和圆考点二求正多边形的中心角考点三已知正多边形的中心角求边数考点四求弧长考点五求扇形的半径考点六求圆心角考点七求某点的弧形运动路径的长度考点八求扇形的马面积考点九求图形旋转后扫过的面积考点十求不规则图形的面积考点一正多边形和圆例题：（2022·江苏·九年级课时练习）如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（

）A．1 B．2 C． D．【变式训练】1．（2022·江苏·九年级课时练习）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（

）A． B．4 C． D．22．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，的外切正六边形的边心距的长度为，那么正六边形的周长为（

）A．2 B．6 C．12 D．考点二求正多边形的中心角例题：（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．76° B．72° C．60° D．36°【变式训练】1．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图．点O是正五边形的中心，是正五边形的外接圆，的度数为____．2．（2021·吉林·九年级阶段练习）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝_____°．考点三已知正多边形的中心角求边数例题：（2022·江苏·九年级专题练习）正n边形的中心角为72°，则______．【变式训练】1．（2022·江苏·九年级专题练习）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．2．（2021·江苏·泰兴市济川初级中学九年级阶段练习）如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．考点四求弧长例题：（2022·河北唐山·九年级期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（）A．π B．π C．π D．π2．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，在扇形OAB中，，则的长为______cm．考点五求扇形的半径例题：（2022·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的弧长是3π，面积是12π，则此扇形的半径是___________．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）已知扇形的弧长，圆心角是，则该扇形的半径为______（结果保留）．2．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆弧的度数为，弧长为，则圆弧的半径为______考点六求圆心角例题：（2022·天津市静海区第二中学九年级阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（

）A．120° B．150° C．60° D．100°【变式训练】1．（2021·山东烟台·期中）将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为，则这三个扇形中最大的圆心角度数为____________．2．（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的图心角的度数为____．考点七求某点的弧形运动路径的长度例题：（2022·山东枣庄·中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为_____．（结果保留π）【变式训练】1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，点，，都在方格纸的格点上，绕点顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为______．2．（2022·广东·红岭中学九年级阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是______．考点八求扇形的面积例题：（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．(1)求证：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．考点九求图形旋转后扫过的面积例题：（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为(

)A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【变式训练】1．（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．2．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B(﹣5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则线段CD转过区域的面积为________．考点十求不规则图形的面积例题：（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．一、选择题1．（2022秋·福建泉州·九年级校考期末）若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2023秋·山东临沂·九年级临沂实验中学校考期末）已知一个圆锥的底面半径是，侧面积是，则圆锥的母线长是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则正六边形的边心距是（

）A． B．2 C． D．44．（2022春·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．5．（2022秋·重庆大渡口·九年级重庆市第三十七中学校校考期末）如图，菱形的边长为2，，以为圆心的弧与边、相切，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．6．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，，分别以点B，C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交，，于点，，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，正五边形内接于，点F在劣弧上，则的度数为_____°．8．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）半径为3cm的圆内接正方形的对角线长为______cm，面积为______．9．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的表面积是__________．（结果保留）10．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为2．以点为圆心，8为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则的长为______．11．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是___________．12．（2022秋·上海·六年级专题练习）如图，扇形的半径，，分别以、的中点C、D为圆心，、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_________平方厘米．13．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，正的边长为2，为坐标原点，在轴上，在第二象限．沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚3次后点的对应点的坐标是________；翻滚2023次后中点经过的路径长为________．三、解答题14．（2022秋·陕西渭南·九年级校考阶段练习）如图，已知正六边形的中心为，半径．(1)求正六边形的边长；(2)以为圆心，为半径画，求的长．（结果保留）15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，在中，，以为直径的与线段交于点，作，垂足为，的延长线与的延长线交于点．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求劣弧的长．16．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）如图，在中，，以为直径的分别交线段，于点，，过点作⊥，垂足为，线段，的延长线相交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．17．（2022秋·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考阶段练习）如图，为的直径，为上一点，垂直于过点的直线，垂足为，且平分．(1)判断：是否是的切线；(2)若的半径为2，，求线段的长；(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．18．（2022秋·湖北黄石·九年级黄石十四中校考期中）如图，已知平行四边形的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作，分别交、的延长线于点D、E，交半圆O于点F，连接．(1)判断直线与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)①求证：；②若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积．专题14正多边形和圆、弧长和扇形的面积考点一正多边形和圆考点二求正多边形的中心角考点三已知正多边形的中心角求边数考点四求弧长考点五求扇形的半径考点六求圆心角考点七求某点的弧形运动路径的长度考点八求扇形的马面积考点九求图形旋转后扫过的面积考点十求不规则图形的面积考点一正多边形和圆例题：（2022·江苏·九年级课时练习）如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形的边长．【详解】连接OB、OC，如图所示，∵的半径为1，四边形正方形，∴OB=OC=1，∠BOC=90°，∴,故选C．【点睛】此题考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正方形的性质是本题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏·九年级课时练习）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（

