第3章《整式及其加减》（原卷版）

20222023学年北师大版数学七年级上册章节考点精讲精练第3章《整式及其加减》知识互联网知识互联网知识导航知识导航知识点01:代数式诸如：16n，2a+3b，34，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．细节剖析：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．知识点02:整式的相关概念1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．细节剖析：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．细节剖析：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3.多项式的降幂与升幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．细节剖析：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；

（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．知识点03:整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．细节剖析：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．细节剖析：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“”，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．知识点04:探索与表达规律寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.考点提优练考点提优练考点01：代数式求值1．（2022•朝阳区校级模拟）下列说法正确的是（）A．2m表示m和m相乘 B．2m的值一定比m的值大 C．2m的值一定比2大 D．2m的值随m的增大而增大2．（2021秋•肥西县月考）已知，当x＝1时，代数式ax2﹣bx+4的值是6；当x＝﹣1时，代数式ax2﹣bx+4的值是3，代数式a﹣2b的值是（）A．﹣2 B． C．2 D．3．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是（）A．4 B．8 C．16 D．324．（2022春•市南区期末）如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形A、B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造如图3的新正方形，（图2，图3中正方形A、B纸片均无重叠部分）则图3中阴影部分的面积．5．（2022•余姚市一模）已知x2﹣2x＝3，则3x2﹣6x﹣4的值为．6．（2021秋•镇平县校级期末）下面是一个简单的数值运算程序，当首先输入a＝﹣2时，计算出正数为止，那么输出的结果是．考点02：整式7．（2021秋•任城区校级期末）下列式子：x+3，+5，，0，，﹣5x，x+0，c＝ab中，整式的个数是（）A．6 B．5 C．.4 D．.38．（2021•锦江区校级开学）下列代数式：﹣，，﹣π，﹣5x2y3，，，﹣x，其中整式有个．9．（2015秋•昌江县校级月考）整式：和统称为整式．10．（2021秋•新晃县期中）下列代数式：①﹣mn，②m，③，④，⑤2m+1，⑥，⑦，⑧x2+2x+中，整式共有个．11．（2019秋•三台县期末）把几个数或整式用大括号括起来，中间用逗号分开，如{﹣3，6，12}，{x，xy2，﹣2x+1}，我们称之为集合，其中大括号内的数或整式称为集合的元素．定义如果一个集合满足：只要其中有一个元素x使得﹣2x+1也是这个集合的元素，这样的集合称为关联集合，元素﹣2x+1称为条件元素．例如：集合{﹣1，1，0}中元素1使得﹣2×1+1＝﹣1，﹣1也恰好是这个集合的元素，所以集合{﹣1，1，0}是关联集合，元素﹣1称为条件元素．又如集合满足﹣2×是关联集合，元素称为条件元素．（1）试说明：集合是关联集合．（2）若集合{xy﹣y2，A}是关联集合，其中A是条件元素，试求A．12．（2021春•海陵区校级月考）已知分式，请在下列分式中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式．①；②．（1）我选择（填序号）；（2）列式并计算．13．（2021秋•句容市期末）如果单项式xa+by3与5x2yb的和仍是单项式，则a﹣b的值为．考点03：整式的加减14．（2021秋•台江区校级期末）已知代数式M＝2x2+7x﹣3，N＝x2+7x﹣4，则无论x取何值，它们的大小关系是（）A．M＝N B．M＞N C．M＜N D．M，N的大小关系与x的取值有关15．（2022春•南岗区校级期中）若A是一个四次多项式，B是一个三次多项式，则A﹣B是（）A．七次多项式 B．七次整式 C．四次多项式 D．四次整式16．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（）A．5 B．6 C．7 D．817．（2022春•高邮市期末）现有两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH和一个边长为a的大正方形，如图1，小明将两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH有部分重叠的放在边长为a的大正方形内；如图2，小彤将一个边长为b的小正方形放在边长为a的大正方形外．若图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，则图2中阴影部分的面积为．18．（2022春•南岸区期末）（1）如图，整个图形是边长为a+b的正方形，其中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，请根据图形，猜想（a+b）2与（a﹣b）2存在的等量关系，并证明你的猜想；（2）根据（1）中得出的结论，解决下列问题：甲、乙两位司机在同一加油站两次加油，两次油价有变化，两位司机采用不同的加油方式．其中，甲每次都加40l油，乙每次加油费都为300元．