数学单元整合学案：第二讲直线与圆的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元整合知识网络专题探究专题一与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类:圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角，与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角，因此圆周角定理、圆心角定理和弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系来转化，并借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径（获得直角)来解决．【例1】如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD，并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE。求证：∠E＝∠C.证明：如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C。因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B。于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上,且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.【例2】如图所示,D，E分别是△ABC的BC，AC边上的点,且∠ADB＝∠AEB。求证：∠CED＝∠ABC.提示：要证明∠CED＝∠ABC，容易想到圆内接四边形的性质，需证A，B，D，E四点共圆．用圆内接四边形的判定定理不易找到条件，故采用分类讨论来解决．证明：作△ABE的外接圆，则点D与外接圆有三种位置关系：①点D在圆外；②点D在圆内；③点D在圆上．（1）如果点D在圆外，设BD与圆交于点F，连接AF，如图所示．则∠AFB＝∠AEB。而∠AEB＝∠ADB,∴∠AFB＝∠ADB.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾．故点D不能在圆外．（2）如果点D在圆内,设圆与BD的延长线交于F,连接AF，如图所示，则∠AFB＝∠AEB。又∵∠AEB＝∠ADB,∴∠AFB＝∠ADB。这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾．故点D不可能在圆内．综上可得，点A，B，D，E在同一圆上．∴∠CED＝∠ABC。专题二与圆有关的线段的计算与证明在圆中，解决与圆有关的线段的计算与证明问题时，首先考虑圆幂定理:相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理，从而获得成比例线段，再结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明,或列出方程解得线段的长．【例3】如图所示，已知⊙O和⊙O′外切于点E，AC是外公切线,A,C是切点，AB是⊙O的直径，BD是⊙O′的切线,D是切点，求证:AB＝BD.证明：作两圆内公切线EF，交AC于F。连接AE，BE，CE。∵∠FAE＝∠FEA，∠FEC＝∠FCE，∴∠AEF＋∠FEC＝90°，即∠AEC＝90°.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴B，E，C在一条直线上．∵AC切⊙O于A，∴AB⊥AC。在Rt△ABC中，由射影定理，得AB2＝BE·BC。又BD切⊙O′于D，由切割线定理得BD2＝BE·BC，∴AB2＝BD2。∴AB＝BD.【例4】如图,直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB＝DC;(2）设圆的半径为1,BC＝eq\r(3），延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．(1）证明：连接DE,交BC于点G。由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°,由勾股定理可得DB＝DC.（2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝eq\f(\r(3)，2)。设DE的中