）A． B．4 C． D．2【答案】B【分析】画出图形（见解析），先求出正六边形的中心角的度数，再根据等边三角形的判定与性质即可得．【详解】解：如图，正六边形的中心角，边长，，是等边三角形，，即这个正六边形的外接圆的半径为4，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，正确求出正六边形的中心角的度数是解题关键．2．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，的外切正六边形的边心距的长度为，那么正六边形的周长为（

）A．2 B．6 C．12 D．【答案】C【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，根据边心距得到OG=，证明△OAB是等边三角形，利用勾股定理求出AB，从而可得周长．【详解】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，由题意可得：OG=，在正六边形ABCDEF中，∠AOB==60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA==2，∴正六边形ABCDEF的周长为2×6=12，故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．考点二求正多边形的中心角例题：（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．76° B．72° C．60° D．36°【答案】B【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为=72°，故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北恩施·九年级期末）如图．点O是正五边形的中心，是正五边形的外接圆，的度数为____．【答案】##36度【分析】连接，先求出中心角的度数，再根据圆周角定理即可得．【详解】解：如图，连接，点是正五边形的中心，是正五边形的外接圆，中心角，由圆周角定理得：，故答案为：．【点睛】本题考查了圆内接正五边形和圆周角定理，熟练掌握圆内接正五边形的中心角的求法是解题关键．2．（2021·吉林·九年级阶段练习）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝_____°．【答案】36【分析】连接OA，OB，OB交AF于J．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OA，OB，OB交AF于J．∵五边形ABCDE是正五边形，OF⊥BC，∴，∴∠AOB＝72°，∠BOF=∠AOB＝36°，∴∠AOF＝∠AOB+∠BOF=108°，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝＝36°故答案为：36．【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n边形的每个中心角都等于．考点三已知正多边形的中心角求边数例题：（2022·江苏·九年级专题练习）正n边形的中心角为72°，则______．【答案】5【分析】根据正多边形的中心角之和为360°计算即可．【详解】根据题意有：，故答案为：5．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360°是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏·九年级专题练习）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．【答案】十二【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．【详解】解：∵一个正多边形的中心角是30°，∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，故答案为：十二．【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．2．（2021·江苏·泰兴市济川初级中学九年级阶段练习）如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．【答案】12【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，∴n==12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．考点四求弧长例题：（2022·河北唐山·九年级期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC=OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC=OA，∴∠OAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°，∴劣的长==2π，故选：C．【点睛】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的长为：π．故选：B．【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．2．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，在扇形OAB中，，则的长为______cm．【答案】##【分析】利用弧长公式，代入数值计算即可．【详解】解：由题意得的长＝＝(cm)，故答案为：【点睛】此题考查了弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．考点五求扇形的半径例题：（2022·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的弧长是3π，面积是12π，则此扇形的半径是___________．【答案】8【分析】根据扇形的面积公式S扇形=lR即可得出答案．【详解】解：∵S扇形=lR，∴R==8．故答案为：8．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）已知扇形的弧长，圆心角是，则该扇形的半径为______（结果保留）．【答案】30【分析】根据弧长公式代入数据计算即可．【详解】解：∵扇形的弧长，圆心角是，代入弧长公式中：∴，解得：cm，∴该扇形的半径为30cm，故答案为：30．【点睛】本题考察了扇形弧长公式，属于基础题，熟练掌握扇形弧长公式是解题的关键．2．（2022·江苏·九年级专题练习）已知圆弧的度数为，弧长为，则圆弧的半径为______【答案】18【分析】利用弧长公式进行计算即可．【详解】∵圆弧的度数为，弧长为，又∵，∴，解得，故答案为：18．【点睛】本题考查了圆弧的弧长公式，熟练应用弧长公式进行计算是解答本题的关键．考点六求圆心角例题：（2022·天津市静海区第二中学九年级阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（

