核心考点02相交线平行线(原卷版+解析)

核心考点02相交线平行线目录考点一：相交线考点二：对顶角、邻补角考点三：垂线考点四：垂线段最短考点五：点到直线的距离考点六：同位角、内错角、同旁内角考点七：平行线考点八：平行公理及推论考点九：平行线的判定考点十：平行线的性质考点十一：平行线的判定与性质考点十二：平行线之间的距离考点考向考点考向一、相交线1.邻补角（丁字型）：有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。2.对顶角（X型）：有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线.3.同位角（F型）：在截线的同旁,又分别在直线的相同一侧的位置。4.内错角（Z型）：在截线的两旁,又分别在直线之间。5.同旁内角（U型）：在截线的同旁,又分别在直线之间。6.两条直线的夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。7.两条直线互相斜交：两条直线的夹角是锐角。其中一条直线叫做另一条直线的斜线。8.两条直线互相垂直：两条直线的夹角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。9.垂线的性质（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。10.垂直平分线：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。11.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。二、平行线1.平行线概念：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如直线、是平行线，记作：2.两条直线平行的判定方法1文字：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.图形：如下左图；符号：方法2文字：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.图形：如上中图；符号：方法3文字：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.图形：如上右图；符号：3.平行线的性质基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（2）平行的传递性：若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：若，则a//c.平行线的性质1：两直线平行，同位角相等.图形：如下左图；符号：平行线的性质2：两直线平行，内错角相等.图形：如上中图；符号：平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。图形：如上右图；符号：4.两平行线间的距离：两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。考点精讲考点精讲一．相交线（共1小题）1．（2019春•浦东新区期中）如果4条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点．二．对顶角、邻补角（共5小题）2．（2022春•上海期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是对顶角的图形有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（2022春•闵行区校级期中）如图：直线AB、CD、EF相交于点O，且∠AOC＝33°，∠AOE＝142°，直线CD与直线EF夹角的大小为．4．（2022春•杨浦区校级期末）如图，直线AB与直线CD交于点O，OE平分∠AOC，已知∠AOD＝100°，那么∠EOB＝度．5．（2022春•闵行区校级期中）若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3＝37°，那么∠1＝．6．（2022春•杨浦区校级期中）如果直线AB与直线CD交于点O，且∠AOC＝（3x+40）°，∠BOD＝（140﹣2x）°，这两条直线所夹的锐角是度．三．垂线（共2小题）7．（2022春•静安区期中）如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF过点O，若∠1＝50°，∠2＝度．8．（2022春•闵行区校级期中）如图，直线AC与直线DE相交于点O，若∠BOC＝35°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD＝度．四．垂线段最短（共2小题）9．（2021春•徐汇区校级期末）如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是．10．（2017春•西城区校级期中）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理．五．点到直线的距离（共2小题）11．（2022春•松江区校级期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D为垂足，则下列说法中，错误的是（）A．点B到AC的距离是线段BC的长 B．点B到AD的距离是线段BD的长 C．点C到AD的距离是线段CD的长 D．点C到AB的距离是线段AC的长12．（2022春•杨浦区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，那么点A到直线CD的距离是线段的长．六．同位角、内错角、同旁内角（共5小题）13．（2022春•闵行区校级期中）下列图形中，∠1和∠2是同位角的图有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个14．（2022春•闵行区校级期中）如图所示，图中同位角共有（）A．4对 B．6对 C．8对 D．10对15．（2022春•静安区期中）两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，且∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．150° B．30° C．30°或150° D．无法确定16．（2022春•杨浦区校级期中）如图：与∠FDB成内错角的是；与∠DFB成同旁内角的是．17．（2022春•杨浦区校级期中）如图，与∠A构成同位角的是．七．平行线（共1小题）18．（2022春•上海期末）在同一平面内，两条直线有种位置关系，它们是．八．平行公理及推论（共1小题）19．（2022春•松江区校级期中）下列说法正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短九．平行线的判定（共7小题）20．（2022春•闵行区校级期中）如图所示，已知∠1＝65°，∠2＝80°，∠3＝35°，下列条件中，能得到AB∥CD的是（）A．∠4＝80° B．∠5＝65° C．∠4＝35° D．∠5＝35°21．（2022春•杨浦区校级期中）如图，由下列条件不能得到m∥n的是（）A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5 C．∠2+∠4＝180° D．∠2＝∠322．（2022春•宝山区校级月考）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠A+∠2＝180°23．（2022春•宝山区校级月考）如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么∥，判断依据是．24．（2022春•徐汇区校级期中）如果两直线被第三条直线所截的一对同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线位置关系是．25．（2022春•松江区校级期中）如图，已知∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠1＝∠2，请填写说明DE∥BF的理由的依据．解：因为DE平分∠CDA，BF平分∠CBA（已知）所以∠1＝∠CDA，∠3＝∠CBA（）因为∠CDA＝∠CBA（已知）所以∠1＝∠3（）因为∠1＝∠2（）所以∠2＝∠3（）所以DE∥BF（）26．（2022春•杨浦区校级期中）已知：如图，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF吗？为什么？一十．平行线的性质（共4小题）27．（2022春•嘉定区校级期末）已知直线a、b、c，满足a∥b，a∥c，那么直线b、c的位置关系是．28．（2022春•嘉定区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．联结直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线最短 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条29．（2022春•闵行区校级期末）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1＝57°，则∠2的度数为．30．（2022春•普陀区校级期末）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，已知∠1＝26°，则∠2＝度．一十一．平行线的判定与性质（共6小题）31．（2022春•松江区校级期中）如图，下列说理正确的是（）A．由AB∥CD，得∠1＝∠D，理由是同位角相等，两直线平行 B．由∠3＝∠4，得AB∥CD，理由是同位角相等，两直线平行 C．由AB∥CD，得∠3＝∠4，理由是两直线平行，内错角相等 D．由∠1＝∠2，得AB∥CD，理由是同位角相等，两直线平行32．（2022春•静安区期中）如图，∠1＝∠2＝105°，∠3＝115°，则∠4＝度．33．（2022春•闵行区校级期末）如图，在△ABC中，点C、E、F分别在边BD、AB、AD上，CE∥AD，∠1＝∠2，且AF＝FD，请说明CE⊥CF的理由．解：因为CE∥AD（已知），所以∠＝∠；∠＝∠（平行线的性质）．因为∠1＝∠2（已知），所以∠＝∠（等量代换）；所以＝（）；请继续完成说理：因为AF＝FD（已知），所以．34．（2022春•静安区期中）如图，已知点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，请说明∠DEC+∠C＝180°的理由．35．（2022春•徐汇区校级期中）已知：∠1与∠2互余，DO⊥OC，DO平分∠EOB，∠E＝110°．求∠2的度数．36．（2022春•松江区校级期中）（1）如图（1），当∠A、∠C、∠E满足条件时，有AB∥CD．并说明理由．（2）如图（2），当AB∥CD时，∠1，∠2，∠E的关系是．一十二．平行线之间的距离（共1小题）37．（2022春•闵行区校级期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为巩固提升巩固提升一、单选题1．（2023春·七年级单元测试）下列语句正确的个数是（）（1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）将一直角三角板与一条两边平等的纸条如图所示放置，对于下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝90°，其中正确的结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022春·七年级单元测试）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°4．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在下列条件中，能判定AD//BC的是（