设两次加油时，油价分别为m元/l，n元/l（m＞0，n＞0，且m≠n）．①求甲、乙两次所购的油的平均单价各是多少？②通过计算说明，甲、乙哪一个两次加油的平均油价比较低？19．（2022•路北区二模）在化简3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）◆2mn题目中：◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．（1）若◆表示“﹣”，请化简3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）﹣2mn；（2）当m＝﹣2，n＝1时，3（m2n+mn）﹣4（m2n﹣mn）◆2mn的值为12，请推算出◆所表示的符号．20．（2022•沙坪坝区校级一模）一个四位数m＝1000a+100b+10c+d（其中1≤a，b，c，d≤9，且均为整数），若a+b＝k（c﹣d），且k为整数，称m为“k型数”．例如，4675：4+6＝5×（7﹣5），则4675为“5型数”；3526：3+5＝﹣2×（2﹣6），则3526为“﹣2型数”．（1）判断1731与3213是否为“k型数”，若是，求出k；（2）若四位数m是“3型数”，m﹣3是“﹣3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数m′，m′也是“3型数”，求满足条件的所有四位数m．21．（2022春•南岗区校级期中）一位同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算“A+B”．他误将“A+B”看成“A﹣B”，求得的结果为9x2﹣2x+7．已知B＝x2+3x﹣2，求正确答案．22．（2022•丰顺县校级开学）有一道数学题：“求代数式（x2+2y2）+3（x2+y2）﹣4x2的值，其中，y＝2．”粗心的小李在做此题时，把“”错抄成了“x＝3”，但他的计算结果却是正确的，原因为．23．（2022春•龙凤区期末）先化简，再求值：（x2﹣y2﹣2xy）﹣（﹣3x2+4xy）+（x2+5xy），其中x＝﹣1，y＝2．考点04：规律型：数字的变化类24．（2022春•两江新区期末）对于任意一个正整数x1可以按规则生成无穷数串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n为正整数），规则为：xn+1＝．下列说法：①若x1＝4，则生成的这数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；②若x1＝6，生成的前2022个数之和为55；③若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32；④若x4＝7，则x1的值只能是9．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．425．（2022秋•邗江区校级月考）我们称M为“梅岭数”．记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）…．M（n）＝（其中n为正整数）．（1）计算：M（3）+M（4）＝．（2）求M（99）+M（100）的值．（3）探究2×M（2021）与M（2022）的关系，并说明理由．26．（2022•来安县二模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按上述规律，回答以下问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．27．（2022春•肥东县校级期中）有一系列等式：1×2×3×4+1＝（12+3×1+1）2；2×3×4×5+1＝（22+3×2+1）2；3×4×5×6+1＝（32+3×3+1）2；4×5×6×7+1＝（42+3×4+1）2；……（1）根据你的观察，归纳，发现规律，得到：9×10×11×12+1＝；（2）试猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝；（3）试说明（2）中猜想的正确性．考点05：规律型：图形的变化类28．（2022春•九龙坡区校级期末）如图是同样大小一些瓢虫按照一定规律爬行，第1个图有3只瓢虫，第2个图有8只瓢虫，第3个图形有15只瓢虫，……，第8个图形的瓢虫个数为（）A．80 B．79 C．70 D．6329．（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15 B．13 C．11 D．930．（2022春•邵阳县期末）如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，其图形可看作图2中若干个相邻的直角三角形构成，A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝…＝A2021A2022，∠A1OA2＝45°，OA1＝1，∠OA1A2＝∠OA2A3＝∠OA3A4＝∠OA4A5＝…＝∠OA2021A2022＝90°，则边OA2022的长为．#ZKQ31．（2022春•辽阳期末）如图（1），△AB1C1是边长为2的等边三角形；如图（2），取AB1的中点C2、画等边三角形AB2C2，连接B1B2；如图（3），取AB2的中点C3，画等边三角形AB3C3，连接B2B3；…，按上述规律做下去，则B2021B2022的长为．32．（2022春•西宁期末）如图，三个形状，大小都相同的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个大长方形中，若这个大长方形的周长为2016cm，则一个小长方形的周长为cm．33．（2022春•桂林期末）如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n个菱形的面积为．34．（2022春•宁德期末）如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第n（n≥2）个三角形的每一边上都有n个点，该图形中点的总数记为Sn，我们把S称为“三角形数”，并规定当n＝1时，“三角形数”S1＝1．（1）“三角形数”S5＝，Sn＝．（2）①某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如S1+S2＝4，S2+S3＝9，S3+S4＝16．请猜想：Sn+Sn