）A．120° B．150° C．60° D．100°【答案】B【分析】利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可．【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l，由题意得：，即240π＝×20πr，解得：r＝24，又由可得：，解得：，故选：B．【点睛】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算，熟练掌握各自的公式是解本题的关键．【变式训练】1．（2021·山东烟台·期中）将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为，则这三个扇形中最大的圆心角度数为____________．【答案】160°【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得各个扇形的圆心角的度数．【详解】由题意可知，三个圆心角的和为360°，又∵三个圆心角的度数比为，∴最大的圆心角度数为：．故答案为：160°．【点睛】本题考查了扇形圆心角的度数问题，掌握周角的度数即三个扇形圆心角的和是360°是解题关键．2．（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的图心角的度数为____．【答案】45°##45度【分析】直接利用扇形弧长公式代入求出即可．【详解】解：∵扇形的弧长是，半径为2，∴，解得：n＝45，故答案为：45°．【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．考点七求某点的弧形运动路径的长度例题：（2022·山东枣庄·中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为_____．（结果保留π）【答案】【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，点，，都在方格纸的格点上，绕点顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为______．【答案】【分析】先求出AB的长，再根据弧长公式计算即可．【详解】由题意得，AC=4，BC=3，∴,∵绕点顺时针方向旋转后得到，∴,∴的长为：，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理和弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．2．（2022·广东·红岭中学九年级阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是______．【答案】【分析】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，可得四边形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，则可得点M的运动路径，从而求得路径的长．【详解】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，则OE∥BC，且，OF∥AC，，∴四边形CEOF为平行四边形，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴四边形为正方形，∴CE=CF=2，EF=OC，由勾股定理得：，∵在等腰中，，∴，∴，，∵为的中点，∴，∴，

∴点在以为直径的圆上，当点点在点时，点在点；点点在点时，点在点，∴点的路径为以为直径的半圆，∴点运动的路径长．故答案是：．【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点．考点八求扇形的面积例题：（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC====2.25π（m2）故选：D．【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再说明△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．（1）证明：连接OB∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°=90°∴OB⊥CE∵OB是半径

∴EC是⊙O的切线．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=2过O作OH⊥AM于H则四边形OBCH是矩形∴OH=BC=2，OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等边三角形∴∠AOM＝60°∴．【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．(1)求证：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【答案】(1)见解析(2)30°(3)2π﹣2【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2，答：阴影部分的面积是2π﹣2．【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．考点九求图形旋转后扫过的面积例题：（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为(

)A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【答案】A【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．【详解】解：∵，，，∴，∴所扫过的面积为．故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．【变式训练】1．（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．【答案】