）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠ABC＝∠ADC D．∠ABC+∠BCD＝180°5．（2022春·上海·七年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．有公共顶点的两个角是邻补角B．不相交的两条直线叫做平行线C．在所有联结两点的线段中，垂线段最短D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补6．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AB∥MN∥DC，AD∥BC，∠CBD＝∠CDB，则图中与∠CBD相等的角除了∠CDB外还有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．（2022春·七年级单元测试）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（

）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠58．（2023春·七年级单元测试）如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（

）A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对C．两人都对 D．两人都不对9．（2022春·上海·七年级专题练习）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”他们四人中，有（

）个人的说法是正确的．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题10．（2022春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线上，是直角，，那么的度数为______11．（2022春·上海·七年级校考期中）如图所示，已知，∶∶∶∶，则______．12．（2022春·上海·七年级校考期末）如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______．13．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，已知，则______度．14．（2022春·上海闵行·七年级上海市闵行区莘松中学校考期末）如图，直线，，为直角，则的度数为_________．15．（2022春·七年级单元测试）如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠ACB＝58°，则∠EDC＝____．16．（2022春·上海·七年级期中）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是_____________．17．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B的补角，则∠BAH的度数是_____．三、解答题18．（2023春·七年级单元测试）如图，已知于点，于点，，试说明．解：因为（已知），所以（）．同理．所以（）．即．因为（已知），所以（）．所以（）．19．（2023春·七年级单元测试）请在下列横线上注明理由．如图，已知，垂足为M，，，求证：．证明：∵，（已知）∴．（______）∴．（______）又∵，（已知）∴．（______）∴．（______）∴．（______）∵，（已知）∴．（垂直的定义）∴．（______）∴．（______）20．（2022春·七年级单元测试）已知直线AB和CD相交于点O，，OF平分，，求的度数．21．（2022春·上海·七年级期末）如图，直线DE经过点A，DEBC，∠B＝42°，∠C＝57°，求∠DAB、∠CAD的度数．22．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，请说明BF∥EG的理由．（请写出每一步的依据）23．（2022春·上海·七年级期末）老师出了如下的题：（1）首先，要求你按图1回答以下问题①若∠DEC+∠ACB＝180°，可以得到哪两条线段平行？②在①的结论下，如果∠1＝∠2，又能得到哪两条线段平行，请说明．解：（1）①

