冀教版九年级数学 28.3 圆心角和圆周角（学习、上课课件）

28.3圆心角和圆周角第二十八章圆逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2弧、弦、圆心角之间的关系圆周角圆周角定理的推论圆内接四边形知1－讲感悟新知知识点弧、弦、圆心角之间的关系11.圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角，如图28-3-1，∠AOB是AB

所对的圆心角，AB是∠AOB所对的弧.注意：一条弧所对的圆心角只有一个.⌒⌒感悟新知2.圆心角与弧、弦之间的关系(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等.(2)在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.知1－讲感悟新知知1－讲警示误区不能忽略在同圆或等圆中这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图28-3-2，两个圆的圆心相同，AB与A′B′对应的圆心角相等，但AB

≠A′B′，AB≠A′B′.⌒⌒⌒⌒感悟新知3.示例如图28-3-3，若∠AOB=∠A′OB′，则AB=A′B′，AB=A′B′.知1－讲⌒⌒知1－练感悟新知如图28-3-4，AB，CD是⊙O

的两条直径，弦CE∥AB，求证：BC=AE.例1⌒⌒知1－练感悟新知证明：如图28-3-4，连接OE.∵OE=OC，∴∠C=∠E.∵CE∥AB，∴∠C=∠BOC，∠E=∠AOE.∴∠BOC=∠AOE.∴BC=AE.解题秘方：构造圆心角，利用在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等证明.知1－练感悟新知1-1.如图，AB，CD是⊙O的弦，OC，OD

分别交AB

于点E，F，且OE=OF．求证：AC=BD．⌒⌒知1－练感悟新知知1－练感悟新知[母题教材P154练习T1]如图28-3-5，在⊙O

中，AB=CD，有下列结论：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD

.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4例2

⌒⌒⌒⌒知1－练感悟新知解题秘方：紧扣弧、弦、圆心角之间的关系定理的推论判断.答案：D解：∵AB=CD，∴AB=CD，故①正确.∵AB=CD，∴AB

－BC=CD－BC

，即AC=BD，∴AC=BD，∠AOC=∠BOD，故②③④正确.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒知1－练感悟新知2-1.

[中考·河北]如图，点P1

～P8

是⊙O

的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7

的周长分别为a，b，则下列结论正确的是(

)A.a<bB.a=bC.a>bD.a，b

的大小无法比较A感悟新知知2－讲知识点圆周角21.圆周角的定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.特征：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.感悟新知知2－讲示例：如图28-3-6①中的角是圆周角.感悟新知知2－讲

知2－讲感悟新知特别提醒圆心角与圆周角的区别与联系：项目圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个联系圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

感悟新知知2－练[母题教材P158习题B组T1]如图28-3-8，AB是⊙O的直径，弦BC=BD，若∠BOD=50°，则∠A的度数为_________.例325°知2－练感悟新知解题秘方：连接OC，将求BC

所对的圆周角转化为求BC所对的圆心角来解.

⌒⌒知2－练感悟新知3-1.

[中考·杭州]如图，在⊙O

中，半径OA，OB互相垂直，点C

在劣弧AB上．若∠ABC=19°，则∠BAC=(

)A.23°B.24°C.25°D.26°D感悟新知知3－讲知识点圆周角定理的推论31.推论(1)直径所对的圆周角是直角；(2)

90°的圆周角所对的弦是直径.2.推论 在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.感悟新知知3－讲3.“四量关系”定理(拓展)在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弧所对的圆心角、圆周角、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.知3－讲感悟新知特别提醒“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”，结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.知3－练感悟新知如图28-3-9，AB是⊙O

的直径，BD

是⊙O

的弦，延长BD到点C，连接AC，使AC=AB.求证：BD=CD.例4

知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“直径所对的圆周角是直角”，并结合等腰三角形“三线合一”的性质求解.证明：如图28-3-9，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.又∵AC=AB，∴BD=CD.知3－练感悟新知4-1.如图，AB

是⊙O的直径，C，D

是⊙O上的两点，且BC

平分∠ABD，连接OC，交AD

于点E，求证：OC

⊥AD．证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD.知3－练感悟新知如图28-3-10，已知经过原点的⊙P

与x

轴，y

轴分别交于A，B

两点，点C

是AB

上一点，则∠ACB的度数是()A.80°B.90°C.100°D.无法确定例5⌒知3－练感悟新知解题秘方：利用“90°的圆周角所对的弦是直径”，并结合“直径所对的圆周角是直角”求解.解：连接AB，如图28-3-10.∵∠AOB=90°，∴AB

是⊙P的直径.∴∠ACB=90°.答案：B知3－练感悟新知通用技巧：常见的作辅助线的方法：(1)有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两直线互相垂直，简记为见直径作直角.(2)有90°的圆周角，通常作直径，简记为有直角作直径.知3－练感悟新知5-1.如图，矩形ABCD的顶点都在⊙O

上，点E

为AD

上的点，OE

∥CD，OE=CD，连接AE，则∠EAD=

________.30°⌒知3－练感悟新知如图28-3-11，A，B，C，D

是圆上的四个点，∠ABD=∠DBC．求证：△ACD是等腰三角形.例6

知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“同弧所对的圆周角相等”证明.证明：∵A，B，C，D是圆上的四个点，∴∠ACD=∠ABD，∠DBC=∠CAD.又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ACD=∠CAD.∴△ACD

是等腰三角形.知3－练感悟新知6-1.如图，以AB

为直径的⊙O

经过△ABC的顶点C，AE，BE

分别平分∠BAC

和∠ABC，AE

的延长线交⊙O

于点D，连接BD．判断△

BDE的形状，并证明你的结论．知3－练感悟新知解：△BDE为等腰直角三角形．证明如下：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∴∠BED＝∠DBE，∴BD＝ED，∴△BDE为等腰三角形．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE为等腰直角三角形．感悟新知知4－讲知识点圆内接四边形41.圆内接四边形四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2.圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补.感悟新知知4－讲3.拓展圆内接四边形的每一个外角都等于与它相邻的内角的对角.知4－讲感悟新知特别解读每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.感悟新知知4－练[中考·常德][教材P174复习题A组T5[如图28-3-12，四边形ABCD

为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为()A.50°B.80°C.100°D.130°例7知4