##【分析】根据弧长公式可求得的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．【详解】解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．∴的长为:2π；∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′，∴AB扫过的图形的面积=．故答案为：2π；．【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．2．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B(﹣5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则线段CD转过区域的面积为________．【答案】【分析】先判断出OB＝OC＝5，根据勾股定理可得OA和AD的长，根据△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再利用扇形面积公式即可求出结果．【详解】解：∵B（−5，0），C（5，0），∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，∴，∵D（11，0），∴OD＝11，∴AD2＝AO2＋OD2＝75＋121＝196，∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝，∴图中阴影部分面积＝S扇形DAE−S扇形BAC故答案为：16π【点睛】本题考查了扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形变化−旋转，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．考点十求不规则图形的面积例题：（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵AB=1，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，∵BA=BM，∴△ABM是等边三角形，∴∠ABM=60°，∴∠MBN=30°，∴MH=BM=，∴S阴=S△BCM-S扇形BMN==，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S阴=S△BCM-S扇形BMN是解题的关键．【变式训练】1．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）【答案】【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，则可判断点O是弧AOP的中点，由折叠的性质可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，连接OP，则点E是弧AEP的中点，由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点，∴S弓形AO=S弓形PO，在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，∴∠OAD=30°，∴∠BOP=60°，∴S阴影=S扇形BOP==π．故答案为：π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是弧AOP的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【分析】根据旋转的性质，可得，，再由勾股定理可得，再证得为等边三角形，可得，，进而得到，，再根据阴影部分的面积等于，即可求解．【详解】解：根据题意得：，，在中，，，，∴AB=2BC=4，，∴，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴阴影部分的面积等于．故答案为：【点睛】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，根据题意得到阴影部分的面积等于是解题的关键．一、选择题1．（2022秋·福建泉州·九年级校考期末）若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据正多边形的中心角，求出n即可．【详解】由题意，，解得.故选：B．【点睛】本题主要考查了正多边形的中心角问题，熟记基本公式是解题关键．2．（2023秋·山东临沂·九年级临沂实验中学校考期末）已知一个圆锥的底面半径是，侧面积是，则圆锥的母线长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥侧面积公式，其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长，将数据直接代入求出即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径是，侧面积为，圆锥侧面积公式，∴，解得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积公式的有关计算，解决问题的关键是正确记忆圆锥的侧面积公式，以及各字母所代表的意义．3．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则正六边形的边心距是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】连接、，求出，可得是等边三角形，即可求出正六边形的边长和的半径，再解直角三角形即可求得边心距．【详解】解：连接、，如图所示：∵六边形为正六边形，∴，∴是等边三角形，∵正六边形的周长是12，∴，∴，∵，∴，即边心距为，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、解直角三角形等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．4．（2022春·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，，根据，计算即可．【详解】解：连接，，如图，∵是直径，，∴，∵，∴，故选C．【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．5．（2022秋·重庆大渡口·九年级重庆市第三十七中学校校考期末）如图，菱形的边长为2，，以为圆心的弧与边、相切，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出菱形与扇形的面积，再相减即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，边长为2，∴，，∴，∵∴，，∵以为圆心的弧与边、相切，设其中与边的切点为E，如图，连接，则，∴，∴，∴，∴菱形的面积为，扇形面积为∴阴影部分的面积为，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、扇形的面积、切线的性质等内容，解题关键是正确求出菱形的面积与扇形的面积，要求学生牢记扇形面积公式，即扇形面积为．6．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，，分别以点B，C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交，，于点，，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】阴影部分的面积等于的面积减去空白处的面积即可得出答案．【详解】解：等腰直角三角形中，，，，，为中点，，阴影部分的面积．故选：C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度适中．二、填空题7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，正五边形内接于，点F在劣弧上，则的度数为_____°．【答案】72【分析】先求得正五边形的内角的度数，再根据圆内接四边形的性质求解即可．【详解】解：∵正五边形内接于，∴，∵四边形是内接四边形，∴，∴，故答案为：72．【点睛】此题考查了正多边形与圆，涉及了正多边形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．8．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）半径为3cm的圆内接正方形的对角线长为______cm，面积为______．【答案】

6

18【分析】由正方形的性质得出、是直径，求出对角线的长，即可得出正方形的面积．【详解】解：如图所示，四边形是的内接正方形，，，、是直径，，正方形的面积，故答案为6，18．【点睛】该题主要考查了圆内接正方形的性质及其应用问题；由正方形的性质得出对角线为直径是解决问题的关键．9．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的表面积是__________．（结果保留）【答案】【分析】根据圆锥表面积＝侧面积＋底面积＝底面周长×母线长＋底面积计算．【详解】解：圆锥的表面积．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键记准圆锥的侧面面积和底面面积公式．10．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为2．以点为圆心，8为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则的长为______．【答案】##【分析】根据题意，得，在中，结合，计算得到，利用弧长公式计算即可．【详解】如图，根据题意，得，在中，因为，所以，所以的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，弧长公式，熟练掌握三角函数值，弧长公式是解题的关键．11．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是___________．【答案】【分析】连接，根据旋转的性质得到，推出是等边三角形，得到，推出是等边三角形，得到，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接，∵将半径为4，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，∴，∴是等边三角形，∴，∴点O′在上，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，图中阴影部分的面积为故答案为：【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2022秋·上海·六年级专题练习）如图，扇形的半径，，分别以、的中点C、D为圆心，、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_________平方厘米．【答案】【分析】如图，设与交于点，连接、，则，求解即可．【详解】解：设与交于点，连接、，如图所示，由题意可得：四边形为正方形，且，=平方厘米，故答案为：【点睛】此题考查了不规则图形的面积计算，涉及扇形面积的计算，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积．13．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，正的边长为2，为坐标原点，在轴上，在第二象限．沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得，则翻滚3次后点的对应点的坐标是________；翻滚2023次后中点经过的路径长为________．【答案】

【分析】如图作轴于，易知，，观察图象可求点的运动路径．【详解】解：如图作轴于，易知，，，观察图象可知三次一个循环，一个循环点的运动路径为，翻滚2023次后中点经过的路径长为：，故答案为，．【点睛】本题考查轨迹、规律题、弧长公式、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，循环从特殊