．②

．（2）接着，老师另画了一个图2①要求你在图2中按下面的语言继续画图：（画图工具和方法不限）过A点画AD⊥BC于D，过D点画DEAB交AC于E，在线段AB上任取一点F，以F为顶点，FB为一边，画∠BFG＝∠ADE，∠BFG的另一边FG与线段BC交于点G．②请你按照①中画图时给出的条件，完整证明：FG⊥BC．24．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A+∠AEF＝180°．说明CD//EF的理由．25．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵∠3＝∠4（已知）∴AE∥（）∴∠EDC＝∠5（）∵∠5＝∠A（已知）∴∠EDC＝（）∴DC∥AB（）∴∠5+∠ABC＝180°（）即∠5+∠2+∠3＝180°∵∠1＝∠2（已知）∴∠5+∠1+∠3＝180°（）即∠BCF+∠3＝180°∴BE∥CF（）．26．（2022春·上海·七年级期中）如图，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，(1)求∠BAC的度数；(2)求∠PAG的度数．27．（2023春·七年级单元测试）如图，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，试说明：∠ABH+∠CHB＝180°．28．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠2，请说明：∠A＝∠C．解：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知）∴（角平分线的定义）∵∠ABC＝∠ADC（已知）∴∠ADC（）∴∠3＝∠1又∵∠1＝∠2（已知）∴（等量代换）∴（）∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠ABC＝∠ADC（已知）∴∠A＝∠C（）29．（2022春·七年级单元测试）已知，如图，已知ABCD，BE⊥DE，那么∠B+∠D是多少度？为什么？解：过点E作EFAB，得∠B+∠BEF＝180°（）．因为ABCD（已知），EFAB（已作），所以EFCD（）．得（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（）．即∠B+∠BED+∠D＝360°．因为BE⊥DE，所以∠BED＝90°（）．所以∠B+∠D＝°（等式性质）．30．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AB∥CD∥EF，且∠A＝50°，∠F＝120°，DG平分∠ADF，求∠CDG的度数．解：∵AB∥CD∴∠A＝∠ADC；又∵∠A＝50°∴∠ADC＝50°；∵CD∥EF∴∠F+∠＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；又∵∠F＝120°∴∠CDF＝；∴∠ADF＝；∵DG平分∠ADF∴∠ADG＝∠＝°；∴∠CDG＝∠ADG﹣∠＝°．核心考点02相交线平行线目录考点一：相交线考点二：对顶角、邻补角考点三：垂线考点四：垂线段最短考点五：点到直线的距离考点六：同位角、内错角、同旁内角考点七：平行线考点八：平行公理及推论考点九：平行线的判定考点十：平行线的性质考点十一：平行线的判定与性质考点十二：平行线之间的距离考点考向考点考向一、相交线1.邻补角（丁字型）：有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。2.对顶角（X型）：有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线.3.同位角（F型）：在截线的同旁,又分别在直线的相同一侧的位置。4.内错角（Z型）：在截线的两旁,又分别在直线之间。5.同旁内角（U型）：在截线的同旁,又分别在直线之间。6.两条直线的夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。7.两条直线互相斜交：两条直线的夹角是锐角。其中一条直线叫做另一条直线的斜线。8.两条直线互相垂直：两条直线的夹角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。9.垂线的性质（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。10.垂直平分线：过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。11.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。二、平行线1.平行线概念：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如直线、是平行线，记作：2.两条直线平行的判定方法1文字：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.图形：如下左图；符号：方法2文字：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.图形：如上中图；符号：方法3文字：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.图形：如上右图；符号：3.平行线的性质基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（2）平行的传递性：若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：若，则a//c.平行线的性质1：两直线平行，同位角相等.图形：如下左图；符号：平行线的性质2：两直线平行，内错角相等.图形：如上中图；符号：平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。图形：如上右图；符号：4.两平行线间的距离：两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。考点精讲考点精讲一．相交线（共1小题）1．（2019春•浦东新区期中）如果4条直线两两相交，最多有6个交点，最少有1个交点．【分析】3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点．【解答】解：n条直线相交，最多有n（n﹣1）个交点．当n＝4时，，即如果4条直线两两相交，最多有6个交点，最少有1个交点．故答案为：6、1．【点评】此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．二．对顶角、邻补角（共5小题）2．（2022春•上海期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是对顶角的图形有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可判断．【解答】解：对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角．满足条件的只有第三个图形．故选：B．【点评】本题主要考查对顶角的定义，理解定义是关键．3．（2022春•闵行区校级期中）如图：直线AB、CD、EF相交于点O，且∠AOC＝33°，∠AOE＝142°，直线CD与直线EF夹角的大小为109°或71°．【分析】利用角的和与差，计算∠COE＝∠AOE﹣∠AOC即可．还要注意两种情况．【解答】解：∵∠AOC＝33°，∠AOE＝142°，∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝142°﹣33°＝109°，∵∠COE+∠DOE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣109°＝71°∴夹角∠COE＝109°或∠DOE＝71°．故答案为：109°或71°．【点评】本题考查的是角的和与差，解题的关键是计算准确．4．（2022春•杨浦区校级期末）如图，直线AB与直线CD交于点O，OE平分∠AOC，已知∠AOD＝100°，那么∠EOB＝140度．【分析】根据角平分线的定义和对顶角的性质解答即可．【解答】解：∵∠AOD＝100°，OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC＝40°，∵∠BOC＝∠AOD＝100°，∴∠EOB＝∠BOC+∠COE＝100°+40°＝140°，故答案为：140．【点评】本题主要考查了角平分线的定义和对顶角的性质，熟练掌握相关的定义和性质是解答本题的关键．5．（2022春•闵行区校级期中）若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3＝37°，那么∠1＝53°．【分析】由∠2与∠3互余，可求得∠2的度数，再由对顶角相等即得∠1的度数．【解答】解：∵∠3与∠2互余，且∠3＝37°，∴∠2＝90°﹣∠3＝53°，∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2＝53°．故答案为：53°．【点评】本题主要考查对顶角，余角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°．6．（2022春•杨浦区校级期中）如果直线AB与直线CD交于点O，且∠AOC＝（3x+40）°，∠BOD＝（140﹣2x）°，这两条直线所夹的锐角是80度．【分析】利用对顶角的性质求得．【解答】解：∵∠AOC和∠BOD是一对对顶角，∴∠BOD＝∠AOC°，∴3x+40＝140﹣2x，5x＝100°，x＝20°，则3x+40＝60+40＝100，180°﹣100°＝80°，故答案为：80．【点评】本题主要考查对顶角的性质：对顶角相等，比较简单，属于基础题目．三．垂线（共2小题）7．（2022春•静安区期中）如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF过点O，若∠1＝50°，∠2＝40度．【分析】根据垂直定义可得∠COB＝90°，从而求出∠COF的度数，然后根据对顶角相等即可解答．【解答】解：∵AB⊥CD，∴∠COB＝90°，∵∠1＝50°，∴∠COF＝∠COB﹣∠1＝40°，∴∠2＝∠COF＝40°，故答案为：40．【点评】本题考查了垂线，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．8．（2022春•闵行区校级期中）如图，直线AC与直线DE相交于点O，若∠BOC＝35°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD＝55度．【分析】由垂直的定义可求得∠COE，再利用对顶角可求得答案．【解答】解：∵BO⊥DE，∴∠BOE＝90°，∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°，∴∠AOD＝∠COE＝55°，故答案为：55．【点评】本题主要考查垂的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得∠COE是解题的关键．四．垂线段最短（共2小题）9．（2021春•徐汇区校级期末）如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是垂线段最短．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．【解答】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．10．（2017春•西城区校级期中）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理．【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段的性质，可得答案．【解答】解：过点A作CD的垂线段AB，则AB的长度最短，依据为：垂线段最短，【点评】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．五．点到直线的距离（共2小题）11．（2022春•松江区校级期中）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D为垂足，则下列说法中，错误的是（）A．点B到AC的距离是线段BC的长 B．点B到AD的距离是线段BD的长 C．点C到AD的距离是线段CD的长 D．点C到AB的距离是线段AC的长【分析】利用点到直线的距离定义判断即可．【解答】解：A、点B到AC的距离是线段AB的长，故A选项错误，符合题意；B、点B到AD的距离是线段BD的长，故B选项正确，不符合题意；C、点C到AD的距离是线段CD的长，故C选项正确，不符合题意；D、点C到AB的距离是线段AC的长，故D选项正确，不符合题意，故选：A．【点评】本题考查的是点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长．12．（2022春•杨浦区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，那么点A到直线CD的距离是线段AD的长．【分析】根据点到直线的距离，即可解答．【解答】解：∵CD⊥AB，垂足为点D，∴点A到直线CD的距离是线段AD的长，故答案为：AD．【点评】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．六．同位角、内错角、同旁内角（共5小题）13．（2022春•闵行区校级期中）下列图形中，∠1和∠2是同位角的图有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．【解答】解：根据同位角定义可得第二、三个是同位角，第一、四个不是同位角，即同位角有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了同位角，解题的关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．14．（2022春•闵行区校级期中）如图所示，图中同位角共有（）A．4对 B．6对 C．8对 D．10对【分析】根据两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角进行判断即可．【解答】解：如图：由同位角的定义可知：∠B和∠FAH，∠B和∠ECG，∠BCG和∠MDG，∠ECG和∠HDG，∠BAM和∠CDM，∠BAH和∠CDH，∠MAF和∠MDG，∠FAH和∠GDH都是同位角，共有8对．故选：C．【点评】本题主要考查了同位角的定义．解答此题时要结合图形和同位角的定义进行解答．15．（2022春•静安区期中）两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，且∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．150° B．30° C．30°或150° D．无法确定【分析】两直线被第三条直线所截，只有当两条被截直线平行时，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．不平行时以上结论不成立．【解答】解：因为两条直线的位置关系不明确，所以无法判断∠1和∠2大小关系，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，注意性质定理的条件是两直线平行．解题的关键是正确理解平行线的性质．16．（2022春•杨浦区校级期中）如图：与∠FDB成内错角的是∠EFD、∠AFD和∠CBD；与∠DFB成同旁内角的是∠DBF、∠BDF、∠CBF和∠CDF．【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．【解答】解：如图，与∠FDB成内错角的是∠EFD、∠AFD和∠CBD，与∠DFB成同旁内角的是：∠DBF、∠BDF、∠CBF和∠CDF．故答案分别是：∠EFD、∠AFD和∠CBD，∠DBF、∠BDF、∠CBF和∠CDF．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．17．（2022春•杨浦区校级期中）如图，与∠A构成同位角的是∠ECD，∠ECF．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．【解答】解：与∠A构成同位角的是∠ECD，∠ECF，故答案为：∠ECD，∠ECF．【点评】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．七．平行线（共1小题）18．（2022春•上海期末）在同一平面内，两条直线有两种位置关系，它们是相交和平行．【分析】在同一平面内，两条直线有两种位置关系，它们是相交和平行，其中垂直是相交的一种特殊情况．【解答】解：在同一平面内，两条不重合直线有两种位置关系，它们是相交和平行，故答案为：两，相交和平行．【点评】本题考查了在同一平面内两条直线之间的位置关系，较简单，要注意垂直只是属于相交的一种特殊情况．八．平行公理及推论（共1小题）19．（2022春•松江区校级期中）下列说法正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【分析】根据对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质分别进行判断，即可求出答案．【解答】A、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，还要看这两个角的位置关系，所以错误；B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；C、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角不一定相等，应强调是两直线平行，是错误的；D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；故选：D．【点评】此题考查了平行公理及推论，用到的知识点是对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键，是一道基础题．九．平行线的判定（共7小题）20．（2022春•闵行区校级期中）如图所示，已知∠1＝65°，∠2＝80°，∠3＝35°，下列条件中，能得到AB∥CD的是（）A．∠4＝80° B．∠5＝65° C．∠4＝35° D．∠5＝35°【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠3＝35°，∠5＝35°，∴∠3＝∠5，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选：D．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．21．（2022春•杨浦区校级期中）如图，由下列条件不能得到m∥n的是（）A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5 C．∠2+∠4＝180° D．∠2＝∠3【分析】利用平行线的判定定理进行分析即可．【解答】解：A、当∠1＝∠3时，由内错角相等，两直线平行得m∥n，故A不符合题意；B、当∠4＝∠5时，由同位角相等，两直线平行得m∥n，故B不符合题意；C、当∠2+∠4＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得m∥n，故C不符合题意；D、∠2与∠3不属于同位角，内错角，故不能判定m∥n，故D符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并运用．22．（2022春•宝山区校级月考）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠A+∠2＝180°【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．【解答】解：当∠1＝∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，而不是AB∥DF，故A不可以；当∠A＝∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF；∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得AB∥DF；故B、D都可以；当∠1＝∠4时，可知是AB、DF被DE所截得到的内错角，可得AB∥DF，故C可以；故选：A．【点评】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．23．（2022春•宝山区校级月考）如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么AB∥CD，判断依据是内错角相等，两直线平行．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠1+∠3+∠ABD＝180°，∠1＝56°，∠3＝80°，∴∠ABD＝180°﹣56°﹣80°＝44°，∵∠2＝44°，∴∠2＝∠ABD，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．24．（2022春•徐汇区校级期中）如果两直线被第三条直线所截的一对同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线位置关系是平行．【分析】首先根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2＝90°，再根据角平分线的性质得到∠BOM+∠DMO＝180°，再根据同旁内角互补两直线平行证出AB∥CD．【解答】如图，已知OP，MN分别平分∠BOM，∠OMD，OP，MN交于G点，MN⊥OP，求证：AB∥CD．证明：∵MN⊥OP，∴∠3＝90°，∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵MN、OP分别是平分∠BOM，∠OMD，∴2∠1+2∠2＝180°，即∠BOM+∠DMO＝180°，∴AB∥CD，故答案为：平行．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同旁内角互补两直线平行．25．（2022春•松江区校级期中）如图，已知∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠1＝∠2，请填写说明DE∥BF的理由的依据．解：因为DE平分∠CDA，BF平分∠CBA（已知）所以∠1＝∠CDA，∠3＝∠CBA（角平分线的定义）因为∠CDA＝∠CBA（已知）所以∠1＝∠3（等量关系）因为∠1＝∠2（已知）所以∠2＝∠3（等量关系）所以DE∥BF（同位角相等，两直线平行）【分析】根据角平分线定义和已知求出∠CDE＝∠ABF，推出∠2＝∠ABF，根据平行线的判定推出即可．【解答】解：因为DE平分∠CDA，BF平分∠CBA（已知），所以∠1＝∠CDA，∠3＝∠CBA（角平分线的定义），因为∠CDA＝∠CBA（已知），所以∠1＝∠3（等量关系），因为∠1＝∠2（已知），所以∠2＝∠3（等量关系），所以DE∥BF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义，等量关系，已知，等量关系，同位角相等，两直线平行．【点评】本题考查了平行线的判定和角平分线的应用，注意：同位角相等，两直线平行．26．（2022春•杨浦区校级期中）已知：如图，∠A＝∠ABC＝90°，∠1+∠BFE＝180°，那么BD∥EF吗？为什么？【分析】根据平行线的判断可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠1＝∠DBF，由已知条件和等量关系可得∠DBF+∠BFE＝180°，根据平行线的判定可证明EF∥BD．【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠DBF，∵∠1+∠BFE＝180°，∴∠DBF+∠BFE＝180°，∴BD∥EF．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．一十．平行线的性质（共4小题）27．（2022春•嘉定区校级期末）已知直线a、b、c，满足a∥b，a∥c，那么直线b、c的位置关系是b∥c．【分析】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理的推论解答即可．【解答】解：∵a∥b，a∥c，∴b∥c．故答案为：b∥c．【点评】本题考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．28．（2022春•嘉定区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．联结直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线最短 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条【分析】根据平行线的性质、平行公理及推论、垂线的性质判断即可．【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故A错误，不符合题意；联结直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B错误，不符合题意；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误，不符合题意；在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条，故D正确，符合题意；故选：D．【点评】此题考查了平行线的性质、平行公理及推论，熟记平行线的性质、平行公理及推论是解题的关键．29．（2022春•闵行区校级期末）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1＝57°，则∠2的度数为33°．【分析】根据平行线的性质和垂直的定义可得∠3和∠ADB的度数，从而可得∠2的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝57°，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣57°＝33°．故答案为：33°．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．30．（2022春•普陀区校级期末）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，已知∠1＝26°，则∠2＝77度．【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠5＝26°，∠2＝∠3，再结合折叠的性质可得∠3＝∠4＝（180°﹣∠5）÷2，即可得到∠2的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠1＝∠5＝26°，∠2＝∠3，由折叠的性质可得：∠3＝∠4＝（180°﹣∠5）÷2＝（180°﹣26°）÷2＝77°．∴∠2＝77°．故答案为：77．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题关键．一十一．平行线的判定与性质（共6小题）31．（2022春•松江区校级期中）如图，下列说理正确的是（）A．由AB∥CD，得∠1＝∠D，理由是同位角相等，两直线平行 B．由∠3＝∠4，得AB∥CD，理由是同位角相等，两直线平行 C．由AB∥CD，得∠3＝∠4，理由是两直线平行，内错角相等 D．由∠1＝∠2，得AB∥CD，理由是同位角相等，两直线平行【分析】根据平行线的性质与判定判断即可．【解答】解：由AB∥CD，得∠1＝∠D，理由是两直线平行，同位角相等；故A选项错误；由∠3＝∠4，得AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行，故B选项错误；由AB∥CD，得∠3＝∠4，理由是两直线平行，内错角相等，故C选项正确；由∠1＝∠2，得不到AB∥CD，故D选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，解题关键是熟练掌握平行线的性质与判定．32．（2022春•静安区期中）如图，∠1＝∠2＝105°，∠3＝115°，则∠4＝115度．【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【解答】解：如图，∵∠1＝∠2，∴m∥n，∴∠3＝∠5＝115°，∵∠5＝∠4，∴∠4＝115°，故答案为：115．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．33．（2022春•闵行区校级期末）如图，在△ABC中，点C、E、F分别在边BD、AB、AD上，CE∥AD，∠1＝∠2，且AF＝FD，请说明CE⊥CF的理由．解：因为CE∥AD（已知），所以∠1＝∠D；∠2＝∠CAD（平行线的性质）．因为∠1＝∠2（已知），所以∠CAD＝∠D（等量代换）；所以CA＝CD（等角对等边）；请继续完成说理：因为AF＝FD（已知），所以CF⊥AD．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：因为CE∥AD（已知），所以∠1＝∠D；∠2＝∠CAD（平行线的性质），因为∠1＝∠2（已知），所以∠CAD＝∠D（等量代换），所以CA＝CD（等角对等边），因为AF＝FD（已知），所以CF⊥AD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合），因为CE∥AD（已知），所以CE⊥CF（如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条）故答案为：1；D；2；CAD；CAD；D；CA；CD；CE⊥AD．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．34．（2022春•静安区期中）如图，已知点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，请说明∠DEC+∠C＝180°的理由．【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【解答】解：因为∠1+∠2＝180°（已知），∠2+∠DGE＝180°（邻补角的意义），所以∠1＝∠DGE（同角的补角相等），所以AB∥EG（内错角相等，两直线平行），所以∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），因为∠3＝∠B（已知），所以∠B＝∠ADE（等量代换），所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），所以∠DEC+∠C＝1800（两直线平行，同旁内角互补）．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．35．（2022春•徐汇区校级期中）已知：∠1与∠2互余，DO⊥OC，DO平分∠EOB，∠E＝110°．求∠2的度数．【分析】根据垂直的定义和余角的定义得到∠1＝∠BOD，可得DE∥OB，根据平行线的性质得到∠BOE＝180°﹣110°＝70°，根据角平分线的定义得由余角的性质即可得到结论．【解答】解：∵DO⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠2+∠BOD＝90°，∵∠1与∠2互余，∴∠1＝∠BOD，∴DE∥OB，∴∠BOE+∠E＝180°，∵∠E＝110°，∴∠BOE＝180°﹣110°＝70°，∵DO平分∠EOB，∴∠BOD＝∠1＝35°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝55°．【点评】本题考查了垂线的定义，余角的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．36．（2022春•松江区校级期中）（1）如图（1），当∠A、∠C、∠E满足条件∠AEC＝∠A+∠C时，有AB∥CD．并说明理由．（2）如图（2），当AB∥CD时，∠1，∠2，∠E的关系是∠1+∠2﹣∠AEC＝180°．【分析】（1）如图，过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可；（2）如图，过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可．【解答】解：（1）当∠A、∠C、∠AEC满足条件∠AEC＝∠A+∠C时，有AB∥CD．理由如下：过点E作EF∥AB，如图：∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵∠AEC＝∠A+∠C，∠AEC＝∠1+∠2，∴∠2＝∠C，∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），∵EF∥AB，∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；故答案为：∠AEC＝∠A+∠C；（2）当AB∥CD时，∠1，∠2，∠AEC的关系是∠1+∠2﹣∠AEC＝180°，理由如下：过点E作EF∥AB，如图：∴∠3+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠FEC＝∠2（两直线平行，内错角相等），即∠AEC+∠3＝∠2，∴∠3＝∠2﹣∠AEC，∴∠2﹣∠AEC+∠1＝180°（等量代换），即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°．故答案为：∠1+∠2﹣∠AEC＝180°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质．能够正确的作辅助线并熟记平行线的判定和性质是解题的关键．一十二．平行线之间的距离（共1小题）37．（2022春•闵行区校级期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为3cm或5cm【分析】画出符合的两种情况，再求出两平行线间的距离即可．【解答】解：分为两种情况：①如图1，∵a∥b∥c，a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离是4cm﹣1cm＝3cm；②如图2，∵a∥b∥c，a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离是4cm+1cm＝5cm；故答案为：3cm或5cm．【点评】本题考查了平行线之间的距离的定义，能掌握平行线之间的距离的定义是解此题的关键．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2023春·七年级单元测试）下列语句正确的个数是（）（1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由题意直接根据平行公理及平行线的判定定理进行判断即可．【详解】解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）正确；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不正确；平面内，平行具有传递性，故（3）正确；同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）正确，∴正确的有（1）、（3）、（4），故选：C．【点睛】本题考查平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握理解平行线公理及判定定理是解题的关键．2．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）将一直角三角板与一条两边平等的纸条如图所示放置，对于下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝90°，其中正确的结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据平行线的性质，平角等于180°对各小题进行验证即可得解．【详解】解：∵纸条的两边互相平行，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4＋∠5＝180°，故①②正确，④错误；∵三角板是直角三角板，∴∠2＋∠4＝180°﹣90°＝90°，故③正确；综上所述，正确的个数是3．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．3．（2022春·七年级单元测试）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】利用两个三角形的内角和都为180°，结合相等的角即可求解．【详解】∵AB⊥BD，AC⊥CD，∴∠B＝∠C＝90°，又∵∠BEA＝∠CED，且∠BEA+∠B+∠A＝∠CED+∠C+∠D＝180°，∴∠D＝∠A＝50°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和等于180°，熟记三角形的内角和公式是解题的关键．4．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在下列条件中，能判定AD//BC的是（

）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠ABC＝∠ADC D．∠ABC+∠BCD＝180°【答案】A【详解】根据平行线的判定方法逐项分析即可解答．【解答】解：A.∵∠1＝∠2，∴AD//BC，符合题意；B.∵∠3＝∠4，∴AB//CD，故不符合题意；C.由∠ABC＝∠ADC不能判定任何直线平行，故不符合题意；

D.∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB//CD，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了行线的判定方法，①两同位角相等，两直线平行；

②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．5．（2022春·上海·七年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．有公共顶点的两个角是邻补角B．不相交的两条直线叫做平行线C．在所有联结两点的线段中，垂线段最短D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补【答案】D【分析】根据邻补角的定义，平行线的定义，点到直线，垂线段最短，平行线的判定和性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A．有公共顶点的两个角不一定是邻补角，故本选项错误，不符合题意；B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误，不符合题意；C．从直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故本选项错误，不符合题意；D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，故同旁内角互补，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了邻补角、平行线、垂线段的性质以及平行线的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．6．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AB∥MN∥DC，AD∥BC，∠CBD＝∠CDB，则图中与∠CBD相等的角除了∠CDB外还有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据平行线的性质及角的等量代换进行判断即可得出结果．【详解】解：如图，设MN交BD于点O．∵AD∥BC，CD∥AB，∴∠CBD＝∠ADB，∠ABD＝∠CDB，∵∠CBD＝∠CDB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB，∵CD∥MN，∴∠CDB＝∠MOD，∴∠MOD＝∠BON＝∠CBD，∴与∠CBD相等的角有4个（除了∠CDB外）．故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的基本性质，属于中考常考题型．7．（2022春·七年级单元测试）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（

）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠5【答案】A【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断．【详解】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，本选项说法正确；B、∵AD与AB不平行，∴∠2≠∠3，本选项说法错误；C、∵AD与CB不一定平行，∴∠3≠∠4，本选项说法错误；D、∵CD与CB不平行，∴∠1≠∠5，本选项说法错误；故选：A．【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键．8．（2023春·七年级单元测试）如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（

）A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对C．两人都对 D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．【详解】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．9．（2022春·上海·七年级专题练习）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”他们四人中，有（

）个人的说法是正确的．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由EF⊥AB，知CD∥EF，然后根据平行线的性质和判定即可得出答案．【详解】解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD//EF，（1）若∠CDG＝∠BFE，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BCD＝∠CDG，∴DG//BC，∴∠AGD＝∠ACB．（2）若∠AGD＝∠ACB，∴DG//BC，∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE，∴∠CDG＝∠BFE．（3）由题意知，EF//DC，∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB，如下图，①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE，即∠AGD一定大于∠BFE；②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时，如图，设DG∥BC，当点G′在点G的上方时，∵∠AG′D＞AGD，由①知，∠AG′D一定大于∠BFE；当点G″在点G的下方时，见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE，综上，∠AGD不一定大于∠BFE；（4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB；综上知：正确的说法有两个．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定．二、填空题10．（2022春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线上，是直角，，那么的度数为______【答案】##54度【分析】首先根据条件求出的度数，再结合即可求出．【详解】解：是直角故答案为【点睛】本题考查了角的计算，找到角度之间的关系是解题关键．11．（2022春·上海·七年级校考期中）如图所示，已知，∶∶∶∶，则______．【答案】##120度【分析】由条件可得，可表示出，再结合，∶∶∶∶可得求解的度数，进而可求得的度数．【详解】解：，，，由，：：：：，可设，，，，解得，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等两直线平行，②内错角相等两直线平行，③同旁内角互补两直线平行，④，．12．（2022春·上海·七年级校考期末）如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______．【答案】65【分析】根据题意可得，然后利用平行线的性质可得，进行计算即可解答．【详解】解：比大，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13．（2022春·上海普陀·七年级校考期末）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，已知，则______度．【答案】77【分析】利用平行线的性质求解∠5，利用对折与平角的性质可得答案．【详解】如图，，∴∠1=∠5=26°，，由折叠的性质可得：∠3=∠4=（180°-∠5）÷2=77°，∴∠2=77°．故答案为：．【点睛】本题考查的是平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．14．（2022春·上海闵行·七年级上海市闵行区莘松中学校考期末）如图，直线，，为直角，则的度数为_________．【答案】【分析】作EF，可知，，根据补角的性质即可求出．【详解】解：作EF，如图所示，∵，∴EF，∴，，∵为直角，即：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质求角度，此类题型做出中间辅助线是解题的关键．15．（2022春·七年级单元测试）如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠ACB＝58°，则∠EDC＝____．【答案】29°##29度【分析】先利用角平分线的定义求得∠BCD，然后利用平行线的性质即可求解．【详解】∵CD平分∠ACB，∠ACB＝58°，∴∠BCD＝∠ACB＝29°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝29°．故答案为：29°．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．16．（2022春·上海·七年级期中）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是_____________．【答案】∠1+∠2＝90°或互余【分析】根据平行线的性质可得∠2＝∠CDE，根据垂直的定义可得∠1+∠FDE＝90°，即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠CDE．∵EF⊥BD，∴∠FED＝90°．∴∠1+∠FDE＝90°．∴∠1+∠2＝90°．故答案为：∠1+∠2＝90°或互余．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．17．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B的补角，则∠BAH的度数是_____．【答案】60°##60度【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BMAD，过点F作FNAD，根据平行线的性质，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．【详解】解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，过点B作BMAD，过点F作FNAD，如图所示：∵ADCE，∴ADFNBMCE，∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，∵∠F的余角等于2∠B的补角，∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），解得：x＝30，∴∠BAH＝60°．故答案为：60°【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．三、解答题18．（2023春·七年级单元测试）如图，已知于点，于点，，试说明．解：因为（已知），所以（）．同理．所以（）．即．因为（已知），所以（）．所以（）．【答案】垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行【分析】根据垂直定义得出，求出，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：因为（已知），所以（垂直的定义），同理．所以（等量代换），即．因为（已知），所以（等式的性质，所以（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行【点睛】本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．19．（2023春·七年级单元测试）请在下列横线上注明理由．如图，已知，垂足为M，，，求证：．证明：∵，（已知）∴．（______）∴．（______）又∵，（已知）∴．（______）∴．（______）∴．（______）∵，（已知）∴．（垂直的定义）∴．（______）∴．（______）【答案】见解析【分析】根据平行线的判定和性质定理解答即可．【详解】证明：∵，（已知）∴．（同旁内角互补，两直线平行）∴．（两直线平行，内错角相等）又∵，（已知）∴．（等量代换）∴．（同位角相等，两直线平行）∴．（两直线平行，同位角相等）∵，（已知）∴．（垂直的定义）∴．（等量代换）∴．（垂直定义）【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理并进行推理论证是解题的关键．20．（2022春·七年级单元测试）已知直线AB和CD相交于点O，，OF平分，，求的度数．【答案】22°【分析】直接利用角平分线的定义得出∠AOE的度数，进而得出∠BOE的度数，即可得出答案．【详解】解：∵，，∴，又∵平分，∴，，∵，∴，∵，，∴，．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确利用角平分线的定义分析是解题关键．21．（2022春·上海·七年级期末）如图，直线DE经过点A，DEBC，∠B＝42°，∠C＝57°，求∠DAB、∠CAD的度数．【答案】∠DAB＝42°，∠CAD＝123°【分析】由平行线的性质可得∠DAB＝∠B，∠C+∠CAD＝180°可求得答案．【详解】∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝42°，∠CAD+∠C＝180°，∴∠CAD＝180°﹣∠C＝180°﹣57°＝123°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．22．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，请说明BF∥EG的理由．（请写出每一步的依据）【答案】理由见解析【分析】根据平行线的判定和性质进行证明即可．【详解】解：∵∠ABE+∠CEB＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠ABE＝∠BED（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∴∠ABE﹣∠1＝∠BED﹣∠2（等式的基本性质），∴∠FBE＝∠BEG（等量代换），∴BF∥EG（内错角相等，两直线平行）．【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题关键．23．（2022春·上海·七年级期末）老师出了如下的题：（1）首先，要求你按图1回答以下问题①若∠DEC+∠ACB＝180°，可以得到哪两条线段平行？②在①的结论下，如果∠1＝∠2，又能得到哪两条线段平行，请说明．解：（1）①

．②

．（2）接着，老师另画了一个图2①要求你在图2中按下面的语言继续画图：（画图工具和方法不限）过A点画AD⊥BC于D，过D点画DEAB交AC于E，在线段AB上任取一点F，以F为顶点，FB为一边，画∠BFG＝∠ADE，∠BFG的另一边FG与线段BC交于点G．②请你按照①中画图时给出的条件，完整证明：FG⊥BC．【答案】（1）①DEBC，②DCFG；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）①∠DEC+∠ACB＝180°可以证明DE∥BC，（同旁内角互补，两直线平行）；②由DE∥BC可得∠1＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∠1＝∠2，那么∠2＝∠DCB